《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版).docx
第一章习题答案1-1试求图L27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。图1-27系线方块结构图X1=X2=X5=-/C1X3÷KlX6令夕(三)=y,则y=项所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为*00100Kb000000-0工200Jl旦Jl7l17X2x3+0000010000000KX5UK、Kl30000Kl不.-KPX212有电路如图128所示。以电压“为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻R?上的电压作为输出量的输出方程。解:由图,令=玉,,2=r2,"c=/,输出量丫=冗2x2Rlxi+L1x1+x3=u有电路原理可知:L2x+R2X2=x3x1=X2+CX3写成矢量矩阵形式为:X7=OX9÷OLlWiiLX30CCJLy=R2Ox2儿1-3参考例子1-3(P19).1-4两输入外,%,两输出y,%的系统,其模拟结构图如图130所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。图l30双输入-双输出系统模拟结构图解:系统的状态空间表达式如下所示:Wilx(S) = (si-Ar Ba2-10-15 + a1Oa504-1%0 b 0 0% (s) = C(s>4)" B = 1s + ai0a5O OOh2OO1-5系统的动态特性由下列微分方程描述(2) y+5y+7y+3y=u+3u+2列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。解:令X=y,X2=y9X3=yf则有相应的模拟结构图如下:U(2)已知系统传递函数W(三)=K1,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图解:W(s)=6(s+1)S(S+2)(s÷3)2-410T+1(S+3)-s+3s+200y=-410TO3给定下列状态空间表达式y=010-2-1(1)(2)画出其模拟结构图求系统的传递函数(2)W(s)=(si-A)=-1s+3sl-H=s(s+3)2+2(S+3)=(S+3)(5+2)($+1)(si-A)T=(5+3)(+2)(5+1)Wux(三)=(Sl-A)-lB=(s+3-2(5+3)-5-5(5+3)(5+2)(5+1)(5+3)(5+2)(5+1)(s+3)S(S+3)(25+1)(5+3)MV(三)=C(S/AVB=0(25+1)(s+2)(s+l)5+3S(S+3)5-1(s+3)?2(s÷3)-5-5(s+3)S(S+3)(25+1)(5+3)00(5+1)(5+2)s+3S(S+3)5-100(5+1)(5+2)(5+3)(5+2)(5+1)1-8求下列矩阵的特征矢量O1O(3) A=3O2-12-7-6解:A的特征方程 -12Z-A= -3 12 7O-2=23+622+lU+6=02+6解之得:4=1,4=2,4=-3当4=时,O3-12解得:Px=P3I=-PII令Pll=I当4=一2时,(或令PII=-1,得耳O3-12P12P12P32解得:22 = 一22,32 =P12令 PvI=2得g=“22=-4/32.一1当4=一3时,O3-12(或令P2=1,得6解得:23=-3Pi3,小3=3令P13=119将下列状态空间表达式化成约旦标准型(并联分解)1O-1-223X2(2)解:A的特征方程l-A=2-4-1-1-112-22-3(2-1)(2-3)2=O4.2=3,4=14当4=3时,11O-1解之得P21=P3I=Pn令PII=IPu1“21=13L14当4=3时,1解之得p12=P22+1,p22=p32令P2=1得A2J1'P2=p22=0_。32_。41-2Pi3Pl3当4=1时,102“23=P231-13.