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5.2.2同角三角函数的基本关系导学案【学习目标】1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.(重点)2,会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.(难点)【自主学习】(1)公式：sin2+cos2=.(2)语言叙述：同一个角。的正弦、余弦的平方和等于【答案】11(1)公式：7TT=(A+z,ZZ).1.UCa4(2)语言叙述：同一个角。的正弦、余弦的商等于【答案】tana角的正切【当堂达标基础练】3,1.已知SUIa=,求CoSa,tan的值.5【解析】因为Sina<0tsina-1,所以是第三象限角或第四象限角.由sin?。+cos2a=1得：COS2q=1sin2a=1)2=如果是第三象限角，那么CoSa<0.于是CoSa=-495sina/3、/5、3从而必几仇=蓊=Jg)xJl)=7如果是第四象限角，那么CoSa>0.于是COSa=45'sina/3、从而Ccma=()cosa'5/coslxl+sin7x2.求证:l-sin7xcoslx【解析】证法1：由CoSX0,知sin%-1,所以1+sinx0,cosx(l+sinx)于是左边=(l-sinx)(l+sin%)cosx(l+sinx)l-sin2xcosx(l+sinx)COS2X1+sinx二右边.COSX所以，原式成立.证法2：因为(1+sin%)(1sin%)=1sin2x0,=Cos2X=cosXcosX,且1sin%O.cosxcos?X1+sinlx所以；F=；-l-sn7xcos2x(解析】sinO=0.35>0,纺第一或第二象限角.【当堂达标提升练】一、单选题1 .已知。是第三象限角，且Sina=；,则3cosa÷4tana=（A.-2B.2C.-3D.3【答案】A【解析】因为a是第三象限角，且Sin=-,所以tan所以COS223Sina1mcosa2y24所以3cosa+4tana=-22+2=-2.2.化简sir?+cos'。+sir?acos?的结果是()1Aq1B. C. 1D.-乙【答窠】C【解析】原式=si112。÷cos2a(cos2a÷sin2a)=sin2a÷cos21=1.3已知Si邛,则sin%cos%的值为（）3"5dI1C-5【答案】B【解析】sin,a-cos1o=(sin2a÷cos2a)(sin2ocos2o)=sin2a-cos2a=2sin2o1=-4ltanx+Ejcos2等于(B. sin xA.tanxC. cos xtan x【答案】D【解析】原式=(黑9 COS2X cos2sinx÷cosjjrsinvcosX12cosX1*-:cos'x=.sinXcosXsinxtanx5.已知 sin O ÷cos)AWO【答案】B67【解析】由(Sin"+cos")2=1+2SinHCOSO=*,得2sin"cos。=§，则(Sincos)2=12sin"cos由(K"W?知Sin一COS"0,所以Sin。一CoS"=一.y4o二、多选题6 .下列三角函数值中符号为负的是()A.sinl00oB.cos(-220o)C.tan(-10)D.s【答案】BCD【分析】根据各交所在象限判断三角函数的正负情况.【详解】因为90。Vlo0。<180。，所以Sin100。角是第二象限角，所以SinIo0。>0；因为一270。V-220。<一180。,-220。角是第二象限角，所以cos(-220。)<0；因为子<_10<_34，所以角TO是第二象限角，所以tan(-10)<0：cos=-l<0；故选：BCD.三、填空题7 .化简不招b的结果是【答案】COS20。【解析】÷tan0o=1sin0o1cos2200+sirO°cos¾0o=/1=ICOS20°；=Cos200.cos220o8 .已知COSa÷2sina=一#,则tana=.【答案】2.fcoso÷2sina=-y5,、，【解析】由，22得(、百Sina÷2)=0,sina÷cos"=1,亚,+o.sma=z-,cosa=-1-,.tana=2.DD9.已知tano=2,则4sin%3Sincoso5cos2a=【答案】1【解析】4sin'。一3Sincosa5cos2a4sir-3Sincosa-5cos%sin2a÷cos2a4tan'a-3tan。一5tan2a+14×4-3×2-55=一,一一,一_-.=-=14+15四、解答题10.化简下列各式：、SinaSina1 1÷sina1-sina,(v+d7)a - CoSa).