抽象函数题型、解题技巧全总结.docx

71.(11上海理13)设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，假设函数/(%)=X+g*)在区间3,41上的值域为-2，习，那么/O)在区间上的值域为【答案】75,11抽象函数常见题型解法抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些表达函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法(如化归法、数形结合法等)，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。抽象函数常见特殊模型:特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx(k0)f(x+y)=f(x)+f(y)塞函数f()=nf(y)=f(X)f(y)或fz)=I1yf(y)指数函数f(x)=ax(a>0且al)f(x+y)=f(x)f(y)或f(x_y)=f(x)f(y)对数函数f(x)=IognX(a>0且a#l)f(y)=f()+f(y)或Y)=f<x)-f(y>y正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=Cosxf(x+T)=f(x)正切函数f(x)-tanxr+y)="V)+/"')-ZU)(y)余切函数f(x)=cotxgy)=i"(y)f(x)+f(y)抽象函数常考题型:一、定义域问题二、求值问题三、值域问题四、解析式问题五、单调性问题六、奇偶性问题七、周期性与对称性问题八、综合问题一、定义域问题定义域问题多为简单函数与复合函数的定义域互求，首先要注意凡被f作用的对象都在同一范围内，其次注意函数的定义域是指X的取值范围而不是内函数的取值范围。f(x)的定义域是A求3(x)的定义域，实质上相当于O(X)的值域为A,据此解内函数e(x)的不等式求X的取值范围问题；函数/(8)的定义域是A,求函数f(x)的定义域。相当于自变量X在A范围内求内函数Mr)的值域问题。例L函数/(x)的定义域是-L2,求函数/log2(3力的定义域。2【解析】/*)的定义域是-1,2,意思是凡被f作用的对象都在-1,2中，由此可得-1log1(3-x)2=>23-x,=lxU即/log(3：)的定义域是U，<>2224-4 练L假设函数y=f(X)的定义域是-2,2,那么函数y=f(x+l)+f(xl)的定义域为。【解析】-lxl. 例2.函数/(/)的定义域是1,2,求fW的定义域。【解析】/(一)的定义域是1,2,是指lx2,所以F(X2)中的/满足%24从而函数fIx)的定义域是1,4. 练L定义在(3,8上的函数f(x)的值域为2,2,假设它的反函数为f,(x),那么y=f,(2-3x)的定义域为,值域为O【解析】Oq(3,8二、求值问题抽象函数的性质一般是用条件恒等式给出的，可通过赋值法解决，赋值需要明确目标，特殊优先，细心研究，反复试验。 例1.函数f(x)对任意实数x,y,均满足f(x+y2)=f(x)+2f(y)T且f(l)WO,那么f(200D=.【解析一】令x=y=O(特殊值优先，而f(l)一时难求)，得f(O)=0,已经知道一个特殊值的函数值了，就要想方法找函数周期或递推式：令y=0(消元思想)，发现没起到消元作用，f(0)=0那就令X=0,消去X,并令y=l(题目提到f(l)0,特殊优先)解得f(D=,发现关于y2的关系式比拟复杂，令y=l(求出f(m)那么可以令自变量等于m以到达消掉次元及化简的作用)，可得f(x+D=f(x)+L,那么2f(x+l)-f(x)=L，递推规律找出，又f=0,易得f(2001)二幽。22【解析二】这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式即f(n+l)与f(n)关系着手：令x=%y=l,得+l)=(")+2/f,需求f(l),令x=0,y=l,得f(0+l2)=f(0)+2f(I)2,需求f(0),那么令x=y=0,得：f(0)=0,f=LJf(n+1)-f(n)=-,f(n)=-,f(2001)=l.2222!y=fT(x+2)表示x+2代入f(x+2)的反函数中还是表示f(x+2)的反函数？