数列3-求和教师版.docx

第四节数一列.求和基础知IR要打牢JICHUZHISHIYA强双基固本源得基附分掌握程度知识能否忆起一、公式法1 .如果一个数列是等差数列或等比数列，那么求和时直接利用等差、等比数列的前项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q=1或g1.2 .一些常见数列的前项和公式：1+2+3+4+=（2（2）1+3+5+7+2一1=/£；（3）2+4+6+8+2=2+.二、非等差、等比数列求和的常用方法1 .倒序相加法如果一个数列为,首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，等差数列的前项和即是用此法推导的.2 .分组转化求和法假设一个数列的通项公式是由假设干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，那么求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减.3 .错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，等比数列的前项和就是用此法推导的.4 .裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.小题能否全取1.（2012沈阳六校联考）设数列（一1）的前项和为S”，那么对任意正整数，Sn=（）川（一1）”_1（-r+（-r+n（-r-2D2l*z2l72解析：选D因为数列（一1）”是首项与公比均为一1的等比数列，所以Sn二T一二二；T）=（一1）“一12,2 .等差数列仇的通项公式为为=2+1,其前"项的和为那么数歹的前10项的和为（）A. 120B. 70C. 75D. 100解析：选C VSn=“(41+即)=÷f÷f÷*=753 .数列°+2,诙+2A,，4o+2O共有十项,且其和为240,那么i+创。的值A. 31B.120D. 185C.130解析：选C0+。人+o=24O-(2+22+20)=240°+2£=240-HO=130.4 .假设数列斯的通项公式为。”=2"+2-1,那么数列小的前项和为.回工L2(12")I(1+2-1)+11.解析：Sn=:÷Z=2"1-2+w21 -22答案：2+,+m2-25,数列装？4,S''2双2；+2)'的前项和为解析:因 Cln-2(2+2)：=翡-击)那么5n=-÷H÷-)=K1-)=4(+iy答案-数列求和的方法(D一般的数列求和，应从通项入手，假设无通项,先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择适宜的方法求和.(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.也I高频考点要通关抓考点 学技法得拔高分J掌握程度分组转化法求和A典题导入例1(2011山东高考)等比数列斯中，«1,。2,S分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且S，。2，。3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列斯的通项公式；(2)假设数列瓦满足:乩=“+(l)”lnm,求数列瓦的前2项和S2tt.自主解答(1)当s=3时，不合题意；当0=2时，当且仅当42=6,6=18时，符合题意；当=10时，不合题意.因此。1=2,。2=6,039=3,故%=23"一.(2)因为瓦=。“+(1)"In=23n-1+(-l)rtln(23rt-,)=23n,+(-l)rt(ln2-ln3)÷(-l)nwln3,所以S2"="+b2+b2.=2(l+3+32L)+-l+l-l+(-l)2"(ln2-ln3)+1+21-3+(1)2丝川In3=2X-py+"ln3=32n+ln3L2由题悟法分组转化法求和的常见类型(1)假设为=九±6，且乩,6为等差或等比数列，可采用分组求和法求%的前项和.bnt为奇数，(2)通项公式为为=”加留的数列，其中数列儿,c是等比数列或等差数列，可采用分Ictn为偶数组求和法求和3以题试法1. 