解(1)原式=Sin a(l -sin a)Sin a(l + sin a) -2sir a 2sin'。(l÷sin a)(l sin a)1 sir a cos2 a2 tan(2)原式=(1cos a)l÷cos a、 sin a .:(1-cos a) =.=sn a. sin asin a C4十/1cos a ,l + cos a211.若 ;< <2 Ji , 求证： /TT-÷/l-=-2 1 +cos a J 1 cos a sin3证明.-<<2 冗，.sin <0.f.,. _ I ( cos ) 一 y (1 +cos a)(lcos a)11cos a 1 +cos a I sin a sin a 1-cos a 1 ÷cos G=右边.，原等式成立.【当堂达标素养练】一、单选题1.在中，2sin J=3cos A,则角f=()Tt A. b btC.D.2【答案】C【解析】由题意知COSf>0,即力为锐角.将位Sin/f=43cos力两边平方得2sin2f=3cos2cos2f÷3cosJ-2=0,解得CoS/1=1或CoS力=-2（舍去）.A=-OCl-2sin100COS10°S2.ZI-Q的值为(A. 1sin101-sin210 -1C.sin10oD.cos100【答案】B11-2Sin10°COS10丁解析o1.一1sin10J1-sin10(cos10°-sin100)ICoS100-Sin10°-sin10°cos210oSin100CoS100COS100-sin100sin10o-cos10oL二、多选题3 .己知6e(0,),sin+cos=-,则() - 2 r I e A.3C八7C.tan=D.sn-cos=-45【答案】ABD【分析】已知式平方求得sin，COS6,从而可确定。的范围，然后求得sinO-cos，再与已知结合求得SinaCOSO,由商数关系得tan。，从而可判断各选项.【详解】因为Sine+cos。=J，所以(sinO+cosO=sin20+2sin0cos0+cos2。=-!-,所以5252sin6>cos9=-.又6«(U),所以Sine>0,所以COSeV0,即。(g,故A正C49743确.(sin-cos0).=l-2sin0cos”=，所以sin0cos。=，故D正确.由，得sin。=-,cos。=-，,25555si1104故B正确.tanJ=当二一:，故C错误.s3故选：ABD.4 .己知，"为整数，若函数/(x)=Sinx+cosx+l-sin2x-g在六年上有零点，则满足题意的根可以是下列哪些数()A.0B.2C.4D.6【答案】ABC【分析】设"Siecosx=Ain卜+伊-0,。,则函数小)在y.y上有零点等价于方程葭=,+1_(一1)在卜应,0上有解，即可根据二次函数的性质求出切的范围.【详解】因为Xe.设/=sinx+cosx=sin(x+()卜7,SinXCOSX=%-!，贝U?=+_（/一1）,即£=-/+,+2=-,.3）+w应,2,亦即m-2,4.故选：ABC.5 .已知tan2-2ta?y-l=O,则下列式子成立的是（）A.sin2y=2sin2x+1B.sin2y=-2sin2x-lC.sin2y=2sin2x-lD.sin2y=1-2cos2x【答案】CD【解析】对原式进行切化弦，整理可得：sin2Xcos2y-2sin2ycos2x=cos2ycos2x,结合因式分解代数式变形可得选项.【详解】,*tan2x-2tan2y-=0,"-2.SinJ-1=0,cos-xcosy整理得si/xcos2y-2sin2ycos2x=cos2ycos2x,：.（1-cos2xUl-sin2y）-sin2ycos2x=（cos2y+sin2y）cos2x,即1-cos2x-sin2y+sin2ycos2x-sin2ycos2x=cos2x,即sir?y=l-2cos2=2sin%-l,C>DlE确.故选：CD【点睛】此题考查三角函数的化简变形，根据弦切关系因式分解，结合平方关系变形.三、填空题6 .已知Sin"="i,cos则R的值为.nrrb/Tro【答案】0或8【解析】因为Sin2COS2。=1,所以（±3+住含）=L整理得/»8z=0,解得ZW=O或8.Sin0pf07 .已知Sin。，cos。是方程2夕一3+1=0的两根，则-+彳=_1tan°1tan【答案】土书tl1Sin"Icossincos8sin2cos2LWrrJtanO1-tanOCOS°sin0sinO1-cossincosOcos，SinOciwOCOS0SiniS尸曾+c°s'又因为CoS'是方程2*破+1=°的两根'所以由根与系数的关系得Sin夕COSG=J,则(Sin"+cos)2=l÷2sinOcos=2,所以Sin夕+cos0=±y2.