拉普拉斯变换公式总结.docx

拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析根本要求通过本章的学习，学生应深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念：熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义及它们的运用。能根据时域电路模型画出S域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应。能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性。理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系。会判定系统的稳定性。知识要点1.拉普拉斯变换的定义及定义域(1) 定义单边拉普拉斯变换：正变换f(t)=F(三)=/(Z)/Z逆变换F(s)=f(t)=Fses,ds2jJAJoO双边拉普拉斯变换：正变换Fs)I/÷oo或逆变换/«)=1.FB(三)eds(2) 定义域假设。分时，Iimfte,=0那么f(t)e,在。4的全部范围内收敛，积分Jf(t)estdt存在，即了的拉普拉斯变换存在。外就是/的单边拉普拉斯变换的收敛域。与函数FQ)的性质有关。2 .拉普拉斯变换的性质(1) 线性性假设久工6)=6©&(，)=玛内应为常数时，那么久5+勺/=/式+/用(2) 原函数微分假设，"")=F(三)那么G或黑=5F(5)-(OJat=SnF(三)-sn-r-lf(0_)出r=0式中/(0)是r阶导数土必在0时刻的取值。dtr(3) 原函数积分假设久/=尸($)，那么力=型+式中/1)(0一)=°F力JySSJ-X(4) 延时性假设f(t)=F(s)，那么QT0)(，一幻二。尸(5) S域平移假设=尸(三)，那么f(t)e-a,=F(s+a)(6) 尺度变换假设4"")=F(s),那么，"(W)=L/(3(a>0)aa(7) 初值定理lim(f)=/。)=IimS尸(三)tO4,STR(8) 终值定理Iimf(t)=IimSaS)f+>so(9) 卷积定理假设小工=耳($)，f2(t)=F2(三),那么有久工")*&(/)=耳玛(三)II/+oo<tzW=*F2=.耳(P)K(S-0切2j2-23 .拉普拉斯逆变换(1) 局部分式展开法首先应用海维赛展开定理将尸(三)展开成局部分式，然后将各局部分式逐项进行逆变换，最后叠加起来即得到原函数/0)。(2)留数法留数法是将拉普拉斯逆变换的积分运算转化为求被积函数F(s)ex,在围线中所有极点的留数运算，即尸(三)=言/Wds=上(FGXwdS=gFG)/的留数假设Pj为一阶级点，那么在极点S=Pi处的留数IKS-p,.)F(5)ZX,2/=1'假设Pj为k阶级点,那么/;(p(s)eRi.4 .系统函数(网络函数)H(s)(1) 定义系统零状态响应的拉普拉斯变换与鼓励的拉普拉斯变换之比称为系统函数，即"")二旦®冲激响应以。与系统函数H(三)构成变换对，即H(三)=，«)系统的频率响应特性E(三)H(JW)=H(三)IS=加=H(W)IemW)式中,"(W)I是幅频响应特性，*(W)是相频响应特性。(2) 零极点分布图"嚼=式中，K是系数Z2,ZnJ为H(S)的零点；Pi,P2，P”为H(三)的极点。在S平面上，用“O”表示零点，“X”表示极点。将H(s)的全部零点和极点画在S平面上得到的图称为系统的零极点分布图。对于实系统函数而言，其零极点要么位于实轴上，要么关于实轴成镜像对称分布。(3) 全通函数如果一个系统函数的极点位于左半平面，零点位于右半平面，而且零点与极点对于轴互为镜像，那么这种系统函数称为全通函数，此系统那么为全通系统或全通网络。全通网络函数的幅频特性是常数。(4) 最小相移函数如果系统函数的全部极点和零点均位于s平面的左半平面或w轴，那么称这种函数为最小相移函数。具有这种网络函数的系统为最小相移网络。(5) 系统函数”(三)的求解方法由冲激响应«)求得，即H(s)=h(t)o对系统的微分方程进行零状态条件下的拉普拉斯变换，然后由”(三)二&获得。E(三)根据S域电路模型，求得零状态响应的像函数与鼓励的像函数之比，即为”(三)。5 .系统的稳定性假设系统对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，那么此系统为稳定系统。(1)稳定系统的时域判决条件J,”)mM(充要条件)假设系统是因果的，那么式可改写为厂,(，),M(2) 对于因果系统，其稳定性的S域判决条件假设系统函数H(三)的全部极点落于s左半平面，那么该系统稳定；假设系统函数H(三)有极点落于S右半平面，或在虚轴上具有二阶以上的极点，那么该系统不稳定;假设系统函数"(s)没有极点落于S右半平面，但在虚轴上有一阶极点，那么该系统临界稳定。内容摘要拉氏变换的定义和收敛域I典型信号的拉氏变换局部分式展开法二.