5.1.1任意角导学案.docx

导学案【学习目标】1.理解任意角的概念.2 .掌握终边相同角的含义及其表示.（重点、难点）3 .掌握轴线角、象眼角及区间角的表示方法.（难点、易混点）【自主学习】一.任意角1 .角的概念：角可以看成平面内一条绕着它的端点所成的.2 .角的表示：如图所示：角可记为“a”或“Na”或“NAOB”，始边：,终边：,顶点.3 .角的分类：名称定义图不正角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角上负角一条射线绕其端点按方向旋转形成的角零角一条射线做任何旋转形成的角这样，我们就把角的概念推广到了任意角（要注意旋转方向和大小）。【答案】射线旋转图形逆时针顺时针没有二.象限角1.把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，那么角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边在,就认为这个角不属于任何一个象限.【答案】原点终边象眼角坐标轴上象限角角的集合表示第一象限角aJt360o<a<360o+90oZ)第二象限角(砒-360。+90。<。<&.360。+180。火Z第三象限角aAr3600+180o<a<360o+270oZ第四象限角a360o90o<a<360oZ三.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S=,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.【答案】邢=+k360o,kZ【当堂达标基础练】°360°范围内，找出与950°12,角终边相同的角，并断定它是第几象限角.解：-950°12'=129°48'-3X360°,所以在0°360°范围内，与一950°12'角终边相同的角是129°48',它是第二象限角.y轴上的角的集合.解：在0°360°范围内,终边在y轴上的角有两个，即90。，270。.因此，所有与90。角终边相同的角构成集合Sl=精|0=90。+k360°,kZ,而所有与270°角终边相同的角构成集合S2=0|/?=270。+人360°,kEZt于是，终边在y轴上的角的集合S=S1US2=90o+2/c-180o,kEZU=90o+180o÷2/c180o,Z=90o+2k180°,fcZU=90o+(2k+1)180。，kEZ)(=90o+n180o,nZy=%上的角的集合SS中满足不等式一360。720。的元素/?有哪些？解:如图，在直角坐标系中画出直线y=%,可以发现它与X轴的夹角是45。，在0°360°范围内,终边在直线y=%上的角有两个，45°,225。.因此，终边在直线y=%上的角的集合S=彼|0=45。+Z360°,keZU=225o+k360°,keZ=45。+n180°,nZ.S中适合不等式一360。720。的元素/?有：45o-2×180°=-315%45°-1×180o=-135o,45o÷O×180°=45%45°+1×180°=225。，45°+2×180o=405%45°+3×180°=585°.4 .什么是锐角？它是几象限角，反过来成立吗？钝角呢？直角呢？解：在(0。90。)范围内角叫锐角。锐角是一象限角，但一象限角不一定是锐角。5 .今天是星期三，则7k(kZ)天后的那一天是星期几？7k(kZ)天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几?解：7k(kZ)天后和7k天前的那一天都是星期三V100=14×7+2100天后的那一天是星期五6.已知角的顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，请作出下列各角，并指出它们各是哪个象限的角？(l)420or(2)-75or(3)855°,(4)-510°解：(1)在0。360。范围内,与54。18'角终边相同的角是305。42'【当堂达标提升练】一、单选题1 .角一870。的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】-870°=-3x36O°+2IO°,二一87。°是第三象限，故选C.2 .在一360。0。范围内与角1250。终边相同的角是()A.170oB.190°C.-190oD.-170°【答窠】C【解析】与1250。角的终边相同的角a=l250。+k360。，kZ,因为一360。VaV0。，所以一零*V%V125ZT-,因为AZ,所以攵=4,所以a=190°.3o3 .若Q是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是()A.90o-aB.900+aC.360。-aD.180o+a【答案】C【解析】因为a是第一象限角，所以一a为第四象限角，所以360°a为第四象限角.4 .若a=&480。+45。，Z,则a所在象限是()A.第一或第三象限B.