数列求和不等式的证明策略.docx
数列求和不等式的证明策略一.直接放缩型例1：一<11-H<1(112).2/?+1+22n(k=2 )证明：-!-!-W一2nn+kn+1111111111FH<1FH<+FH2n22nn÷1n+22nn+1n+1+1h111111n12/?+1n+22nn+1例2,设=+-L+L+L2.求证：an<2."2"3"naa=Ih1-F÷1÷H+H.n2a3“na22 3222 2 3 FT 册 4n五.两项配凑放缩型例 1.Xn=2+-9 求证:(-l)Xl+(-l)2X2÷ + (-l)nXn<l (n 7V+)(-2)fl-证明：V (-l)nn=(-l)n2 +-2'J(T)T不妨考虑 为奇数时，Gl)llXn+Gl)n+ln+l= 5T + -T ÷- 2,+l -32/又H=kk>k*-),k21111<=-9k2Mk-I)k-k于是,l+-+-+-r<1+(1-)+(-)+()=2<2."2232n2223n-nn可放缩成等差数列型例L求证：吟以6+尔+一师而ENQ证明：/yn(n+1)>=n:.Jl2+423H卜jt(j+1)>1+2d1-/7="("十).Jl2+23+÷h(11+1)<(3+5HFflt+1)=<-,得证。v222三.可放缩成等比数列型例L数列aJ满足a11+=an2nan+l(nN*),且a11n+2求证：一!一+!+!<?+al+a21+an2证明:.an+=an(a11-n)+l>an(n+2-)+l=2an+lan+l2(an+l)/.an+l2(an.+l)即.1+4-2(an,l÷1)22(an_2+1)"2nl(a,+1)211IJllIlll11H-H7+T=T<-l+alI+41+。22232w+,22z,+,2+24“例2.f(x)=-,x(0,+)9数殖Xn满足Xn+=f(Xn)(nN4J,且Xi=Lan=xn-2I,x+1万Sn为aJ前n项和，证明：Sn<口-。证明.痴+尸Xn+JI=I-2I=12-l-2|=(行_nz2乙+1+IZ+”又乂11>0.2用<(四_1)以一四|<(后1)2|工1行|0<(四1)"|巧一也|=(&_1)向.Sn=a+a2+an<(2-1)+(2-I)2+(2-1)m熹盘等得证。四.可放缩成裂项差式型例1.求证：l7r*TV2(nN)2232n2证明：2)nn(n-)n-n,Il1i11111IClr.1+<1÷1+=2<2.2232n2223n-1nn例2.求证：l+y-+yy-+÷P-<3(ll2,"N)2( -1)V + ndn-l、TE12证明：V=7=-7=r<nnyn11yn+nn2_2(Vn-Vn-T)yn(n-)(yn- + 4n)Yn(Jl-D12 3 111111、° Ia231 1于是n为偶数时，(-i)Xl+(-l)2X2,<卜(-l)nXn<1741=1Vl,2222八n为奇数时，前nl项为偶数项，"于是有(-l)Xl+(-l)2X2÷(-l)nXn<l+(-l)nXn=I-Xn=1-(2+)=-l+<1,得证。(-2)“-2m+-33例2.an=-2n-2+(-l)n-1(n7+),证明：对任意的整数m>4,有，+,+'-<13%出a,n8证明：由通项公式得34=2,113r1132n,+2n-2当n3且n为奇数时,IIJIXan22z,2÷12n,-1222,-3+2,'-2z,"2-lw-i + 2一2=1(?一 2+击）,当m>4且m为偶数时，+=+(+)+(一+4%a4a54a,n-M13/111、131八1、137<-+-(+-)=-+-×-×(1-)2223242m22242,n4288当m>4且m为奇数时， F + -7 - 8 <综上对任意整数m>4有'+'+'-<N。%a,n8评析：由于通项中涉及有（1尸这一符号法那么，因此结合两项之和将其消去，再行放缩便能易于求和使问题得证。六.利用题设结论例1不等式+1>log。川N*,>2.log网表ZK不超过log2的最大整数。23n2设正数数列”满足：q=bb>0）,an<“I,n2.求证册<3.2+bog2n简析当2时勺=竺也二-+：即+%Man-lan-l2+ Nlog 2 川于是当3时有_L_L>_Li°g2nanat2()对可得放即例24=i,*=(1+m+/.用数学归纳法证明252);In(I+x)VX对X>0都成立,证明<e?(无理数=2.71828)解析()结合第(/)问结论及所给题设条件ln(l+%)<x(x>0)的结构特征,缩思路：”Z(1+二一+：)%=>ln1<ln(l+-v-+,nnn+n2n"+n2八11工日I1+*于是皿一2帝。十一d1.1I(M+i。”Z(-;+)=>Inart-Ina11+厂+/2'nInan-Inq<2=>an<e2.(1+!)all+!=an+.+1(1+X%+D=n(n-)n/I(ZZ-I)向n(n-i)加(J+DTn(%+l)In(l+1)<1n(n-l)nn-),一!?