凸3_-解之得 13 = °,23 = 233 令 P33 = 1P1304 = "23 = 2.P331L-11O-0-12-T=102,=11-210101-1-121-21-18-5-3-124CT=约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为Wl(三)和W2(三)叱W(S) =吗(S)叫(S) =15 + 31_7+1(5 + 1)(5 +3)(5 + 2)(5 + 3)(5 + 4)1(S + 1)2(5 + 1)(5 + 2)试求两子系统串联联结和并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果解:(1)串联联结15+2s+1羊.52+55+7(2)并联联结11W(S) =叫(s)± 叫(S) =5+3s+405+11-11(第3版教材)已知如图122所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为Wl(s) =17+2W2(S) =求系统的闭环传递函数解:叱%(s)=17+2S17+2/+W1G)W(s)=I+17+70S17+2Ss+37+2s+37+20W=l+Wl(三)W2(s)叱G)=5+31(5+2)(5+1)517+T5+25÷15+37+2017+25+15(5+3)5+2s+35+27+T_s+lS(S+3)15+317+T1T÷21-11(第2版教材)已知如图122所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为Wi(s)=5+1S2I5+2求系统的闭环传递函数解:Wi(三)Wl(三)=5+12W2(三)=5+37+2-2W(s)=+Wi(三)Wl(5)-lW1(三)=s(s + 1)(5 + 2)+ ' S(S + 2)$($ + 2)52 +55 + 22(s + 2)1-s + 5$ + 25 + 2(S+1)2(3$+8)(5+2)2(52+55+2)s3+652+6$(5+2)(52+55+2)$2+5$+21-12已知差分方程为y(k+2)÷3y(k+1)+2y(k)=2u(k+1)+3(Z)试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为O=F12z + 3解法1:W(Z) =-5=+z+3z+2z+1z+2x(A + l) =0 -2x(A) +I(女)y(k)=Ik(Z)解法2:xl(k+T)=x2(k)x2(k+1)=-2xl(k)-3x1(k)+uy(k)3xx(k)+2x2(k)01°一X(Z+1)=X(&)+IlMk)- 2-3jL1y(Z)=32k(女)求T,使得出=;得TT=;所以T=CT=32所以,状态空间表达式为- 4O1z(%+D=z(Q+u(k)- JI1y(Q=3-z(k)第二章习题答案2-1、证明:由。融=/+(4+8%+g(4+5)U+、(4+3浮+=Z+(4÷B)t+(42+AB+BA+3。),+g(/3+A2B+ABAAB2+BA2+BAB+G40友=(Z÷½+l,42?+1?+)(/+及-B2t2+l3?+.)2131213=Z÷(4÷Byt+(42+2AB+8?)J+,+(-3+-A2B-AB2+13)Z3+.R21213将以上二式相减,得即一ear=g(班一力州?+g(朗+ABA+BiA+BAB-2AlB-2ABi)ti显然,只有H5=A4,才有°M÷即0&=OJ即-«物二04透田#2-2、证明,2-17)由eM=1-h-Ai-h-A2t2+-A3I3+2131#证明:<218)由04=Z+4z+-42r2+43/3+jZ3知三可逆阵p,stp1Ap=,则4=pApT,且4,4,是特征根,可知别由由A=Ar若可对角化,则三一变换阵2,定义其中A=4其解为I初)=Zzi(0);x(f)=px(f)=pe"p"x(O);又由x()=e%(O)IrC4_SCa-1蟆。=PQP注意到尸=/+&+累”+9日.将于是有41 0"4 =04 019L00 A.22410 '02240A2 =00手0;: 240002.A33V3%1 «-0 -0A332;34 .-043 =0000A30342 .A3 -0-00000 A3,91将以上求得的A及其A诸次方的表达式带入(1)式,令二=有-0以'a/%叫2i2(W-I)IaV10理.潸-过,_叫(w-2)av2一a*VU(w-3)!000t.At'2At尸1tetee&2m-1)1产-20/tei.=(w-2)!.施一3UUee(tn-3)!000户这是第i上小块的情况,其余小块类W34,卷Iid-1i.2(w-l)!小一2OlE(W-2)!尸-3001(w-3)!OoO1正。