数列用的首项x=3,通项%=2"p+式N*,p,q为常数)，且用，4,右成等差数列.求：(l)p,g的值;(2)数列为前项和Sn的公式.解：(1)由总=3,得2p+夕=3,又因为g=24p+44，%5=25p+5g,且xi+=2xj,得3+25p+5<y=25p+8q,解得=1,q=.(2)由(1),知Xn=2"+，所以S1=(2+22+2")+(1+2+)=2"+】一2+华匕2错位相减法求和工典题导入例2(2012江西高考)数列”的前项和S”=廿一火(其中c,k为常数)，且念=4,a=Sai.求an(2)求数列加的前项和Tn.自主解答(1)由Sn=kcn-k,<alt=Sn-Sn-=kc,t-kcnl(n2).(C=2,由S=4,6=8。3,得kc(c1)=4,kc5(c-1)=Skc2(c-1),解得，心=2,所以=S=2,atl=kcnkcf,i=2n(n2)f于是an=2n.7:,=i=分2；即7:1=2+222+323+424+-+w2h.=2Tm-Tn=-2-22-23-242,÷n2n+,=-2'rh+2+"2"+=(-l)2"+2.&由题悟法用错位相减法求和应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出”与MSJ的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S,qSj的表达式.(3)在应用错位相减法求和时，假设等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.3以题试法2. (2012济南模拟)等比数列册的前项和为S”，且满足S,=3"+A.(1)求k的值及数列4的通项公式；(2)假设数列瓦满足号1=(4+©蔡”,求数列九的前项和Tn.解：(1)当22时，由仆=S“一5一=3"+>3"-1k=23”-|,得等比数列%的公比g=3,首项为2.=S=3+k=2,AAr=-I,，数列小的通项公式为为=23.(2)由号i=(4+攵)。/，可得乩=/7,即乩=|/.9Al裂项相消法求和国典题导入例3数列”的前项和为S”，«=1,Sn-nan-n(n-l)(nN*).(1)求数列(m的通项公式；2设bn=-,求数列儿的前n项和Tn.+1自主解答(1)5=皿一(一1),当22时，Sn-=(n1),i-(-1)(/?-2),n=5rt-Sn-I=Wflrt-w(-1)(w-l)-+(n-l)(n-2),即an-atl=2.数列m是首项a=l,公差d=2的等差数列，故a“=l+(-1>2=2一1,nN*.、，.、，.2211由(1)知仁=斯斯+=Q-1)(2+1)=2-1-2+1'故A="+岳+"(T)+g-3+gT)+(壮7-肃)=1-嵩=，IS多变、本例条件不变，假设数列九满足儿=U工，求数列九的前项和7；.解:S=a一(-1)=(2-1)一I)=".11I1Is"+层+(+)nA=GVHOfHA?+(%+)=1一击=Wr2由题悟法利用裂项相消法求和应注意(I)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如：假设仅“是等差数列，那么=痣一£)Zir嵋一£)国以题试法3. (2012“江南十校”联考)在等比数列4中，>0,nN*,且内一改=8,又0、的的等比中项为16.(1)求数列j的通项公式；(2)设瓦=IOgMG数列九的前项和为S”是否存在正整数亿使得J+J+对任意010203On"N*恒成立.假设存在，求出正整数攵的最小值；不存在，请说明理由.解：(1)设数列的公比为夕，由题意可得的=16,*.*Q3。2=8,那么。2=8,:q=2.,.an=2n+l.+1+1(2)V=log42w+1=-,；S”=b+岳Hbn=Xsn4_4fl(+3)3n-3)t,1+2+2+5Ol0203On-1 - 3 +1- 5- 1-2 + 1-411 - 6+H)1 . 1 1 111÷2÷3-H11 A 22+2 +3>1守存在正整数的最小值为3.El解题1练要高效抓速度抓规范拒绝眼高手战掌握程度次级全员必做题1 .小是首项为1的等比数列，S是“的前项和，且9S3=S6,那么数列5的前5项和为()A.