第一或第二象限C.第二或第四象限D.第三或第四象限【答案】A【解析】当k=0时，a=45°为第一象限角，当k=l时，a=225°为第三象限角.5 .已知角2的终边在X轴的上方，那么是()A.第一象限角B.第一、二象限角C.第一、三象限角D.第一、四象限角【答案】C【解析】由题意知k360°V20V180°+k360°(kZ),故k18(TVV9O0+k18O°(kZ),按照k的奇偶性进行讨论.当k=2Z)时，360o<<90+w360(Z),所以在第一象限：当k=2+l(EZ)时，180°÷360<«<270+11360(Z),所以在第三象限.故是第一或第三象限角.二、多选题6 .已知扇形的周长是6,面积是2,则扇形的圆心角的弧度数是()A.1B.2C.3D.4【答案】AD【分析】设出扇形所在圆的半径及其弧长，再由条件列出方程求解即可作答.【详解】设扇形的半径为小弧长为/,则1,C解得I=；或-Zr=2,I/=4/=2,2I又圆心角。=,，所以=4或=l,r故选：AD.7.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴，-一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，如图，设扇形的面积为S-其圆心角为6,圆面中剩余部分的面积为S?,当，与邑的比值为五二！时，扇2面为“美观扇面”，下列结论正确的是(参考数据：52.236)()S1A-S22-S.1-B.若寸=孑，扇形的半径R=3,则，=2乃C.若扇面为“美观扇面”，则，。138D.若扇面为“美观扇面”，扇形的半径R=20,则此时的扇形面积为200(3-召)【答案】ACS1【分析】起先确定5,S2所在扇形的圆心角，结合扇形面积公式可确定A正确；山寸二=彳可求得夕,2LK-VZ代入扇形面积公式可知B错误；由2=即可求得。，知C正确：由扇形面积公式可直接判断出D错误.【详解】对于A,.，与S2所在扇形的圆心角分别为。，2-,.Sl2-A正确;对于B,3=彳e="，S=!eR2=!×空9=3jB错误；S22-23223对于C,兴=ZI,.e=(3-6)r,.6(3-2.236)x180l38,C正确;对于D,S1=¼2=(3-)×400=200(3-5),D错误.故选：AC.8 .已知扇形的周长是12,面积是8,则扇形的圆心角的弧度数可能是（）A.1B.4C.2D.3【答案】AB【分析】利用扇形的弧长与面积公式建立方程组求解，再利用圆心角公式.【详解】设扇形的半径为小弧长为/,面积为S,圆心角为,则/+2r=12,5=r=8,解得r=2,/=8或r=4,1=4,则='=4或1.故C,D错误.r故选：AB.9 .sin2（）A,是正数B.是负数C.大于cos2D.大于tan2【答案】ACD【分析】根据弧度的含义，判断2弧度的角是第二象限角，由此可判断答案.【详解】由于<2<九,故2弧度的角是第二象限角，则sin2>0,故A正确，B错误；cos2<0,tan2<0,故sin2:>cos2,sin2>tan2,故C,D正确；故选：ACD三、填空题10 .已知角Q的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么Q.【答案】180o+30o<<n180o+150o,wZ【解析】在0。360。范围内，终边落在阴影内的角为30。VaVl50。和210。<0<330。.所以ttJl360o+30o<<360o+150o,ZZU碾3600+210。VaVk360°+330°,Z=lh180o+30o<<2jI180o+150o,Z)U(2A:+1)180o+30o<<(2/:+1)180o+150o,ZJ=l80o+30o<<w180o+150o,Z.11 .与2019。角的终边相同的最小正角是,绝对值最小的角是.【答案】219°-141°【解析】与2019。角的终边相同的角为2019o+k36(T(kZ).当一=一5时,219。为最小正角；当A=一6时，一141。为绝对值最小的角.12 .若a,尸两角的终边互为反向延长线，且Q=-120。，则尸=.【答案】k360°+60°(kZ)【解析】在00360°范围内与a=-120。的终边互为反向延长线的角是60°,所以=k360+60o(kZ).四、解答题13 .在与530。终边相同的角中，求满足下列条件的角.(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)720。至I一360。的角.解与530。终边相同的角为4360。+530。，kZ.(1)-360o<k-360o+530o<0oJLk三Z,可得&=-2,故所求的最大负角为一190。.(2)由0°Vk3600+530°V360°JLkZ,可得女=-1,故所求的最小正角为170°.(3)由一720°W3600+530°W-36(rfLAZ,可得k=-3,故所求的角为一550。.14 .已知集合4=6(的180。+45。<61<。180。+60。，2Z,集合8=川。360。