#证明:(2-20)采用拉氏变换法:e&=£T(sf-H)T)而3-4)-=s°/(S-S2+凉)-0S-1z1一(+2S-cr+Jco±(12jS-j)s-JCD=Zrl(S/_/)一】)由Eular公式,有a./coscotsincot_I/we=e-Sin改coscut2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数*,。(11、(2)A=(4D解:第一种方法:令A=0则;:=°,即(九一1)2-4=0°求解得到4=3,2=-当4=3时,特征矢量Pl=PN-P21_由API=APJ得;网1.41JL72iJVPz即Pu+P"3Pu,可令pLT4p+P2=3p2L2_当4 =T时,特征矢量2PnP12PnP21LP22|_一。22_即 R+P22=-P2 ,可令人 4P2+ P22=-P22第二种方法,即拉氏反变换法:-4,=-i-11lj(S-3)(s+1)45-1J5-1(5-3)(5+1)(s-3)(s+l)4S-I(s-3)(s+l)(5-3)(5+1)44第三种方法,即凯莱-哈密顿定理由第一种方法可知4=3,=-l442-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A阵。(3) (r) =2e2t -2e,2e-21 -e-,(4) (r) =解:(3)因为(O) =/,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件-2e-, +2e2t-e, +le2t(4)因为(O) =/,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件=(zL1 , 3-e +-e'22e,+3e3f1j.3.4e+4"Jl11T33141e+-e2-6求下列状态空间表达式的解:0118X=x+u001y=(l,0)x初始状态X(O)=J,输入Mr)时单位阶跃函数。解:si-A=(r)=,(7-A),=;因为B=,(/)=/«)x(z)=(r)x()+(z-r)11()tr2T考虑如下式给出的系统:X-Ax+Bu证明:(D脉冲相应:"(Z)=KO(E),X(CL)=XO时,由状态方程解为:XS=/7)机)+、期-"B)d把4=0_带入,有x(Z)=c,0_)+eBu()d0-带入"(2)=K5(2),有X(Z)=x(0.)+;BK()d(考虑到J函数的特点)=Txo+BK(2)阶跃响应:由状态方程解为:X(t)=k&)+jtBu(')d把Eo=0_带入,有x(z)=x(OD+;,"X3()d”A2ri=2"与+©血!0(/-工7+当一一)dK,积分,有J=x0+(Z-÷)BK而+e3-(T)O-I)BKejilxti+A-ejii-1)BK(3)斜坡响应:由状态方程解为:XG)=。期7)忒4)+e-Bu()d把:0=°_,(£)=友X1(2)带入,有X(I)=23道0_)+(g2f*BK=e"xo+03lo(7-j4÷')dBKai3J22上3342/4,&A"。+e(/14)BK°23!4!=/而+A-2(eji2-I-Af)BK=。出演+/-2(e3-l)-AkBK2-8(略)2-9有系统如图2.2所示,试求离散化的状态空间表达式。设采样周期分别为T=0.1s和1s,而对和%为分段常数。T(s+D<g>rr<rg>-+d2I图2.2系统结构图解:将此图化成模拟结构图U2-<rpr苍4T1x2列出状态方程xi=kif-.X2=X1-Uy=巧+ 2玉则离散时间状态空间表达式为X(Z+1)=G(T)X(八)+H(T)MA)y(八)=cr(八)+Dw(八)由G(T)=eAt和H(T)=etdtB得:-10k0'A=B=1Oj0-1“心力=WLJOJo-e'当T=I时X(Z+1)=°X(八)+"°e)0(火)i-e'IJLke'T_y(a)=2)0e-0jOl0当T=O.1时(Z+1)=x(k)+(Jc)'7-e-°l1JV7(,-0.9)-0.1')y(%+)=2)(X2-10解:G的特征根为3/8,5/8;对应的P为-11,5-0.5-P=?P=;11"0.50.5(乃=Gi=PMP0.5 -0.50.5 0.5由X3=()x(0)+V(力砌(-l)由初值和输入可递推计算,得结果如下:x(l)=(l)x(0)+(0)功(O)-1/21/8TTlOT01-V8-1/8l/2j|_3JLO1J1J19/8x(2)=(2)x(0)+(0)j(1)+(X)Hu(0)T+0.23442-l邛X?当Gs“左宦同卷右£Go(三)=s+E:W)C叶ITl工01求名或恭侬拗螂”4.困(4,aC)电”心撤七瓢制”M装WyMr仆门;:Tu”.