数列的极限.docx
一)复习：数学归纳法1 .归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊f一般.2 .不完全归纳法：根据事物的局部(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.3 .完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.4 .数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(keN*,k2n0)时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.5 .用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤:(1)证明：当n取第一个值n0结论正确;(2)假设当n=k(kN*,且k2no)时结论正确,证明当n=k+l时结论也正确.由(1),(2)可知，命题对于从no开始的所有正整数n都正确.【注】n。应为n能取到的最小正整数【练习稳固】练1：假设/=1+-+-41(wN*),那么当=1时，f(w)为232/?+1练2：将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101.LLLLLLL按照以上排列的规律，第行53)从左向右的第3个数为栋3：4，。2，。"：仇，2，%(是正整数)，令L1=%+4+L+",4=&+4+L+2,L,Ln=hn.某人用右图分析得到恒等式：abx+a2+a,lbn=aiLi+c22+c+ckLk+%,那么Ck=(2kri)W111111111§5；4："N,证明:1+-+=Hfh.2342/1-12nn+1n+22n练5：试证：当WN*时，)=32+2-8,l9能被64整除.二)数列的极限概念以及简单的应用1、定义：对于无穷数列%,当n无限增大时，无穷数列%中的%无限趋近于一个常数A,那么A叫做数列凡)的极限，或者数列%收敛于A,记作Iimq=4；如果数列没有极限，那么我们称11-XC数列%是发散的。【注】一定要注意，n要想无限增大，必须满足这个数列必须有无穷多项，是无穷数列。(判断数列存在不存在极限）%无限趋近于一个常数A,说明一个数列的极限只有这一个。（判断数列存在不存在极限）IimI-AI=O那么Iim%=A可变形为”,用绝对值代表距离，这种定义常用于证明A是否Woo是“的极限。2、常见求极限题型Iim.11（1）常用极限：rt-C=C（C为常数）当d<l时，limq”=0;（3）Iim-=O1 1WZtTOOa=幽（2） "/5）八）、或）为n的多项式，分子分母同除以n的最高次幕，起决定作用的只是分子分母中n次数最高的项。如果g（）、/（）中的最高次数相同，例如：-吧F-,想，一，那么数列存在极限，其极限即为其最高次昂的系数比；lim6+7如果g（）中n的最高次数高于/5）中n的最高次数，例如：！史而，”叫+4那么数列不存在极限；Hm”+4Iim-如果fS）中n的最高次数高于g（）中n的最高次数，例如：。*6川+7,”.4，那么数列存在极限,其极限即为0。【练习稳固】练1：求以下数列的极限（1）Iim（2）Iim加二2（3）Iim2/7+1（4）无穷数列4前几项和“x1+2+n"T84/1+3rt=03n（n+1）(5) Iim >3/22 - 2n2n2 + 2n(6) Iim =0 ( a >0)7) Iim ( yn2 +n n) (8) nan练2：用极限定义证明：Iim(I-J7)二IH-HC2二)新课：数列极限的运算法那么1、数列极限的运算性质：设数列am、b“,IimZ=A,Iim为二Bww(1)Iim(all±bn)=A±8;ODIim(anbn=AB;00【注】(Xlim(Ca)=CA广到有限个数列和、差、积的极限:假设IimCn=C,Iim(an+bncn)-÷X0DZtfOO=A+B+CnAlim=Cb0)-RbnB【注】(1)性质公式使用条件：数列a,J、bw都存在极限(2)性质1、2的使用前提是参与运算的数列个数是有限的【典型例题】例1：“Iima“=Alim勿=3”是“lim(,+")=A+8”成立的()oonwoc（八）充分非必要条件；(B)必要非充分条件；(C)充要条件；(D)既非充分又非必要条件例2：计算11(1)Iim(2+)；“oon+335+2)2(2)Iim-;n0°(2?-I)2(3)Iim(123100、+÷+-)nn+12n+13+1+15÷ +3"÷2(4) Iimm 3n+, -5n、r/123n.Iim(+：+÷-：)“xA?+12+12+1n2+【练习稳固】练1：Iiman-3,Iimbn-2,求Iim""十纥n-÷x>ow-ooA练2：计算2w-l叩2"+ln2 +n-c Vw÷ 1 yna、 Iim 7= IImfR 72 + 2 - MCI + 3 +. + (2-1)(5)2n2 -n-Iimnoo3t +2练3：awkbrt都存在极限,且满足Iim(物+")=l,lim(4-2)=1,求lim(aj")的值练4：假设Iim2nn=1,且Iimazt存在，那么求Iirn(I-)三)无穷等比数列各项的和(一)无穷等比数列各项的和的概念4-1、复习：等比数列前n项和公式：等比数列储,前n项和S产(l-q,qwl吗M=2、无穷等比数列各项的和的概念：等比数列a是无穷等比数列公比时<1那么当"8时S将无限趋向于一个常数卫，即IimS“=41 -qn1-q(二)无穷等比数列各项的和的应用1、化循环小数为分数【典型例题】例1：把以下循环小数化为分数(1)0.13(2)0.323例2：设a是无穷等比数列，且公比的取值范围是0<1,假设a+a2+a3+a÷=y,求a1取值范围。【练习稳固】练1：计算0.98+0.87+0.7九+0.2113+ 2 -1 +2"练2：计算I-222
