4.1数列的概念与简单的表示人教A版2019选择性讲义.docx

数列的概念与简单的表示本讲义整体上难度中等偏上，题目有一定的分层，题量略大!1数列的相关概念(1)定义：数列是按照一定次序排列的一列数；(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项，第一项常称为首项；(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成出,&，Qn,，简记(即.2数列的分类分类标准名称含义例子按项的个数有穷数列项数有限的数列1,2,3,4n无穷数列项数无限的数列1,2,3,4,+1.按项的大小递增数列Qn>%S2)2,4,8,.12n,.递减数列Qn<11-(n2)1111-,2'3''n常数列每项都相等的数列1,1,1,摆动数列每项的大小忽大忽小的数列1,2,3,495f.3数列与函数的关系数列就是定义在正整数集N*(或它的有限子集1,2,3.n)上的函数f(7i),其图象是一系列有限或无限孤立的点.PS日后研究数列的性质可以从函数的角度出发，比如单调性，最值等.4通项公式如果数列Qr的第?I项与序号九之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.Eg数列1,0,1,0,，其通项公式可以是斯=&W,%=SiM券等.注：(1)/I与&l是不同的概念，n表示数列的，2,，而Qn表示的是数列的第n项；(2)数列的项与它的项数是不同的概念，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，它是一个函数值；而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值.5递推公式若己知数列%l的第一项的（或前71项）,且任一项On和它的前一项rl（或前几项）间的关系可以用一公式表示,那么这个公式叫做这个数列的递推公式.EgQI（初始条件）,r=3r-+4九（递推关系）；1=1,a2=2（初始条件）,即=n-1+册_2（递推关系）.6%与Sn的关系若Sn为数列On的前n项和,即Sn=1+2+.+n.则册=俨sn.5n.1,n>21【题型一】数列的相关概念【典题1下列有关数列的说法正确的是L数列一1,0,1与数列1,0,一1是同一数列；数列0,1,2,3,可以表示为n数列&的第A1项是高w；每一个数列的通项公式都是唯一确定的.【解析】对于，数列是有序的，故数列一1,0,1与数列1,0,一1是不同的数列，故选项错误；对于，数列0,1,2,3,.可以表示为8-1,故选项错误；对于，数列e的第k一1项是其下，故选项正确；对于，数列的通项公式可以有多个，故选项错误.故选：.【点拨】注意集合与数列的在“顺序、异同性、表示方法”上的区别.数列是有序性，集合是无序性的；集合是互异性的，但数列不作要求.【典题2】求数列伯翳是增减性.【解析】an=三=2+“n+4n+4方法一作差法333°n+l-即=初一百=（n÷5）（n÷4）°，所以%+1<%，故数列9是减数列.方法二作商法n+12n+13n+42nz+21n+52ann+52n+ll2n2+21n+55又an>0,所以每+i<Q，故数列焉是减数列.方法三函数思想o.3Qrl=247，nn+4/(x)=系在(0,+8)递减，.an=2+总也是随着n的增大而减少，故数列煞1是减数列.【点拨】求证数列单调性，常用方法有三：作差法，比较厮+1-Qn与0的大小：作商法，比较等1与I的大小，此时要注意的的正负；视通项公式为函数解析式，用函数单调性的方法处理，此时要注意日的取值范围是正整数.巩固练习I()下列叙述正确的是()A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是同一数列B.数列0,1,2,3,的通项公式是%=nC.-1,1,-1,1,是常数列D.1,2,22,23是递增数列，也是无穷数列【答案】I)【解析】根据题意，依次分析选项：对于4、数列1,3,5,7与数列7,5,3,1中顺序不同，不是同一数列，故A错误；对于8、数列0,1,2,3,.的通项公式是郁=711,故B错误；对于C、常数列的通项为时=。，则一1,1,一,.不是常数列，故C错误；对于。、1,2,22,23,.是递增数列，也是无穷数列，故。正确.故选：D.2(*)下列说法不正确的是()A.数列不一定有通项公式B.数列的通项公式不一定唯一C.数列可以用一群孤立的点表示D.