反函数上下或左右平移原函数会怎样y=P(x+2)-m的反函数又怎样？下题求G(X)的反函数方式不一定正确例2.R上的奇函数y=f(x)有反函数y=f(x),由y=f(x+l)与y=F(x+2)互为反函数，那么f(2009)=.【解析】由于求的是f(2009),需找周期或递推公式,那么考虑将y=f,(x+2)化为f(x)的形式，由y=f1(x+2)得其反函数y=f(x)-2,所以f(x+D=f(x)-2,又y=f(x)为R上的奇函数，f(0)=0,通过递推可得f(2009)=-4018.此题难点在于由y=f"(x+2)得其反函数y=f(x)-2,举个简单的一次函数，令f(x)=y=2x+l那么其反函数求解过程是反解X得X=2，改写x,y得其反函数fT(x)=y=±1,又f(x+2)=y=2(x+2)+l,22那么求y=f-(x+2)的过程是反解f(x+2)=2(x+2)+l中的X并把X改写成y,y改写成x,即x+2二2改2写后即丫+2=三匕化解即可。由以上过程我们发现求了侬动的反函数，即令以)，)=-a),求解出y即可。例3.f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且对任意XWR都有f(x+5)2f(x)+5,f(x+l)Wf(X)+1.假设g(x)=f(x)+l-x,那么g(2002)=.【解析】考虑g(x)用f(x)表达的形式，要求g(x)需要知道f(x)解析式，显然通过上面条件无法求出，故考虑f(x)用g(x)表达的形式代入以上条件来寻求g(X)的性质规律：由g(x)=f(x)+l-x,得f(x)=g(x)+x-l.而f(x+5)2f(x)+5,所以g(x+5)+(x+5)T2g(x)+xT+5,又f(x+l)Wf(x)+l,所以g(x+l)+(x+l)-lg(x)+x-l+lJg(x+5)g(x),g(x+l)g(x).所以g(x)Wg(x+5)Wg(x+4)Wg(x+3)Wg(x+2)Wg(x+l)故g(x)=g(x+l)又赋值得g(D=L故g(2002)=L练L定义域为/T的函数f(x),同时满足以下条件：/(2)=1,/(6)=；/(y)=()+f(y),求f，f的值。【解析】赋值法是解此类问题的常用技巧，可观察与未知的联系，巧妙赋值把条件欲求问题沟通起来。14取x=2,y=3,得/(6)=/(2)+/(3),因为/(2)=1,/(6)=-,所以"3)=-Q又取X=y=3得/(9)=/(3)+/(3)=-O 练2.f(x)的定义域为(0,÷),对任意正实数X,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2,那么/雨=【解析】取x=y=2得f(2)=l,取x=y=也得/(E)=|此类题速解法是联系函数模型，可在几秒内解出,但必须充分利用条件，准确说f(xy)=f(x)+f(y)是对数函数模型的必要而不充分条件。如练L 练3.如果f(X+y)=f(x)f(y),且f=Z则臀+警+臀+髻吧的值是。f(l)f(3)f(5)f(2001)'Hf+/+“4)+尸+/+/+/=/(D/0)/(5)/(7)【解析】速解法可以看出函数模型为/5)=2，符合该条件，易得一式=2000,二式二16.也可赋值发现规律，一式令y=l即可，二式赋值将各函数值都求出或找出分子分母关系即可。 练4.对任意整数k>)，=/*)满足：/(+y)=+(y)+>'+l,假设/(1)=1,那么/(-8)二OA.-lB.1C.19D.43【解析】选C。易得f(8)=43,又用x=y=0代入得f(0)=-l,最后用x=8,y=-8代入可求，或求出f(0)=-l后，先求f(-l),再求f(-2),f(-4),f(8)也可。 练5.f(x)为R上的偶函数，对xR都有+6)=(x)+A3)成立，假设川)=2,那么/(2005)=()A.2005B.2C.1D.0【解析】选B,令x=-3代入，得f(-3)=f(3)=0,所以函数周期为6. 