乙四、解答题12Sin2xcos2n1-tan(7200+2x)*'cosz-sinx1÷tan(360o÷2),41111m在为力1tan2x1sincos2x2xL证明法：右边l+lan2卜Sin2x1-cos2xCOS2xsinfxcos2才+sin2x(CoS2x-sin2x)*(cos2%÷sin2)(cos2atsin2x)cos2才+sin22-2CoS2xsin2xcos22-sin22x12sin2tcos2xf、上=cos?2xsirx=左边所以原等式成立.法二:左边=sin'Zx+cosx2Sin2xcos2*cos2-sinx(CoS2x-sin2)(cos2万一sin2x)(CoS24+sin2x)COS2x-sin2xcos2x+sin2x右边=1tan2xl÷tan2xsin2xcos2xsintlxcos2xCOS2xsintlxcos24+sin2x所以原等式成立.9.已知3si112-4sincos+l=O.(1)求tana的值；求SinaCoSa1+cos2a的值.【答案】（l）tan=g；【分析】（1）利用T的代换及弦切互化可求tan=g.（2）利用“的代换及弦切互化可求三角函数式的值.(1)解法,：Vsin2a+cos2a=1»3sin2a-4sinacosa÷l=0,.3sin2a-4sinacos,八-2+1=0，sina+cosa分子分母同时除以as?。，得名史W网吧+1=0,tan+l-1即(2tan-l)=0,解得tana=耳.解法'.：V3sin2a-4sinacos+l=0*'4sin2a-4sinacosar+cos2a=0»即(2sina-cosa)2=0,.*.2sina-COSa=0/.tana=-2(2).1snacosaSinacosatana2.tana=,.；=；=；=.2l+cosaSirra+2COSatana+2910.(1)已知Sina_2CoSa=0,求4SinaCOSa；的值;sina-3snacosa-2cosa42sin(,-a)-3tan(3-a)(2)已知sin(a+;r)=,且SinaCOSaV0,求:;:的值.54cos(一町17【答案】§.43【分析】（1）先求出tana=2,再进行弦化切代入即可求解；（2）先求出Sina=,CoSa=得到4tana=-,再进行诱导公式和弦化切变换，代入即可求解.【详解】(1)FhSina-2coSa=O知tana=2原式二tanatan2a-3tana-2 4-6-22又SinaCOSa<0CoSa>0'cosa=Jl-sin'a=-:.tana=-53原式二2sina - 3tan (乃 一 a) 2sina + 3tana+ 3×4cos(-a)-4COSa-4xIH. A(pyJ, B(x2,y2)t 曼哈顿距离d(A8)=x-+y-对.余弦相似度：CoS(A8)= J / 广 2 + + K + W工捷+及余弦距离：l-cos(A8).若A0,-J), 8仲考)，求A, 3之间的d(AB)和余弦距离;(2)已知M(Sina,cosa),N(SinCOS£),Q(Sin&-cos),若CoS(M,N)=；,CoS(M,Q)=求Ianalan尸的值.【答案】(l)d(A8)=J+6余弦距离等于l-cos(A8)=m(2)-5【分析】(1)根据曼哈顿距离的计算公式即可求得d(AB),利用余弦距离的公式可求得A,8之间的余弦距离;(2)根据已知结合定义中所给公式可得SinaSin+coscos7=g,以及SinaSin尸-CoSaCOS7=g,两式整理即可求得答案.(1)J(A,B)=x1-x2+y1-y2=3,2_33cos(A8)=O-L所以余弦距等于>cos(A8);(2)由CoS(M,N)=；得=SinaSin"+coSaCoS/?=g,同理：由CoS(M,Q)=g得SinaSin?-COSaCOS4=J,故2(sinasin-cosacos/3)=3(SinaSin+cosacos0),即sinasin/3=-5cosacos,则tanatan夕=-5.12.已知Iana=3,求以下各式的值.(2) sin2a - 2sinacosa 3sina-cos2sina+3cosa【答案】(哈【分析】(1)化简原式为:an。一：即得解;2tana+3(2)化简原式为3“a,-2an即得解tan-0+l3sin0【详解】(I)解：3sina-cosa=300-182sm+3cosCSma32tana÷39cosa(2)解：sin2a-2sinacosa=si-2sincos_tan2«-2tanasin2+cos2atan2<÷l310