数列的项不能相等【答案】D【解析】根据题意，依次分析选项：对于4数列不一定有通项公式，如某班级每天消耗的文具数量，4正确；对于3,数列的通项公式可以有多个，不一定唯一，8正确；对于C,数列中Ti为正整数，可以用一群孤立的点表示，C正确；对于D,数列的项的可以相等，。错误；故选：D.3(*)下列叙述正确的是()A.数歹J缶是递增数列B,数列0,l,2,3,.可以表示为用C.数列0,0,0,1,.是常数列D.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列【答案】A【解析】依题意，设y=*=l-.,n,故数列羔是递增数列；所以4正确；tl表示单元素集合，这个集合只有一个元素71,显然数列0,1,2,3,不能用它表示；故8错误；因为数列0,0,0,1,中的常数不相等，故它不是常数列，C错误；数列根构成该数列的项的顺序有关，所以数列1,3,5,7与7,5,3,1是不同的数列，故。错误.故选：A.4(*)下列数列中，156是其中一项的是()A.n2+1B.n2-1C.n2+nD.n2+n-1)【答案】C【解析】根据题意，依次分析选项：对于4,若数列为+l,则有"+1=156,无正整数解，不符合题意；对于B,若数列为(小一"，则有n2-1=156,无正整数解，不符合题意；对于C,若数列为/+町，则有112+n=156,解可得n=12或一13(舍)，有正整数解n=12,符合题意，对于D,若数列为彦+兀一1,则有小+一一1=156,无正整数解，不符合题意；故选：C.5(*)数列Q7l是递增数列，则21的通项公式可以是下面的()A.On=B.an=n2-3nC.an=2nD.an=(-n)n【答案】A【解析】根据题意，依次分析选项：对于4Qn=一9有Qn-%T=W一；=而%，又由r2,则Qn-Qn-I>0，数列%l是递增数列,符合题意；对于8,%l=M-3n,则Ql=I-3=-2,。2=4-6=-2,数列即不是递增数列，不符合题意；对于C,an=2n,有%=2-1=,2=22=数列Qr不是递增数列，不符合题意：对于D,Qn=(ToL有。2=(-2)2=4,%=(-3)3=-27,数列册不是递增数列，不符合题意；故选：A.6(*)已知数列%是递增数列，且对于任意N*,卅二九2+2Q+,则实数A的取值范围是.【答案】4>一,【解析】数列n是递增数列，.对于任意n,n+1>n,(71+I)?+2(+1)+1>M+2n+1»化为：>».数列Lw1单调递减，.>V7()已知数列瓦满足匕=2“一nT-112,若数列%是单调递减数列，则实数;I的取值范围是.【解析】数列%是单调递减数列,则%+1-=24(一)-(n+I)2-2(-)n1+n2=6(-)-2n-l<0,当？I为偶数时，6<=(2n+l)(-2)n,即6lV(2+l)2n,由于2+l)2z为递增数列，则数列2z+l)2rl的最小值20,.62<20,即6若,当Tt为奇数时，6<=(2n+l)(-2)n,BP6>-(2n+l)2n,由于(2n+l)2r为递减数列，则数列一(2n+l)2z的最大值一6,:6>6,:>19综上所述实数/1的取值范围是(-l,g)【题型二】数列与函数的关系【典题1】数列4l的通项7=-2浓+9n+1,当On取最大值时，n=.【解析】方法一数列的单调性根据题意，册-1=-2(n-I)2+9(n-1)+1=2n2+13n10,则Qnan-1=-4n+11,当1113时，an-an.10,即QlQn,当n>3时，an-an1<0,即QTl先递增后递减，而。2>。3，故数列%l各项中最大项是第2项.方法二函数法依题意，Qtl=-2几2+9几+1,表示抛物线f(n)=-2n2÷9n+1当九为正整数时对应的函数值，又y=-2+9x+l为开口向下的抛物线，故到对称轴式=:距离越近的点，函数值越大，故当71=2时，%=/5)有最大值.故数列aj各项中最大项是第2项.【点拨】数列是特殊的函数，可用数形结合的方法，但要注意自变量n是正整数.【典题2】数列qQ的通项On=品r则数列斯中的最大值是.【解析】a"=端语=豕W',/(%)=%+：在(0,7)上单调递减，在(7,+8)上单调递增，',斯=1上在(0,夕)上单调递增，在(，+8)上单调递减，而。2=U<a3=32,此时即=就£取得最大值为由=【点拨】根据数列的通项公式想到与之对应的函数，形如y=三驾3的般和对勾函数与基本不等式有关.