定义在R上的函数Y二f(x)有反函数Y=f1(x),又Y=f(x)过点2,1),Y=f(2x)的反函数为Y二(2x),那么Y=fT(16)为1)（八）A)-B)C)8D)16816 练6已知。为实数，且OVaVI"(X)是定义在0,1上的函数，满足"O)=O"(l)=1,对所有Xy,均有TX土产)=(I-)(x)+H*(y)(l)求的值(2)求3)的值I3解析*1)令X=0,y=1,贝犷(3)=a,令X=O,y=；,./(5)=2,()=(1-a)a+aX<(g)=2=(i-a)a2+aa+a(-«),20+可解猫.(2)(1)=b,贝旷(3)=f(-yz)=g/(y)/(y)=2b.同阿(5)=3.(1)=7.=b=y三、值域问题 例L设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,f(x+y)=f(x)f(y)总成立,且存在XIX2，使得/(%)工/(工2)，求函数f(x)的值域。解：令x=y=0,有f(0)=0或f(0)=1。假设f(0)=0,那么f(x)=f(0+x)=恒成立,这与存在实数玉WX2，使得/(x)(X2)成立矛盾，故f(0)0,必有f(0)=b由于f(x+yf(x)f(0)=0)=f(x)f(y)对任意f(O)=f(-)=f(x)f(-)=O与f(O)O矛盾,所以f(x)>O.一般地，抽象函数满足的关系式应看作给定的运算法那么，在处理抽象函数的问题时，往往需要进行适当的赋值(可以是具体的数，也可以是任意有助于解题的变量)，这是一般向特殊转化的必要手段。变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与式或所给关系式及所求的结果相关联。实数x、y均成立，因此,f。)=/(f+)=/(f)/(f)=/(f)20,又因为假设f(x)=0,那么四、解析式问题(换元法，解方程组，待定系数法，递推法，区间转移法， 例1.f(l+sinx)=2+sinx+cos2x,求f(x)【解析】令U=I+sinx,那么sinx=u-l(OWtI2),那么f(u)=-u2+3u+l(0u2)i!f(x)=-2+3x+l(0u2),换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数解析式问题问题的根本方法. 例2.设X£R且x0,X关1,函数f(x)满足，/()+(±l)=+,求f(x)的解析式。【解析】.f()+f(2L二l)=l+(O且l),(l)用立!代换X得：/(2二1)+/(L)=互二i,(2)XXX-xX再以一!一代换(1)中的X得：f(一)+/(X)=2三W.由"02%得:f()=Ll(XWo且XHl)1-X1-X1X22Z-2xX如果把X和分别看作两个变量，那么实现由两变量向一变量的转化是解题关键。通常给某些变量X适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保存一个变量关系式或构造关于几个变量关系式的方程组并求解。例3.f(x)是多项式函数，且f(x+l)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x).【解析】易知f(x)是二次多项式，抽象函数类型确定，可用待定系数法来解答。设f(x)=ax2+bx+c(a0),代入比拟系数得:a=l,b=-2,c=-1,f(x)=x2-2x-1.例4.是否存在这样的函数f(x),使以下三个条件：f(n)>O,nN;f(m+m)=f(n1)f(m),m,mN*;f(2)=4同时成立?假设存在,求出函数f(x)的解析式；假设不存在，说明理由.【解析】假设存在这样的函数f(x),满足条件,得f(2)=f(l+l)=4,解得f(D=2.又f(2)=4=21f(3)=2，由此猜测:f(x)=2*(XWN*)(数学归纳法证明略)如果给出的抽象函数关系式具有递推性，尤其是定义在正整数集N*上的抽象函数求解析式问题,常用数列中的递推法来求解.例57(幻是定义在R上的偶函数，且/(1一万)=/(%+)恒成立，当x2,3时，f(x)=xt那么当x(-2,0)时，函数f(x)的解析式为(D)A.x2B.x÷4C.2+x÷1D.3-x+1|【解析】易知T=2,当x(-2,-1)时，x+4(2,3),/(x+4)=x+4=(x);当x(T,0)时2-x(2,3),(2-X)=2-x=(-x)=(x).