一!11=ZlIn(a*+1)-ln(aj+1)<Y-=>ln(n+l)-ln(a,+1)<1-<1，i=2,=2-1)n即ln(tzrt+1)<1+In3=>”<3e-l<e2.七.利用单调性放缩例1.设数列“满足。+=4；-叫+1(WN+),当q3时证明对所有九L有(i)ann+2i-+.+_LI+。11+21+。”2解析用数学归纳法：当，2=1时显然成立，假设当A时成立即4Z+2,那么当=女+1时怎+=ak(ak-k)+ak(k+2-k)+(k+2)2+>k+39成立。(/7)利用上述局部放缩的结论4句2%+1来放缩通项，可得ak+i+2(ak+1)=>ak+12a',(6Z1+1)2a,4=2a+,=击.2例2各项均为正数的数列%的前n项和满足S>1,且65“=(an+1)(%+2),hN(1)求%的通项公式；(2)设数列"r满足勺(2%-1)=1,并记7；为，,的前n项和，求证：37；+1>log2(fl,+3),nN"(I)解：由为=m=工(可+1)(4+2),解得a=l或a=2,由假设a=S>l,因此ai=2。又由a11+=Sn+-Sn=(rt+l)(a+i+2)=(an+1)3+2)，66得a11+-痴3=0或痴+=anHan>0,故an+=-痴不成立，舍去。因此an+iar3=0。从而aj是公差为3,首项为2的等差数列，故aj的通项为a11=3n-2o(11)由=1可解得2=IogJ1+=log2Ia,J3-1从而北二4+b2+=log3"O1253-IJ因此37；+"log/+3)=*仁I-马、)高。令/=H2言力总那么1253n-)3n+2/(+1)3+2pn+3?二(3j+3)3f(n)-3+5Un+2j-(3+5)(3+2产。因(3+3)2-(3+5)(3+2)2=9+7X),故/(11+i)>).特别的/()/(D=->1o从而37；+1-Io氐册+3)=logf(ny>O,即37j,+l>log2(%+3)°例15数列上由以下条件确定：xi=a>09xrt+1=-L+-K.证明：对22IxJ总有SG;(ID证明：对2总有工“匕”(02年北京卷第(19)题)解析构造函数f(x)=Ux+易知/*)在G,÷)是增函数。2(x)当=火+1时S+8+4在G,+)递增故+1>/(4)=&.2(Xk)对（三）有=UZ-且,构造函数/(x)=UX它在心长0)上是增函21XnJ2(x)数，故有X“-X“+1=J(X“-”>/(笈)=0，得证。八.数学归纳法武汉市教育科学研究院命制的“武汉市2005-2006学年高三年级二月调研测试”第22题：函数f(x)是在(0,+8)上每一点处可导的函数，假设XF(X)>f(x)在x>0上恒成立，1)略；2)求证:当x>0,X2>0时有f(x1+x2)>f(x1)+f(x2);3)不等式ln(l+x)<x在x>-l且XWO时恒成立，求证:2(+ 1)(+ 2)ln22+4-ln32+7ln(n+l)22232(+1)2其中第3问给出的参考答案为：由2)结论推广到一般有f(Xi)+f(X2)+f(Xn)<f(Xl+X2+Xn)(H2),设f(x)=xlnx,那么在Xj>O(i=l,)时9有x1lnx1+x2lnx2+x1Inx1<(x1+x2+Xn)In(X1+x2+xn)9令Xn二厂',5+1)记 Sn=Xl+X2÷ + Xn= 7 + -7 + +22 321 1 1 1 =VT+ 4(" + If 12 23 n(n + )：,-41n22 +4-ln32 + +2232-ln(zz +1) > 5 + 1)2221+ + +3215 + 1)2又Sn>-L+-L+1=I-L2-33-4(+1)(+2)2+2.(X1+X2+Xn)ln(Xi+X2+Xn)/、.八1、1/、lzl1n<(x1+x2+xn)l11(l)<(x+x9+%,)<()=+1+11'"/7+12+22(n+l)(÷2)n- 2(+ 1)(+ 2).,原不等式成立。4+4ln4÷.-L-m-L-722223232(+If("+I)?上述证法的技巧性太强，通过结论2)的推广，及Sn的缩小与放大的同时运用，才使得放缩的尺度恰如其分，笔者经过进一步研究，得出了以下简洁证法：当 kN. ,-lnU + l)2(4 + 1)-L_lne=->1一=-L-L(4+1)2+I)?(Z+l)(R+2)k+k+2>+=>2334(n+l)(n+2)2+22(n÷2)2(+1)(+2)原不等式成立。评析：要证不等式的结构是数列求和的形式，于是考虑将左边数列的通项放缩成易于求和的形式，通过放缩裂项，使问题自然地获得解决。关于数列求和不等式的证明，历来是各地模拟题和高考题的命题热点，而学生对于此类题的处理方法常用的是数学归纳法和一般的不等式放缩，往往做到中途就不了了之，而假设能抓住此不等式的结构特征是以求和的形式出现,因此将数列的通项经过适宜的放缩,使得其便于求和了，问题也随之得证。