巩固练习1()已知数列Qr的通项公式为41=-3n2+88n,则数列0r各项中最大项是()A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项【答案】C【解析】根据题意，数列即的通项公式为M=-3n2+88n,Mn.1=-3(n-I)2+88(n-1)=-3n2÷94n-91,则册-n-1=(-3n2+88n)-(-3n2+94n-91)=-6n+91,当11115时，Q71tl>0，即an>%,当16时，an-n«1<0,即ar<%1-1，故数列az各项中最大项是第15项，故选：C.2()已知数列ar的通项公式为a11=储+心1+2,若对于n,都有an+册成立，则实数k的取值范围()A.k3B.k>3C.k2D.k>2【答案】4【解析】若(¼+lan成立，则函数Qn=M+k"+2,在nAT,上为增函数，则对称轴一33即可，即k-3,故选:A.3(加数列$()A.既有最大项，又有最小项B.有最大项，无最小项C.无最大项，有最小项D.既无最大项，又无最小项【答案】A【解析】；210=1024,211=2048,二根据指数函数的单调性知，悬砺在1"10时为减数列且为负，在ri11时为减数列且为正，数列工J的最小项为第10项，最大项为Ii项.故选：A.4()已知数列6的通项为斯=哼，对任意7iN*,都有即。6,则正数上的取值范围是()A. k6B. 5 < k < 6C. k> 6D. 6<k<7【答案】D【解析】%=合n-k+k+2n-k=1+与n-kk > 0,n k.对任意n,都有n生,n=6时，On取得最小值，由k是正数以及反比例函数的单调性可知6T<0且7k>0,正数k的取值范围是6<k<7.故选：0.$()已知数列an的前n项和为S71,Qn=(3n-19)5n,则当Sn最小时，n的值为()A.5B.6C.7D.8【答案】B【解析】根据题意，数列a7l中斯=(3n-19)5%当116时，Wan<0»当九7时，Wan>0,则当n=6时，Sn最小,故选：B.6 ()数列a7l中，Qn=2n+。若对任意11N*,都有ar的成立，则实数A的取值范围为【答案】12,24【解析】数列6中，Qn=271+3,若对任意nO都有Qna3成立，故有2n+W6+宗*W2l6,即k嚎2(l3),当?I=3时，kWR,不等式恒成立；当n4时，k6n,当九=2时，k12,当n=1时，k6.综上，实数k的取值范围为12,24.7 ()已知数列az的通项公式是an=(2几+1)舄)n,nJV*,则4l中的最大项的序号是【答案】9【解析】÷an+1-an=(2n+3)÷1-(2n+l)n=舄W空等2-(2n+1)=(歌喑*可得n<8.5.,a7t中的最大项的序号是9.8()设a7t=n2-2kn+6(nN*,kR)(1)证明：kl是n为递增数列的充分不必要条件；(2)若VTIWN1,求A的取值范围.【答案】略；是k2.【解析】(1)证明：+-an=(n+I)2-2k(n+1)+6-n2-2kn+6=2n+12Zc>0»解得k<>,/c<|.k1是/l为递增数列的充分不必要条件；(2)解：nV*1,n*M+-12k1»即Ti+勺2k+1,nn.n÷-5,2Zc+15,nk2.k的取值范围是k2.【题型三】由数列前几项求数列通项公式【典题U写出下列数列%t的一个通项公式：(1)-7,14,-21,28,.；(2)-,.；(3)2,5,10,17,26,481632(4)2,32,332,3332,33332,；【解析】分解结构法(1)数列-7,14,-21,28,每项可分解成符号和项的绝对值相乘得到,序号1234n符号+(-Dn绝对值71421287n项(-l)n7故On=(-l)n7n;(奇偶性的符号变换规律可考虑(一1尸或(一DnT).(2)数列;，,卷每项可分解成分子和分母相除得到,4OIo3Z序号1234n分子13572n-l分母481632211+项(2n-l)2n+1(分子相邻数之间的差是2,是等差数列；分母相邻数之间是2倍的关系，是等比数列)故斯=(2n-l)2n+1变形法(3)数列2,5,10,17,26,中若每项减去1,则变成1,4,9,16,25这些数都是完全平方数，易想到数列的通项是则原数列只需要在这基础上加回1便可，即即=n ()下列可作为数列1,2,1,2,1,2,的通项公式的是()Al+(-l)n1 d3+(-l)n 广o . n Co r/ 1、1+l.(4)数列2,32,332,3332,33332中若每项加上1,则变成3,33,333,3333,33333,再每项乘以3,变成9,99,999,9999,99999,其中9=10-1,99=IO2-1,999=IOA. an = B. an =-C. n = 2 sin - D. an = 2 - cos(n - l)r-1,9999=IO【答案】B-1,99999=IO【解析】根据题意，数列1,2,1,2,12.