冬由点会9间表MNJ4短=e-")寸C-e)ud)%d)VCRZd)十如-eT)u心Ud)=r(b-¥b-M八(卬。-%)4认QTT工&制=(2e-y¾(/;+(I-ejz6+(/-e')rrb4心)小一。乃四十命毋勿,尸加力也427.当T=O/S时VlH=一°":lG-Lao产*,4JL°.。J,<=。N.u。/二。3(w=O晨I=O可上2=o.q。&y)="oo4与f.»2XI=Olg8矢=dtbfy=。.。,64大二3Xi=020Nam尤Jo)=0.03352=4X-5i4NZ二久。8Jf44)=°。夕3,於二夕xl=久38号XLa3<ysyu-j=0.07bA=100j=Obbb入=0.3333外网:。333327.当-TNQ/S时"ZlJ。.。"/'"/=ON=O£= IN,= O.DJZ於 2%=JBC?大=3Xi=。"7,4=4X="C7/=$Nl=久用37%noo Nt=0.66”K/=O?CWUO=doyobyr)="oo46DC2O.b<t小引=0.Of64之二也2Z初3"="o335X2=2270*Jf<4)=D。夕37X工二。3075gg;Qs6,4=0.3333勿3=。3333“7.而注"网怖向/必冷抬入UZ支火Y在£6203时沟邑同田”,B.,G)仍以在笈,“听詈:工1.O-16“J珞人信3中文。=厂-)(2D=»8%久0.25沟*¾时妥,在/=Qks叱乂。.4)二022<>q1.。,”=C>N"/=ae>2"”第三章习题答案3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关,若有关,其取值条件如何?(1)系统如图3.16所不:uc111.-H0解:由图可得:X=-="X4=y=状态空间表达式为:2X2_X4Ly=JX»J0÷l匕JL图3.16系统模拟结构图-axx+u-bx2-CX3+x2+X1=X1+X2-CX3r3-dx43-«000Tx1"I0-Z?00X90+U1I-CoX30001-tjx4j|_0_)10-由于乙、与、Z与无关,因而状态不能完全能控,为不能控系统。由于),只与七有关,因而系统为不完全能观的,为不能观系统。(3)系统如下式:X2解:如状态方程与输出方程所示,A为约旦标准形。要使系统能控,控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有0S00要使系统能观,则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有cO,dO.3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性。解:方法一:nmkM=1<2,系统不能控。CCA-2-4-1-24rankN=2,系统能观。方法二:将系统化为约旦标准形。I-A =2 + 3-1-12 + 3( + 3)2-l=0则状态矢量:A1P1 = 21P1 => P1 = JA2P2 = P? = J,T1 =2_22TTB中有全为零的行,系统不可控。CT中没有全为O的列,系统可观。3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数和力a.111(I)A=',b=1,C=l-lOa21解:构造能控阵:M=bAb=J/+1要使系统完全能控,则/+I。%,BPa1-a2+lO构造能观阵:CAj_a-a2要使系统完全能观,则1-%工-%,BPa1-a2+l03-4设系统的传递函数是y(s)_s+aN(三)53+10v2+275+18(1)当a取何值时,系统将是不完全能控或不完全能观的?(2)当a取上述值时,求使系统的完全能控的状态空间表达式。(3)当a取上述值时,求使系统的完全能观的状态空间表达式。解:(1)方法 1 : W(s) =W(S) (5+ 1)(5+ 3)(5+ 6)系统能控且能观的条件为W(三)没有零极点对消。因此当a=l,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观。方法2:a-1ci3a-6yG)五二十五u(s)(5+1)(5+3)(5+6)s+1s+3s+6Xy系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为O的列。因此当a=l,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观。