单边拉氏变换逆变换的求法yI围线积分法三.拉氏变换的根本性质四.用拉普拉斯变换法分析电路1.系统函数的定义五系统函数Y由零极点的决定系统的时域特性.I由零极点的分析系统的稳定性I曲零极点的分析系统的频响特性例题 例题1：求拉氏变换 例题2：求拉氏变换，拉氏变换的性质 例题3：拉氏变换的微分性质 例题4：系统函数，求解系统的响应 例题5：用拉氏变换法分析电路例4/求以下函数的拉氏变换分析拉氏变换有单边和双边拉氏变换,为了区别起见,本书以尸(三)表示/(f)单边拉氏变换,以尸8(三)表示/.(1)双边拉氏变换。假设文字中未作说明,那么指单边拉氏变换。单边拉氏变换只研究f0的时间函数,因此,它和傅里叶变换之间有一些差异,例如在时移定理,微分定理和初值定理等方面。本例只讨论时移定理。请注意本例各函数间的差异和时移定理的正确应用。解答7(三)=ltu(t=Ltl)w(r1)+w(r1)=f-+1e-,例42求三角脉冲函数f(f)如图4-2(a)所示的象函数/(f)=2-/OO<t<l l<t<2 其他分析和傅里叶变换类似，求拉氏变换的时，往往要借助根本信号的拉氏变换和拉氏变换的性质，这比按拉氏变换的定义式积分简单，为比拟起见，本例用多种方法求解。解答方法一：按定义式求解方法二：利用线性叠加和时移性质求解方法三：利用微分性质求解方法四：利用卷积性质求解方法一：按定义式求解F(三)=J/(Md，=£e-srd+2(2-)e-szdr=(一*+：-ewdt+2'e-s/dt-ted/1一Sl-Sl2_2s2_$2_2s1-s=-e-ye+丁e+-e+-e-eSSSSSSS=(l-e-7方法二：利用线性叠加和时移性质求解由于/(f)=£削-2«-IM"1)+(，-2)Q-2)AM)=盘4/(J。)=尸(三)e-%于是F(s)=4(l-2es+e2j="(iy方法三：利用微分性质求解分析信号的波形仅由直线组成，信号导数的象函数容易求得，或者信号经过几次微分后出现原信号，这时利用微分性质比拟简单。将/(f)微分两次，所得波形如图4-2(b)所示。F")Wl)I(I)"112b7|(-2),与等=小(，)-g(，-1)+3(，-2)=(l-es)2根据微分性质=F(s)-r(-)-s(-)由图4-2(b)可以看出/(o-)=o,r(o-)=o于是F(s)=(l-e-s)2MS)=E(I-e-y方法四：利用卷积性质求解/可看作是图4-2(c)所示的矩形脉冲/(/)自身的卷积/(f)"3"(f)于是，根据卷积性质MS)=居(三)居(三)三4-2(c)例43应用微分性质求图4-3(a)中E(UEJ“),力(。的象函数下面说明应用微分性质应注意的问题，图43是的导数川。月领崛。/C)=3W)f2(t)=2+u(t)332f3(t)=u(t)TT图4-3解答y:C)=3即)(3)(1)产)=MK(O=M)O-OTO图4-4(b)说明(1)对于单边拉氏变换，由于工(f)=i(f)w(“故二者的象函数相同，即居(三)=尸2(三)=9S虽然FI(三)=F2(s)Wi(0(4因而4X014W对于工(。由于工(O)=0，故"而)=s尸(三)-O=3对于力(“由于A(O)=2,故H月(以=SP(三)-2=1(3)S然/用明。上阶导数相同，fif2(j=2,3(J=O,因此族)="(x)dX+(-)=f/(x)dX+2(O=fWdX+(-)=f/(x)dX因而2(三)=-fH0+-(°-)=-SSSf3(三)=-fK0+-(o-)=-SSS这是应用微分性质应特别注意的问题。由图4-3(b)知1.(0=SNS)-O=3则E(三)=I"/；(，)=SF(三)-2=1则以s)=BA(0=£<5(x)dX则居(s)FJ0+13(OJ=-SSS例4-4某线性时不变系统，在非零状条件不变的情况下，三种不同的鼓励信号作用于系统。当输入(/)=的时,系统的输出为I(。=咏)+e-z>当输入Mf)=M)W时，系统的输出海(。=3小】(。当输入七(。为图中所示的矩形脉冲时，求此时系统的输出力(0。H-(0.(，)=%(，)+%(O=j三(0+心)M)=B(，)+婷)(，)=-(O+'")=%0+g(t)以(。-(，)=(0+(E)=咏)-2e"(s)-U(三)=I-=F阶蝙修-二MO的)KMMWFMa)=2eW)那么%(。=%(，)+g(l)-gG-3)=2er«(/)+e÷0W1)一e«3)u(t-3)例4545(a)电路如图4-5(a)所示(1)求系统的冲激响应。(2)求系统的起始状态il.(j%(0_)使系统的零输入响应等于冲激响应。(3)求系统的起始状态，使系统对"(f谢激励时的关全响应仍为u(t解答(1)求系统的冲激响应。系统冲激响应力(。与系统函数H(三)是一对拉氏变换的关系。对H(三)求逆变换可求得M，)，这种方法比在时域求解微分方程简便。利用S域模型图45(b)可直写出图45(a)电路的系统函数1h( ) _ 记,一 E(S) -1R + sL+ SC1s2 + 25 + 1冲激响应HE)=LMs)=W2S认°-)1=1rtl+E(三)O：，(。