应选D。利用函数的周期性和对称性把未知区间转移到区间，利用区间的表达式求未知区间的表达式，是求解析式中常用的方法。练1.设y=f(x)是实数函麴即x,f(x)为实数),且f(x)-2f(')=x,求证：l(x)|n2V.X3解：用L代换X,得fd)-2f(x)=',与已知得2+3Xf(X)+2=0，由。得9f2(x)-4x20,.Jf(x)l-2.(判别XXX3式法求值域，也可以解方程组求出f(x)解析式然后利用双勾函数模型或均值定理求值域)练2.(06重庆)定义域为R的函数f(x)满足/(/'(力-y+力二人力一+尤m假设r(2)=3,求AD;又假设0)=a,求f(a)s(II)设有且仅有一个实数照，使得Fa)=照，求函数汽力的解析表达式。解：(/)因为对任意XeR,宜行+*)=/(X)-XN+工所UV"(2)-22÷2)=Z(2)-22÷2又由/(2)=3,f¾(3-22÷2)=322÷2,即./'(1)=1苍/(O)=a、贝Q*(-O2÷O)=«-O2÷O,国HZ'S)=a（三）因为对任意XC&,直/(x)-£+x)=/(x)-jc2+x.又因为有且只有一个实数.使得(f)=/所以对任意XeR,有f(x)-x2+x=xo在上式中令X=Xo，(X0)X+X0=Xo再(X0)=X0,得Xo-Xq=0.故Xo=O=1若o=0,贝(X)X2+X=O,即/(x)=X2X但方程Y-X=X有两个不相同实根，与题设条件矛盾。故XoKO若XO=1，则有了(K)-+X=,艮Iy(X)=X2-K+易验证该函数满足题设条件。综上，所求函数；yf(x)=-X+1(XWR)练3.函数f(x)对一切实数X,y均有,(÷y)-/(y)=(÷2y+1)%成立，且F(I)=0,(1)求/(0)的值：(2)对任意的玉w(O,g),x2(0,),都有人小)+2/的戒成立时，求a的取值范围.【解析】(1)由等式IX+y)-(y)=+2y+l)x,令X=1,y=o得/-/(0)=2,XV/(1)=0,()=2.(2)由/(x+y)-/(y)=(x+2y+l)x,令y=。得/(x)-(0)=(x+l)x,由(1)知f(0)=-2,.*.fx)+2=X+x.2e(0,_!_),；/(X1)+2=+=(再+q)-在(0,5)上单调递增，/(X)+2(0,).要使任意百w(0,；),Z(°，；)都有/()+2<k>g.X2成立，必有3113-IogaX2都成立.当>1时，log“x2<Iogrt,显然不成立.当OVaVl时，(IOgax2>)Ioga-,44解得一a<.a的取值范围是一1).44五、单调性问题(抽象函数的单调性多用定义法结合奇偶性解决)例10.设函数f(x)对任意实数X,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),假设x>0时f(x)<O,且f(D=-2,求f(x)在卜3,3上的最大值和最小值.【解析】假设为选择填空题题，可以由正比例函数直接得出答案。或给定区间求值域问题可以考虑用单调性解决，由单调性的定义步骤设x<X2,考虑X大于O,xX2但都不确定正负，唯一能配凑出来与xi、X2相关的大于0的量只有X2-X1,由此思路需配凑X2-X.项，结合题目条件，那么f(x2)=f(X2-X1+X1)=f(X2-X1)+f(X1)<f(X1).(.2-X>0,.f(X2-X1)<O)所以f(X)是R上的减函数，故f(x)在-3,3上的最小值为f(3)=f(l)+f(2)=3f(D=-6,最大值为f(-3)=6(因为f(x)为奇函数.，f(-3)=-f(3)=6.)o证明一不需用到奇偶性，证明二：令x=y=O(1特殊优先，欲知局部性质可以先研究整体性质)，得f(0)=0,令y=-x,得f(-x)+f(x)=f(O)=O,所以f(x)为奇函数。考虑欲知f(x,-f(x)正负由奇函数变形后知要证f(x2-x)正负，由此得证(因为x0时f(x)<O,为利用此条件故用f(xJ-f(x>而不是f(X。-f(2)0证明一不需考虑奇偶性，证明二需用到奇偶性，先判定奇偶性总不会错。