(2)当a=l,a=3或a=6时,系统可化为能控标准I型y = a 1OO -18(3)根据对偶原理,当a=l,a=2或a=4时,系统的能观标准型为O001O1O03-6已知系统的微分方程为:y+6y+ly+6y=6u试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。解:4=661=1La2=6,a3=3,bQ=6系统的状态空间表达式为00-66-111传递函数为IVCv)=C(Sl-A)-1B=60其对偶系统的状态空间表达式为:01000010-6-11-6传递函数为W(三)=s3-6s2-115+63-7线若林力包心:闾:3-3能双秤侬军方:口::叩C二043-9已知系统的传递函数为W(s)s2+6+8$2+45+3试求其能控标准型和能观标准型Obtn1.zz、s2+6,+812s+5解=BG+E75系统的能控标准I型为01-3-4y=52卜+u能观标准II型为0-31-4y=lx+u3/0给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型。01-2一300-3解:A=0-2-1一1111-31M=bAbA2h=1-2-5-3711rankM=2<3,系统为不能控系统,不能变换为能控标准型rankN=3,01-1-3-79系统为能观系统,口以变换为能观标准型,3-11试将下列系统按能控性进行分解(1)A=Tl21-4解:M=bAbA2h-103-409rankM=2<3,系统不是完全能控的。构造奇异变换阵R1,R2=,其中凡是任意的,只要满足凡满秩。0-10即RC=Oo1130301得R"=-100C0100-32TA=RrAR,=14-2b=Rih=0c=cRe=20010rank N=2<3,该系统不能观3-12试将下列系统按能观性进行结构分解1-11构造非奇异变换矩阵/¢,有用=2-320013-1-1则=2-10001y=cx=l0x3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解解:由已知得M=AAhAZ?2=2122620-2rank M=3,则系统能控7 4-354解:AC =-100-1所以此系统为能控并且能观系统取Q=21226,则7;二7一;20-21002-l则X=10-5,B=TAb=O,c=cTc2=71323O14Jj3-14求下列传递函数阵的最小实现。(1)BC =DC=系统能控不能观取咫=,则K)=人1-10A111所以A=咫伏=0_,B=XM=o所以最小实现为4=1,Bm=Cwf=;,Dm=验证:Cn(S'瓦=+II=W(三)3-15设和2是两个能控且能观的系统O1,0r1-3-4J=ljG=Q12:A2=-2,b2=1,C2=1(1)试分析由和2所组成的串联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数;(2)试分析由和2所组成的并联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数。解:(1)&和7串联当的输出N是2的输入2时,x3=-2x3+2xi+x20100X=-3-4210x+1,-2jo_y=Olx01M=bAbA2b=1-4O1-413-4则rankM=2<3,所以系统不完全能控。W(三)=C(C-A)Tb=5+2(5+2)(5+3)(5+4)-$2+75+12当2得输出火是弓的输入/时O1X=-3-4OO1'1x+Oy=210x-2j|_1_O01因为M=bAbA2b=01-61-2-4rankM=3则系统能控因为N=CAcA21-25rankN=2<3则系统不能观W(三)=C(Sl-A)1B=-S-+7j+12(2)和2并联O-3O1-4OOO-2u,J=21Ik因为rankM=3,因为rankN=3,M=AAbAZ?2=11-4-2-413-4所以系统完全能控ccAcA22-361-251-24所以系统完全能观5+2-(s+l)(s+2)(s+3),.Ieir作一zj33佚的叱茨不夕卬这系也7月内如利煤,以祐,南奏救互加谴,7或k叼§*F)42*3.杀系由他投工火也,|W承本也用小潮弘余技M展4青札否W=必三一3&'当与WM包福行方内互!俎同"Mr所以图中开环及闭环系统为能控、能观性一致。第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质:(1) Q(X)=%:3若-1+2xix2-x2x3-2不巧(2) V(X)=%;+4x;+,一2x26叫W2玉不解:(1)由己知得因此Q(X)是负定的(2)由已知得Q(JV) = xi-x2-x3 -x1 +4x2 -3x3 -xi -3x2 + x3 x2'1-1-=xX?