-55。CSCz360。+55。，AZ.(1)在平面直角坐标系中，表示出角a终边所在区域；(2)在平面直角坐标系中，表示出角4终边所在区域；(3)求ACB解(1)角a终边所在区域如图(1)所示.(2)角厂终边所在区域如图(2)所示.图图(3)由(1)(2)知AnB=#360。+45QVyV<3600+55°,&Z.【当堂达标素养练】一、单选题1 .已知。为第二象限角，那么号是()B.第一或第四象限角D.第一、二或第四象限角A.第一或第二象限角C.第二或第四象限角【答案】D【解析】.e为第二象限角，.90o+360o«9<180o÷h360o,2Z,/.30o÷Jl-120o<|<60o+A:-120o,2Z,当&=0时，30o<<60o,属于第一象限，当&=1时，150o<<180o,属于第二象限，当A=-I时，-90o<<-60o,属于第四象限，W是第一、二或第四象限角.2 .角与角£的终边关于），轴对称，则与£的关系为（）A. a+£=&360。，攵ZB. +6=k360°+180°,ZC. -=360o+180o,kZD. a-=k-360o,AZ【答案】B【解析】法一：（特殊值法）令a=30。，A=150。，则+S=180。.故与S的关系为+S=k360°+180°,LZ.法二：（直接法）因为角与角”的终边关于,，轴对称，所以/?=180。-0+卜360。，kZ,即a+/=k360。+180o,%Z.二、填空题3 .终边落在直线），=5x上的角的集合为.【答案】a=60o+n180o,Z）【解析】如图所示终边落在射线y=ir20）上的角的集合是$=她=60。+h360。，Z,终边落在射线y=Ir（<O）上的角的集合是52=m=240。+%360。，LZ.于是终边落在直线y=5X上的角的集合是5=加=60。+/360。，Z）U=240o+360o,4Z=aa=600+2kl80°,ZJUaa=60o+（2+l）180o,kZ=aa=60°+"180°,Z）.4 .若角a满足180。<0<360。，角5a与。有相同的始边，且又有相同的终边，那么角a=.【答案】270°【解析】由于5a与a的始边和终边相同，所以这两角的差应是360。的整数倍，即5a-a=4a=k36（T.又180°<a<360°,令k=3,得a=270°.三、解答题5 .已知a,夕都是锐角，且a+4的终边与一280。角的终边相同，口一夕的终边与670。角的终边相同，求角a,夕的大小.解由题意可知：。+夕=-280。+大360。，ArZ.V,夕为锐角，0o<a+f<180o.取R=I,得a+4=80°,a-=670o÷jt360o,kZ.Va,“为锐角，/.-90o<a-7<90o.取=一2,得一尸=一50。，由得：a=15o,0=65°.6 .已知相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮顺时针转动一周时，小轮转动的角是多少度？多少弧度？如果大轮的转速是150rmin,小轮的半径为10cm,那么小轮圆周上的点每秒转过的弧长是多少？24万【答案】小轮转动的角是864。，詈弧度，小轮圆周上的点每秒转过的弧长为12(hrCm【分析】通过相互咬合的两个齿轮转动的齿数相同，得到小轮转动的角度，再通过大轮的转速，得到小轮的转速【详解】由题意得，相互咬合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，所以当大轮旋转一周时，大轮转了48个齿，小轮转了20齿，所以小轮转动了会=£周，即x3600=864。，x24=带，12所以当大轮的转速为150rmin时，小轮的转速为wxl50=360rmin,所以小轮圆周上的点每秒转过的弧度数为3602÷60=12万,因为小轮的半径为10cm,所以小轮圆周上的点每秒转过的弧长12;TXIO=I20乃Cm7 .某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面(由扇形OAD挖去扇形OBC后构成的).已知OA=I0,OB=MoVXVl0)，线段BA,CD与BC，AO的长度之和为30,圆心角为。弧度.(I)求。关于X的函数表达式；(2)记铭牌的截面面积为y,试问X取何值时，)，的值最大？并求出最大值.【答案】(1)6=(0<x<10);x+10C5225(2)fV-【分析】(I)根据扇形的弧长公式结合已知条件可得出关于6、X的等式，即可得出。关于X的函数解析式;(2)利用扇形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得y的最大值，即可得出结论.(1)解：根据题意，可算得AC=外(m),D=10<9(m).因为AB+CD+6C+AD=30，所以2(10-)+%+106=30，所以，=(0<x<10).x+10(2)解：根据题意，可知y=S扇SS用形呼=如。7)=/上黑=(X+5)(10-X)=T2+5%+5O=-(X-)+，当R=(m)时,)1=竽(m2).综上所述，当X=Im时铭牌的面积最大，且最大面积为亍1.