练1.设f(x)定义于实数集上，当x>0时，f(x)>l,且对于任意实数x、y,有f(x+y)=f(x)f(y),假设尸(幻f(2-/)>1,求X的取值范围.【解析】指数函数模型，设R上X<X2,那么f(x2f)>l,f(x2)-f(x1)=f(x1)f(x2-x,)-l,需知f(x)正负，取x=y=O得f(0)=0或f(0)=1;假设f(O)=O,令x>0,y=0,那么f(x)=0与x>0时，f(x)>l矛盾，所以f(0)=l,x>0时，f(x)>l>O,x<0W,->0,f(-)>l,由/(0)=/(x)/(_x)=1得Z(X)=_1_>o，/()故f(x)>O,从而f(x2)>f(x).即f(x)在R上是增函数。由Fo)f2->1,F(O)=I得F(3*一力>r(0).3*V>0.0VV3解此题的关键是灵活应用题目条件，“门照)=F(M-M)+汨”是证明单调性的关键，这里表达了向条件化归的策略，注意与上题一样，思路都由X2-X>0与条件吻合得出。练2.偶函数f(x)的定义域是XWO的一切实数，对定义域内的任意小,至都有f(%巧)=/&)+/(%)，且当x>l时)>0,(2)=l,假设f(2/-1)<2那么X取值范围是一。【解析】(抽象函数解不等式问题常需借助单调性来穿上或脱去抽象函数符号)设为>玉>0,(函数为偶函数且定义域是X关O)那么/(.)-/(,)=/(1-()=/(X1)+/(-(1)=玉)2X,X1V2>x1>0,>l,/(三)>0,即/(x2)-(x1)>0,/(x2)>/(X1)/(x)在(0,+oo)上是增函数.！重视题后总结，注意由上面两道例题及所设W>2>0联想到要构造出当X>l时f(x)>0这样一个条件，与1,X2相关的量只有三>1,这点是解题关键。又"(2)=1,/(4)=/(2)+/(2)=2,又因为函数为偶函数，所以在(-,0)递减，所以0V22-1V4或-4V2x2TVO(或/(x)是偶函数不等式f(2x2-1)<2可化为川2f-11)</(4),又I函数在(O,+)上是增函数，02x2-1<4,注意根底不好的同学用此法易出错，可按部就班解)解得：呼一呼且孝)巧解：此题函数模型可以看作log2x,可以快速解出来，注意此题易错处是容易忽略函数定义域。对于偶函数，假设在(0,+8)上是增函数(减函数原理一致，此处仅以增函数为例)，且有f(x)Vf(m)那么等价于f(x)Vf(m)等价于冈Vlml(结合图象理解，到0的距离越小函数值越小)练3.函数f(x)的定义域为R,且对"、"R,恒有£(加)=f(加)+/1()-1,且/'('):0,当入>2一!时，F(X)>0.求证：f(x)是单调递增函数；2【证明】：(!需判断莅一小)一1的正负，构造满足题意的变量，充分利用条件)设汨V2,那么心1,由题意F(X2Xl')>0,那么/*(均一F(XI)=F(X2X1)+X1-F(Xl)=F(x2-X)+f(x)一2221-/(xl)=f(x2-xi)-l=f(x2-i)+-)-i=f(及一小)一L0,.'/U)是单调递增函数.假设此题22为求值问题，可找出一次函数模型y=kx+l与之匹配，加速解题。练4.定义在R'上的函数f(x)满足：对任意实数m,f(G)=mf(x);f(2)=1.(1)求证:f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数X,y都成立；(2)证明f(x)是R'上的单调增函数；假设f(x)+f(x-3)W2,求X的取值范围.【解析】(1)令x=2,y=2n,其中m,n为实数，那么f(xy)=f(2n,n)=(m+n)f(2)=m+n.又f-f(2")=mf(2)+nf(2)=m+n,所以f(xy)=f(x)+f(y)(注意引导学生提出问题：为何知道要那样设才可以证明？事实上，此题需要注意到题设条件是以鼎指数形式给出的，为了方便应用此条件，x,y需要设成辕指数形式，至于底数，在第一问得证明中可以随便设也能证。