%或515¥解析：选C设数列“的公比为?由题意可知4Wl,且9,二I)=三交,解得q=2,所以数列出1IqIq131是以1为首项，E为公比的等比数列，由求和公式可得S5=汽.2 .数列斯的前项和Sn=OM+加3、7R),且S25=100,那么2+04等于()A.16B.8C. 4D.不确定解析：选B由数列%的前项和S”=即2+加(八/,R),可知数列%是等差数列，由S25=02100,解得。|+但=8,所以+25=m2+4=8.3.数列g，3；,5,7.,(2-1)+,的前一项和SN的值等于()A.2÷17B.2/+1一去C."+iJD.2-w+1解析：选A该数列的通项公式为由=(2-1)+土,那么Sn=1÷3+5÷.+(2/?-l)l+Q÷2dF)=w2+1£4. (2012“江南十校”联考)假设数列“为等比数列，且勾=1,q=2,那么北=自+念+一的结果可化为()4MiHA.ITB.ifCi(IT)dKi-)解析：选C%=2”，设'=一=Gy1-,anan+3那么Tn=b+bAFZ?,t=1+Q3H11Q)21115.等差数列斯的前项和为S”/=5,55=15,那么数列j的前100项和为()ClftClnIJa100C99AloldIOI99C101JlOOu100解析：选A设等差数列”的首项为0,公差为4+4d=5,。5=5,$5=15,*5×(51)5a+2d=15,=l,<4"=+("-1d-n.d=l,：.'=(=：一-7'*数列U1的前l项和为1F7j-7777=1anan+(+I)nn-vIIaMMlJ223100101IOlIOO而.,2(当为奇数时)，6.函数 I")= U一 2(当为偶数时)，A. 0B.C. -100D.且。”=大)+/(+1),那么i+g+sHHaioo等于()10010200解析：选B由题意，46Z2÷3÷÷oo=I2-22-22+32+32-4242+52+,+992-1002-1002+1012=-(l+2)+(3+2)H(99÷100)+(101+100)=-(l÷2+÷99÷100)+(2+3+100+101)=-l÷101=100.7 .在等差数列中，S”表示前项和，42+痣=1845，那么S9=.解析：由等差数列的性质及9+舞=18-的，得2。5=18那么45=6,3+。9)义9故Sg29。554.答案：548 .对于数列他“,定义数列*-%为数列如的“差数列"，假设小=2,仅的“差数列”的通项公式为2",那么数列“的前项和Sn=.解析：知+1一。=2",an=(an-1)+(an-1an-i)AF(。2)+_2-2”*5,=1-2=2门+2。+22+2+2=K2=2-2+2=2”.答案：2rt+,-29 .等比数列“中，0=3,«4=81,假设数列仇满足儿=IOg3斯，那么数歹M£二卜勺前项和Sn=.解析：设等比数列%的公比为小那么广=43=27,解得"”=qc=3X3C=3"，故儿=1唯小=nt所以瓦Qzt+(+1)n那么数列合3前项和为1一3+；一!+5一击=1一击=M.答案：市10 .(2013唐山统考)在等比数列斯中，a2a3=32,a5=32.求数列%的通项公式；(2)设数列m的前项和为Sn,求Si+2S2+hSh.解：（1）设等比数列（如的公比为9,依题意得aqaq2=32,'4”解得=2,q=2,Ialg4=32,故m=22"-=2".（2）VS表示数列斯的前项和，Sn-2(12)1-2=2(2m-1),S÷2S2+÷nSw=2(2+222+.÷i2n)-(l+2+.÷7)l=2(2÷222+72)-w(w+l),设=2+222+他21那么2A=22+223+2"+,一，得2(12")-=2+22+-+2,-n2n+l=1-2'-n-2n+l=(l-)2w+1-2,7L=S-l)2"+2,S÷2S2HFnS,=2(nl)2o+,÷2-nn+1)=(-1)2,+2+4-(+1).11 .(2012长春调研)等差数列m满足：45=9,42+46=14.(1)求小的通项公式；假设儿=%+q%(q>0),求数列瓦的前n项和Sn.+4d=9,解：(1)设数列知的首项为0,公差为d,那么由的=9,g+6=14,得2s+6d=14,«1=1,解得_所以为的通项小=2-1.d=2,(2)由alt=2n得儿=2-1+g2L当g>0且gl时,5”=1+3+5+.