-)。匕(三)1s_4-5(b)(2)求系统的起始状态为求得系统的零输入响应，应写出系统的微分方程或给出带有初值的S域模型。下面我们用S域模型求解。图45(a)电路的s域模型如图4-5(b)由图45(b)可以写出W(OjMS)Te(O-AM。)K(三)SiT二E(三)I(s+2>c(o.)+MO-)s2+2s+1s2+2s+1零状态响应零输入响应上式中第二项只和系统起始状态有关，因此该项是零输入响应的拉氏变换。依题意的要求，该项应和”(s)相等，从而得(s+2)VC(O.)+M-)=l故系统的起始状态%(-)=MO-)=说明通过本例可以看出，改变系统的起始状态可以使系统的完全响应满足某些特定要求。本质上，系统的零输入响应完全由系统的起始状态决定，对一个稳定系统而言，零输入响应是暂态响应中的一局部，因此,改变系统的起始状态只能改变系统的暂态响应，使暂态响应满足某些特定要求，例如，本例要求暂态响应为零。(3)求系统的起始状态当激励信号市)=W)根据式求得完全响应y(7lQ÷2)vc(0-)÷l(0-)Jl7-2Js+2鼠(.)+fL(O.)-Ss2+2s+1s2+2s+1I由该式容易看出，要使全响应“，用于激励信号。有(s÷2)vc(0-)+<l(0.)-.-2=0从而求得系统的起始状态%(o)=MoJ=O附录A拉普拉斯变换及反变换1.表AT拉氏变换的根本性质1线性定理齐次性Lw=。尸(三)叠加性L±2=F1(5)±F,(5)2微分定理一般形式“华&=S尸(三),/(0)at1.dy=s2F(s)-sf(O)-ff(O)dr1."E')=s-F(三)-m-au'0(O)CltA-I初始条件为0时W-JF3积分定理一般形式WaM=&+IIZ也巨JSS<"学吗也+W迎广J/(0W=-÷rp/(O(11,os*7S初始条件为0时物个Mp(0W=-r4延迟定理(或称，域平移定理)Llf(t-TW-T)=esF(三)5衰减定理(或称S域平移定理)Lf(t)e-a,=F(s+a)6终值定理Iimf(t)=IimsF(s)tSTO7初值定理Iimft=IimsF(s)0s8卷积定理工工。一T)A(T)=L北工(f)A(f-)d=6(s)6(s)2.表A-2常用函数的拉氏变换和Z变换表序号拉氏变换E(三)时间函数e(t)Z变换E(Z)11(t)1211-Ts1-e为“)=力(/-7)ZrqO3SKOZ417tTZ(Z-I)25153r2"Z(z+1)2(z-D361尸e_!1.(-Dnn/Z、Iim(，Manz-ea7s+aLZzV"81(s+)2te-a,Ti(z-e-ar)29aI-Ld-e-ar)zs(s+a)(z-l)(z-e-a)10b-a(s+)(s+h)U-加ZZ-c-aTc-bTZ-eZ-e11SindZSins2+2z2-ZzcqscoT+112SCOSOJtZ(Z-CoS以)s2+2z2-2zcos<T+113(s+a)2+2ea,sintzeasinTz2-2ze'acosT+e-2a14s+a(s+)2+2ea,COS初z2-ze'i,cosz2-2ze-acos7,+e-w155-(lT)lna士3.用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行局部分式展开，然后逐项查表进行反变换。设b(s)是S的有理真分式一、B(s)bms,n+bm.5wl+-+/?,5+.尸(三)=吧!n>mA(三)ansn+H1-s+4式中系数%T,?，外,4,"一呢都是实常数：九九是正整数。按代数定理可将尸G)展开为局部分式。分以下两种情况讨论。A(三)=O无重根这时，F(三)可展开为n个简单的局部分式之和的形式。皈)=上+q+q+人=之上(F-I)SSSS2SS-SSn/=ISSj式中，S,$2，S”是特征方程A(三)=O的根。G为待定常数,称为F(三)在Si处的留数,可按下式计算:ci=Iim(S-Sj)Z7(三)(F-2)SfSj8(s)或(F-3)式中，4'(三)为A(三)对S的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式(F-I)可求得原函数/(r)=r,(5)=r,之工=SCieF(FT)i=lS-SiZ=IA(三)=O有重根设AG)=O有1重根4，F(三)可写为F(三)=-(s)(sfz)(s-S,)二+，+人G-SI)(S-SI)(S-Sl)SSr+1S-Sissn式中，力为F(三)的r重根,S川，s”为F(三)的n-r个单根；其中，Cr+1,.»%仍按式(F-2)或(F-3)计算，Cr,cr.1,.,G那么按下式计算：cr=Iim(5-51)rF(s)Sfrl%=+f"STS(F5)1人),：=Iim(5-5.)r尸(三)'，j!fds(n11c.=Iim-(S-5.)rF(三)1(DZds"T)'"原函数/(f)为=1F(5)=Ux(S-S)'(s-S尸+：+(STl)Xil>.+L.+Crr-+%-ltr-2d)!(r-2)!+Xqew三r+l(F-6)