或联系对数函数模型联系也好证明，显然此题可令f(x)=l0g2X,那么证f(xy)=f(x)+f(y)类似于证Iog2xy=log2x+Iog2y,回想对数函数性质定理，Iog2Xy我们设log2x=m,Iog2y=n那么x=2y=2llog?xy=Iog2r=m+n=Iog2x+Iog2y命题得证，此题虽未给出具体解析式，但给出得运算性质符合对数运算性质，故也可以如此设x,y,思路由此而来，解题后梳理思路及总结至关重要，听课不注重思考总结老师的解题思路，是总成性质大多数学生听课能听懂，解题不会解的根源)证明:设0<X<X2,可令m<n且使XI=2in,X?=211,由得f(XJ_f(X2)=f目)=f(2m-n)=(m-n)f(2)=m-n<0X2故f(x)<f(x2),即f(x)是R'上的增函数。(此题只要设出由与念的正确形式，不运用1的结论直接代入题设条件更简，但很难想道这样做，最关键的是要能正确设出由和X2的形式，思路如下：结合上面的例题中给出条件为和式且当x>0时，f(x)>O,构造X2一汨给出条件为积式且当X>l时f()>O,构造三>1式，此题给出条件为积式，故此题如此构造证明，关键在于证明f(上)VO或f(立)>0,显%x2X1然依据对数函数性质，这与条件联系f(2)=l也有关系，f(2)=l决定了其底数大于1,那么事实上只要f(2)>0即可决定底数大于一即可有假设X大于L那么有f(x)>O,这为我们提供了一个思考方向，即要么证明f(小)>f(2)>0,显然这并不一定成立，要么是f(三)能变形成关于f(2)的关系式，联系再为题设及(1)的设元思路，显然要将土化成基指数形式才方便利用题设条件，故可以设五二炉那么m%X1>0,由太监f(五)=f(2")=mf(2)=m>0,那么原命题得证，只要设元正确，由(1)题性质也可以证。为注意(1)只是函数局部性质，不能代表函数，虽然某些时候中间结论的运用可以简化解题思路，但此题要由(1)性质证明f(五)>0,很难想到又要这么设元。碰上对数型抽象函数要考虑如此设元。为(3)由f(x)+f(-3)W2及f(x)的性质,得fx(-3)W2f(2)=f(4),结合定义域(!)解得3<xW4.注意题目的连续性，尤其是难题，往往前面小题的结论可以运用在后续的问题当中，要有联系同一道题中前面小题的结论的强烈意识，其次是，此题假设略去第一小题，或前两小题，显然难度加大了，难题往往就这样思维具有跳跃性，但也要学会处理这种题目。比方只给出第三问，首先求解关于抽象函数的不等式问题往往需要证明和运用单调性，而第一问结论其实不知道也能完成单调性的证明，但假设碰上更难易点的题，这时候可以联想既然此题函数模型可以设为对数函数，那是否也具备对数函数所具备的一些性质呢？再试图证明出来，不仅可以为后续的解题提供方便，还可以为自己提供一个新的解题思路。练5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a,b,当a+bW0,都有(÷)>0a+b那么如果有fIR')+f(x-9x-2)<0对XW1,1恒成立，求实数k的取值范围。【解析】由a>b,那么a-b>0,那么>o即fS)-f(b)>0,所以f(a)>f(b),a-b函数在R内递增，利用单调性转化为恒成立问题，别离变量利用双勾函数性质可得A<2后-1或转化为t?-(k+l)t+2>0在,，3内恒成立，相当于,，3内函数t?-(k+l)t+2最小值大于0就可以，33而开口向上的二次函数闭区间在定区间内最小值按对称轴在区间内或左右两端可分三类，据此可解。练6.函数f(x)对任何正数X,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)0,当x>l时,f(x)<l.试判断f(x)在(0,+8)上的单调性,并说明理由.【解析】对XGR+有f(X)=f(7.7)=f2()0,又f(X)0,故f(X)>0，设,尤W/T,且MV孙则玉>>1,则fN)%X')f7)")qX2厂，也可以作差发现需要证明f()恒正或恒负)所以f(x)>f(X2),f(Xl)f(X)f(×)×1V故f(x)在R'上为减函数. 练7.奇函甄(X)在(-8,0)上单调递减，一巾=0,贝心-D(x+D>0的解集为()A-2,-l)o(l,2)B-3,l)u(2,÷)C>(-3,-l)D>(-2,0)u(2,+)【解析】C.虚拟函数图象以助理解。 练8.