-1,则其通项%=10n+1-l,要求原数列的通项公式，贝，逆回去，除以3再减1可得“=-1=竺?二一1=”产.巩固练习1()数列一,专，的通项公式可能是Qn=()A HIB. 32n+33n+2【答案】D【解析】由的 =(，排除4,C,由02=5排除B,分母为奇数列，分子为(-1)%故选：D.c*D.(-Dn 2n+3其奇数项为1,可以看作电出，偶数项为乙可以看作岑 11 19 41(4冷超潟,茅 ；(5)4,44,444,4444【答案】(1) n = (-l)n+1 X备，(2)= U-n； (3) n = n2-l;(4)% = 1-嬴； X (IOn-I).【题型四】递推公式【典题1】下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是()A.an+1 = an + n,n E Nt,B. an = n.1 +n,n e N,t,n 2其通项公式可以为：%=上尹故选：B.3(*)数列Iq卷,去的一个通项公式为()A”A. an =n 2n+lB. cnn(n+2)n+lCin=* "a，=黯【答案】D【解析】根据题意,有% =殍=1,2×48°2 = T = ?3×5154×624=一,4 = = 一»77499则册=翳故选：D.4(*)己知数列1,5,6,7,N2n-1,贝J35是它的(A.第22项B.第23项C.第24项D.第28项【答案】B【解析】V35=45,令45=2n-l,解得n=23.35是此数列的第23项.故选：B.5(*)写出以下各数列的一个通项公式.(1)1,一9，.；(2)10,9,8,7,6,；(3)0,3,8,15,24,；N4OH(n+l)(n+2)n(n+l)n+1r,.1.而n+-an=-=(11+2)-n=n+l故an+l=On+n+1成立，即On=QnT+上ZlWN>2,故选：B.【典题2己知数列a71满足4=2,an+1=an+藤岛，求时【解析】由条件知由l+Qz=三“十"un(n+l)nn+1把以上n-l个式子累加得到an-a1=1z+z-7÷+-T-=1-(n2)“122334n-lnnv/'*Qn=Ui+1=3(n2)nnva1=2满足上式，故时=3-；(n)【点拨】这是累加法，适合形如%l+=an+/(九)的递推公式求解通项公式.巩固练习1()在数列即中，a1=,an=1-则t=()/anA.2B.3C.-1D.；2【答案】C【解析】QI=kan+=1,则。2=12=1,a3=1+1=2»ct4=l-1=ga5=12=1,故选：C.2()在数歹Jan中，a1=1,a2-7»且一+工=二一(九3,九AT),则4=()3an-2ann-IA.-B.-C.-D.-2525【答案】B【解析】,*,1-=-»a11-2QnQnT令n=3,得上+工=Z,解得的=：；令=4,得上+工=三，解得。4=3a1a3a22a204035故选：B.(2anan<-43()在数列&l中，n+1=2J若Ql=W,则。2012的值为()2an-1,an-5A-lbSC-l屋【答案】C【解析】a2=2a1-l=*,Q3=2a2-l=,4=23=：，。5=24=可见数列册的最小正周期为4，而2012=4×503,所以2012=。4=:故选C4(*)已知数列5满足an=05=LIZ.W则Q2016除以4所得到的余数是()Ian-I+Qn-2SS)A.0B.1C.2D.3【答案】4【解析】数列册满足M=(n：1广)(Qn-I十«n-2N3)*Ql。2=1，。3=2,。4=3,Q5=5,。6=8,GL7=13,Qg21,Qg-34,Q。55,Q89,。12144,.»为斐波那契数列，可得r除以4的余数分别为：1,123,1,0,1,1,2,3,1,0,，其余数的周期为6,fii2016=4x504,Q2016除以4所得到的余数是0故选:A.5(*)在数列r中，1=1,11=3,且任意连续三项的和为9,则Wom=【答案】5【解析】；Qn+11+11+2=9,Oj=1>Qll=3,1+。2+。3=9,。2+。3+。4=9，可得。4=1，同理可得：OL1-10=l,9=5."CLq3,。6=5,Q5=3,Q3=5可得:。2016=。3=5.故答案为：5.6 ()在数列r中，已知%=1，a2=5,且r+2=an+1-an(nN*),则Q2020=-【答案】-1【解析】法一：令n=1,则的=。2=51=4；令n=2,则=03-02=45=-1；令n=3»则的=04一=一1一4=一5：令n=4,则诙=a5a4=-5(1)=-4；令n=5»则7=a6as=-4(5)=1；令n=6,则他=。