+(2九-1)+-+(+/-1)=层+”_%,；当(7=1时，hll=2n,那么S=n(w+1).所以数列仇的前项和Sn = "<7=1,q>0,q.212 .（2012“江南十校”联考）假设数列z满足：a=y2=2,3（tJn+12at,+aw-1）=2.（1）证明：数歹Ua>+-z是等差数列；（2）求使;+；+；!11!>,成立的最小的正整数n.ci0243an2解：（1）由3（a“+i2飙+斯-l）=2可得：a+i-2即+cin-1,即(a+i-a”)-3”-1)一予42故数列。+1。是以。241=亍为首项，？为公差的等差数列.422(2)由(1)知为+1一%=1+利-1)=京+】)，21于是累加求和得小=0+g(2+3HF)=§(+1),.1÷÷HF=3-7P*o,'n>5fa。2。3(in+12'最小的正整数为6.B级重点选做题1 .数列诙的前项和S“=26，那么|编的前项和=()A.6nn2B.2-6z÷186/7w2(ln3)6nn2(13)CJD.,26+18(>3)“26(>3)解析：选CY由*=层-6得斯是等差数列，且首项为-5,公差为2.*al=-5+(l)×2=2w7>，W3时,an<0f心3时，an>0r6«2(l3),T=<"/6+18(>3).2 .(2012成都二模)假设数列跖满足m=2且为+%-1=2"+2广1,S为数列小的前项和，那么lg2(S2012÷2)=.解析：因为a+2=22+2,t73t74=24+23,恁+%=26+25,.所以S2012=+2+3+4+«2011+2012=2i22÷23÷24HP22o,÷22°,22(122012)-j=220,3-2故log2(S20!2+2)=log2220,3=2013.答案：20133 .递增的等比数列满足：4+6+出=28,且的+2是。2,四的等差中项.(1)求数列4的通项公式；(2)假设 brt=aftlog外,5* =加+历+瓦，求Sr.解：(1)设等比数列为的首项为公比为切依题意，有2(3+2)=02+8,代入G+3+44=28,得43=8.42+«4=20.1Sa=2。，解得2,或卜43=g2-8,3=2,又小为递增数歹力9=2,=2.(2)V=2wlogj2rt=-n2rt,，一£=1X2+2X22+3X23+X2.-2S,=l×22+2×23÷3×24+÷(-l)×2w÷×2,+l.(2)一得Szt=2+22+23+2"-2"+2(12)1-2w2z,+,=211+,-211+,-2.5n=2+'-w2,+,-2.教将备选题1.斯是公差不为零的等差数列,=L且0，的，硒成等比数列.求数列m的通项；(2)求数列2小的前项和Sn.解：(1)由题设知公差dW0,由0 = 1,的,砌成等比数列得斗2" l+8dl+2d'解得d=l或d=0(舍去)，故伍的通项,=l÷(/?-1)×1=/7.由知2&=2”,由等比数列前项和公式得S,=2+22+23+2rt=-v=2h+,-2.122 .设函数(x)=x3,在等差数列j中，俏=7,1+2+3=i2,记Sn=RanQ,令儿=。5，数歹jE的前n项和为T,l.(1)求小的通项公式和S”；(2)求证：7:,<.解：(1)设数列“的公差为d,由6=m+2d=7,4+s+3=34+3d=12,解得m=l,d=3t'(x)=R，*Sn=jNa“+I)=a”+=3+1.(2)证明：Vbn=aftSfl=(3n-2)(3n+1),.±=1=IpM儿一(3一2)(3+1厂313-23+1/3 .二次函数/)=/5x+10,当xe(，”+15N*)时，把大防在此区间内的整数值的个数表示为。小求a和S的值；(2)求23时an的表达式；4(3)令bn=-,求数列儿的前n项和SG23).ona11+1解：(1次O=X2-5+10,又x5,"+1("N。时，於)的整数个数为念，所以兀I)在(1,2上的值域为4,6)00=2;府)在(2,3上的值域为*4卜比=1.(2)当时，Ar)是增函数，故如=火+1)/()=2-4.(3)由和可知，b,=-=2f历=必心3时，乩=(2一4)(2-2)=2J-所以当时，5=仇+岳+仇+仇+6=2+2÷2(H+)=4÷2(r)=5-