函数/(X)的定义域为0,1,且同时满足：对任意XdM,总有/(x)2;(2)/(1)=3假设xl>0,x2>0且xl+x2<1,那么有/(+x2)(x1)+(x2)-2.求/(0)的值；（三）求8)的最大值；(11D设数列叫的前项和为S,且满足S=-*(a-3),eN*求证：f(ai)+f(a2)+f(a3)+f(a/l)<+2n-zr.【解析】(I)令玉=占=0,由，那么/(0)2/(0)2,./(0)2由对任意x0,l,总有/(x)2,.J(0)=2(2分)(II)(利用单调性求最值，但注意此处不能说是递增)任意px20,1且为(，那么0<x2-xl1,.f(x2-xl)2A/(x2)=(2r+)(X2-)+()-2/(X).ymax=0)=3也可将l-x+x代入(赋值思想，代入0的话-X不在定义域内)得f(l-x)+f(x)W5又f(l-x)N2那么-f(l-x)-2两式相加得f(x)W3又/(1)=3,所以，(刈=/=3(6分)(HI)S”=T(-3)5N*)F=T(4i-3)52)凡=z-(w2),671=l0,.an=#(8分)*/(rt)=/(3r)=(y÷y÷y)/()+)-23(-)-4/./(*)(j)+j*即f(4+1)«打(4)十多。/(/)4"(加)+与4/(4.2)+4*(q)+押奈+,甘+：2+*故/(q)2+贪.f(q)+/(2)+.+f(an)2n+詈即原式成立。(14分)六、奇偶性问题例1.函数/(x)(xR,XWo)对任意不等于零的实数X、工2都有/(“I12)=U1)+/U2)»试判断函数f(X)的奇偶性。【解析】取2二-1,%2=1得：/(-1)=/(-1)+/(1)，所以/(1)=0，又取七=%2=T得：/(D=/(-1)+/(-1)»所以AT)=0,再取M=K=-1那么/(幻=/(1)+/(幻，即Q)=()因为f()为非零函数，所以/(%)为偶函数。(注意此处极易遗漏，假设不说明，还有可能既为奇函数又为偶函数。判定奇偶性三步骤：一看定义域是否关于原点对称；二看f(r)是否等于仪分或才仪)；三看函数是否在定义域内恒为0,三者缺一不可，但步骤三实际运用得较少。)例2.yM2x+l)是偶函数，那么函数y=X2x)的图象的对称轴是(D)A.x=lB.x=2C.X=D.=-22【解析一】f(2x+D关于x=0对称,那么f(x)关于x=l对称(可按平移理解，也可以令x=T,0,理解以后作为结论运用：假设f(x)对称轴为XF,那么f(g(x)对称轴即令g(x)=m,求出X即可;假设f(g(x)对称轴为x=m那么f(x)对称轴为x=g(m),故f(2x)关于2x=l对称.【解析二】可以理解为y2)的图象是由y/Zv+l)图象向右平移0.5个单位得来的，那么对称轴也随函数图象向右平移0.5个单位。【解析三】假设由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为简。F(x)=f(2x+l)为偶函数，那么f(-2x+l)=f(2x+l)ff(x)关于x:l对称。例3.函数f(x)的定义域关于原点对称且满足(l)(x-y)=萼里，(2)存在正常数a,/(y)-f()使f(a)=l.求证：f(x)是奇函数。【证明】：设t=-y,那么/(T)=()，-X)=变坐/=-嘤耳W=-(),所以f(x)为奇函数。-(y)f(y)-f() 例4.设/(x)是定义在R上的偶函数，且在(-oo,0)上是增函数，假设f(2a2+a+l)</(3/-2g+1)。求实数。的取值范围。【解析】假设为一次式可以分类讨论也可以直接化为绝对值不等式再平方，二次式一般分类讨论。由偶函数的性质知道：/(x)在(0,+8)上减，而2。2+。+1>0,3-2+l>0,所以由/(2。2+。+1)</(3。2-2。+1)得2。2+。+1>3。2-2。+1,解得OVaV3。此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以此题弹性较大，可变式为：/3+1)</1)或八4+1)</(1-2)等；也可将定义域作一些调整) 例5.定义在"上的单调函数F(*)满足f(3)=Iog13且对任意¥,y£R都有x+y)=f(x)+y).