当T4-3-1-311 1l = 1 >0 >、=3>0 ,1- -1 4XX2,1 -1 -13= -1 4 -3 =-16<0-1 -3 1因此Q(X)不是正定的4-2已知二阶系统的状态方程:aW a2X =<a2l ¾>试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。解:方法(1):要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定,则要求满足A的特征值均具有负 实部。I-A=ana2-a21即:= -(471 I ÷ 出2 )4 + 4122 42生1=O有解,且解具有负实部。即:an + a22 < OJELa11¾ > ci2a2方法(2):系统的原点平衡状态 =0为大范围渐近稳定,等价于A7P+?A = -Q。取Q=/,令P =,则带入A?尸+PA = -Q,得到24a202%aW +“222%02(% +22)A|川 +。21 +a22(a2a22 *"21l)-(tz12¾+21a11)A + 01 ÷02其中 det A = IH= a11¾-6r12021要求P正定,则要求i=i =- 2(q +%)A>0乂 =IH =(%+%2)+(/%)” >0-4(a11 +¾)因此41+42<°,且detA>04-3试用IyaPUIIOV第二法确定下列系统原点的稳定性。21=4(即+。22)(%。22一4221)0,则此方程组有唯一解。即2a22解:(1)系统唯一的平衡状态是毛=O。选取LyaPUnOV函数为V(X)=x;+考0,则V(x)=2x1x,+2x2x2=2%(-xl+22)+2x2(2x1-3x2)=-2+6xX26x;=-2(x12x2Vo03)是负定的。H,有V(X)8°即系统在原点处大范围渐近稳定。(2)系统唯一的平衡状态是毛=0。选取LyaPUnoV函数为V(X)=x;+考0,则V()=2x1x1+lx2x2=2x,(-x1+x2)+2x2(-xi-x2)=-2xf-2x;<00。)是负定的。Wl8,有VCr)8°即系统在原点处大范围渐近稳定。4-6设非线性系统状态方程为:X=X2x2=-(l+x2)2x2-x,a>0试确定平衡状态的稳定性。解:若采用克拉索夫斯基法,则依题意有:f(x)=2-(l+x2)-x2-xlJ(x)=三=°1;11一4依23X2取P=/-Q(x)=J7(x)+J(x)0-101=2+21-q4tzx,-3cxx1-ci4tzx0-3clx000-Ia-ax2-6”;很明显,Q(X)的符号无法确定,故改用李雅普诺夫第二法。选取Ly叩UnOV函数为V(x) = xj2+>O,则V(x) = 2x1x1 + 2x2x2= 2xix2 +2(-xi -a( + x2)x2)=-2(1 + 考)考 <0O(X)是负定的。IWlf8,有V(X)80即系统在原点处大范围渐近稳定。4-7. ,1 30 -G= -3 -2 -3I 00系统平衡状态为乙=0 0 of由方程GtFG-P=-I-19/78 -10/39解出 P= -10/39 -49/78-1/2-19/13-1/2 '-19/13 ,不定号,因此系统不渐进稳定-121/26实际上,该系统的特征值为0 H73 + 2.6974i , Q1173 - 2.697司,-L2346都在单位国外.系统是不 稳定的。 /4-9设非线性方程:百二12X2 =ff -X2试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。解:(1)采用克拉索夫斯基法,依题意有:V(x)=f,(x)f(x)=x2-x13-X,+:2=X+(-ij-J2l-L-X1-X2x,有V(X)-8。取尸=/-QM=J(x)+J(x)J1JL3-L01-3x12-13x22则Q(X)=°21+3x,2,根据希尔维斯特判据,有:-1+3xi221=0,.=°23'1=(3x12-1)2>(),Qa)的符号无法判断。-l+3x12(2)李雅普诺夫方法:选取Ly叩UnoV函数为V(X)=IX>0,则V(x)=3x+3x2x2=3xx2+3(-M-x2)=-32<0O(X)是负定的。H,有V*)8o即系统在原点处大范围渐近稳定。4-10系娜腌状态撰标原点,由于为>0,丽羽陪诺夫赧为/(加温+幻