7怒=1(一4)=5；二数列%为周期为6的周期数列，工。2020=。336×6+4=Cl4=-I-法二:an+2=an+1-an(nV*)>an+3=an+2%+1，÷得力+3÷an+2=an+l-n÷an+2an+l»an+3=-an,an+6=-an+3=an,6周期为6，:,。2020=。336X6+4=Q4，由Q1,Q2=5,次以3=4,=-1.a2020=117 ()已知4=1,an=n(n+-an)(nV*),求数列r通项公式.【答案】an=n(nN*)【解析】an=n(7t+1-0n),二手=等，ann又有Q=a1=l×-×-×.×-=n(n2),a1a2n-112n-1'：a1=1满足上式，.an=n(nN)设数列%是首项为1的正项数列，且5+DW+1-nW+Qn+i。=。，求通项公式是an【答案】曲=【解析】M是首项为1的正项数列，旦(+l)-naii+an+xan=0,可得几(W+一成)+(W+a11+a11)=0,即有九(ft11+l-%)(册+1+Qn)+an+l(n+l+Qn)=°，由0r是首项为1的正项数列，可得(n+1)n+1=nn,则Tlan=(九-1)Qn-I=202=Ql=1，可得11=1，nEN【题型五】“与Sn的关系的应用【典题1已知数列n的前n项和为Sn=n2an(n2),而%=1,通过计算。2，。3，。4,猜想等于()A.-B.-C.D.:(n+l)2n(n+l)2n-l2n-l【解析】(1)Szi=n2n,n+1=Sr+-Sn=S+l)2n+-Manan+=Q几，11211"=而=与，%=京，猜测；an=-7÷>故选：B.【典题2】己知数列%t的前n项和Srl,满足a2=-4,2Sn=n(an-7),求的和数列%的通项公式.【解析】(1)在2Sn=11(Qn-7)中，当n=1时，2S=%-7=2a1=Ql-7=Ql=-7；由2Sn=(an-7)得，2Sn+1=(n+l)(an+1-7)，由一可得，2an+1=(n+l)an+-nan-7,化简得(九-l)an+-nan=7,当"2时,有华一含=e=7(三一)(此处利用裂项康=W-B二年号=(等-悬)+(悬-彩)+÷(-)(累加法)=7(三-+7*-曰+一+7(：-=7(1-；)=不，.±1±1=M+7(nT)_4+757_3n-7,n1nnnan+l=3n-7(n2),(n2不能漏，注意所得结论的前提)故Qn=3n-10(n3),(此时注意ZZ的取值改为Zl3)又4=-7ta2=4也都符合上式，所以ar=3n-10(n).【点拨】若已知条件已知Sn或者Sn与斯的关系式，均可以利用的=-1'力>；=1求解数列的通项公式0n巩固练习1 ()已知数列时的前项和为，若Sn=WN*,则02=()ATB.C.*DI【答案】A【解析】根据题意，数列Mn的前n项和Sn=；,则%=52-S=(-1=故选:A.2(*)已知数列%的前Ti项和sz=3nq-n)-6,若数列%l单调递减，则如勺取值范围是()A.(一8,2)B.(-8,3)C.(-,4)D.(-8,5)【答案】A【解析】；srl=3zl(2九)一6,sn-1=3n1(-n+l)-6,n>1,一得数列=3n-1(2-2n-l)(n>l,nN')为单调递减数列，an>n+1,且%>&3n1(2-2n-1)>3n(2-In-3),且AV2化为2Vn+2,(">1),且;IV2,.A<2,的取值范围是(一8,2).故选：A.3(*)若数列即的前71项和Sn=2n2Sn+2,则它的通项公式时是.【答案】即=*Mn2【解析】当=1时，Ql=Sl=23÷2=1.当n2时，Qn=Sn-Sn-=2n2一3n+22(nI)23(n-1)+2=4n5._fl,n=1,n三Un-5in24()已知无穷数歹Jn的前n项和%,并且arl+Srl=l,求41的通项公式.【答案】On=Q)n【解析】"an+5n=1,当n=1时，臼=鼻van+l=Sn+1-Sr=Q11-an+lran+l=2an,又=3装l是以首项为5公比为T的等比数列，"=(Dn5(*)设数列an的前n项和为无,已知%=2,a2=8,Sn+1÷4Sn.1=5Sn(n2),求数列an的通项公式；【答案】an=22n【解析】由5n+4SnT=5Sn(n2)可得工+-S11=4(Sn-5n-1)(n2),an+l=4，(112)»"'a1=2,u，2=8,*两足Cigi=4a九，所以数列册是首项为2,公比为4的等比数列，故ar=2×4n1=22n1fC.an+=an+(n+l),nJVzn2D.an=an-1+(n-l),n/V*,n2【解析】根据题意，可得%=1,a2=3,a3=6,a4=10,.发现规律：M=吗工，