求证f(x)为奇函数；假设八人3*)+3,-9'-2)0对任意/£万恒成立，求实数A的取值范围.【证明】11)f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y£R)令y=-x,代入式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0),令x=y=O,代入式,得f(O+O)=f(O)+f(O),即f(0)=0.即f(-x)=-f(x)对任意XWR成立，f(x)是奇函数.【解析】(2)f(3)=log23>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是单调函数，所以f(x)在R上是增函数,又由(Df(X)是奇函数.f(k3x)<-f(3x-9r-2)=f(-3+9x+2),k3x<-3x+94r+2,32x-(l+k)3x+2>0对任意XR成立.令t=3'>0,即t2-(l+k)t+2>0对任意t>0恒成立.=t2-(1+Jt)/+2,其对粉;轴IX=当即AVT时，/()=2>o,符合题意：故：L<T+2¢,/(k3)+/(3-9-2)<0对任意xR怛成乂。当学皂窗外.对任意，>0./(/)>。恒成立=I-2°=(1+)2-8<O解得-1A<-1+2(上题解法错误，结果正确，事实上当对称轴为。时，不一定判别式可以等于0.应该要分开讨论。此外此题还有更简捷的解法：别离系数由k-3x<-3+9x+2得攵<3'+5-1,而=3'+生"一12-1,要使对xR不等式k<3*+1-1.恒成立，只需k<2/1上述解法是将k别离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖.练1.f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的函数a,b都满足f(ab)=af(b)+bf(a).(1)求f(0),f(l)的值；(2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论；假设f=2,un=f(2n)(nN*),求证:UnQUn(nN*).【解析】、令a=b=O,得f(0)=0,令a=b=l,得f(l)=0.(2)、令a=b=-l,得f(-l)(-l)=-f(-l)-f(-1),f(-1)=0,故f(-)=f(-l)(x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)先用数学归纳法证明:UFf(2>>0(n£N*)(略)练2.定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数X,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立，且当x>0时f(x)Vo恒成立.(1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论；(2)假设函数f(x)在13,3)上总有f(x)6成立,试确定f(l)应满足的条件;解关于X的不等式Lf(ax2)-/(x)>-f(a2x)-/(),5是一个给定的正整数"0)nn【解析】(1)奇函数(证明略)。设任意xi，X2三R且XlVX2，那么X2一xi>0，'f(x2×l)VO,而f(x2-x)=f(x2)+f(xi)二f(x2)-f(xi)<0;.f(xi)>f(x2),即f(x)在(-8,+8)上是减函数.,f()在-3,3上的最大值为f(-3).要使f(x)W6恒成立，当且仅当f(-3)6,又(-3)=-f(3)=-f(2+1)=-f(2)+f(1)=-f(1)+f(1)+f(1)=-3f(1),f(1)2-2.f(ax2)-f(x)>f(Mx)-f(a)=f(ax)-f(ax)>nf(x)-f(a)nnnf(a2-a2)>11f(-a),由得：fn(-a)=nf(-a).,.f(ax-ax)>fn(-a)Vf(x)在(一8,+oo)上是减函数1.ax?-zPxVn(-a).即(-a)(a-11)<0,Va<0,(-a)(X-)>0,分类讨论：当aV0VO,即