2023年一元二次方程的知识点总结.docx

元二次方程知识点的总结知识结构梳理'(1)具有个未知数。Y(2)未知数的最高次数是1、概念3(。)是方程。(4)一元二次方程的一般形式是。(1)法,用用于能化为(x+m)2=0)的一元。二次方程XJX 2)3 工 E 二 kjr法，即己方程变形为ab=0的形式，2、解法(a,b为两个因式),则a=0或法J4)法,其中求根公式是J当时，方程有两个不相等的实数根。(5),当时，方下命两个相等的实数根。当时，方程有没有的实数根。可用于解某些求值题。(。(1)<一元二次方程的应用<(2)。(3)可用于解决实际问题的环节(4)。(5)(6)知识点归类建立一元二次方程模型知识点元二次方程的定义假如一个方程通过移项可以使右边为0,而左边只具有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：方程是整式方程。它只具有一个未知数。未知数的最高次数是2.同时还要注旨在判断时，需将方程化成一般形式。例下列关于X的方程，哪些是一元二次方程？2(1)-7=3；(2)2-6x=0;(3)x+x=5；(4)-2=0；%*+5(5)2x(-3)=22+1知识点二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为"2+纵+C=O(a,b,c是已知数，w)。其中a,b,c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。注意：(1)二次项、二次项系数、一次项、一次项系数,常数项都涉及它前面的符号。(2)要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项,必须把它先化为一般形式。(3)形如分2+"+C=O不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程。例1将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项。7(1)5x2=jx;(2)(x-2Xx+3)=8:(3)(3x-4Xx+3)=(x+2)2例2已知关于X的方程(加一I)X+2一(m+1卜一2=0是一元二次方程时，则团二知识点三一元二次方程的解使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如:当x=2时,2-3+2=O所以x=2是2-3x+2=0方程的解。一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。知识点四建立一元二次方程模型建立一元二次方程模型的环节是:审题、设未知数、列方程。注意：(1)审题过程是找出已知量、未知量及等量关系;(2)设未知数要带单位；(3)建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。例如图(1),有一个面积为150肝的长方形鸡场，鸡场一边靠墙(墙长18m),另三边用竹篱笆围成，若竹篱笆的长为35m,求鸡场的长和宽各为多少？鸡场(只设未知数,列出方程,并将它化成一般形式。因式分解法、直接开平方法知识点一因式分解法解一元二次方程假如两个因式的积等于0,那么这两个方程中至少有一个等于0,即若Pq=O时，则P=O或q=0。用因式分解法解一元二次方程的一般环节：(1)将方程的右边化为0;(2)将方程左边分解成两个一次因式的乘积。(3)令每个因式分别为0,得两个一元一次方程。(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。关键点:(1)要将方程右边化为0：(2)纯熟掌握多项式因式分解的方法，常用方法有:提公式法,公式法(平方差公式，完全平方公式)等。例用因式分解法解下列方程：(1)5x2=4x；(2)(2x23)25=O；(3)X26x+9=(52x)2o知识点二直接开平方法解一元二次方程若2=a(a0),则X叫做a的平方根,表达为X=土，;,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。X2=a(a0)的解是X=±ya；(2)(x+n)2=n(n0)的解是X=±yn/n；(3)(wc+n)2=c(m0,且C0)的解是x=主江_。m例用直接开平方法解下列一元二次方程(1)9x2-16=0;(2)(x+5)2-16=0;(3)(x-5)2=(3x+1)2知识点三灵活运用因式分解法和直接开平方法解一元二次方程形如(ar+力FA=OQs0)的方程,既可用因式分解法分解,也可用直接开平方法解。例运用因式分解法和直接开平方法解下列一元二次方程。(l)4(x-5)2-36=0；(2)(l-2x)2-3=0知识点四用提公因式法解一元二次方程把方程左边的多项式(方程右边为O时)的公因式提出,将多项式写出因式的乘积形式,然后运用“若Pq=O时，则P=O或q=0”来解一元二次方程的方法，称为提公因式法。如：0.01/2，=0,将原方程变形为0.012)=0,由此可得出Z=O或OO2=0,即O=O,J=200注意:在解方程时,千万注意不能把方程两边都同时除以一个具有未知数的式子，否则也许丢失原方程的根。知识点五形如“2+(+b)+b=o(,b为常数)”的方程的解法。对于形如“Y+(+b)+z7=OQ,力为常数)，的方程(或通过整理符合其形式的)，可将左边分解因式，方程变形为(x+Xx+h)+O,则X+=。或X+b=0,即F=a,x2=b0注意：应用这种方法解一元二次方程时，要熟悉“X2+a+b)x+b=(a,人为常数)”型方程的特性。例解下列方程：(1)X2-5x÷6=0;(2)2-x-12=0配方法知识点一配方法解一元二次方程时,在方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种方法叫做配方,配方后就可以用因式分解法或直接开平方法了,这样解一元二次方程的方法叫做配方法。注意：用配方法解一元二次方程A：?+p+"=0,当对方程的左边配方时，一定记住在方程的左边加上一次项系数的一半的平方后,还要再减去这个数。例用配方法解下列方程：(l)x2+6x-5=0;(2)X2-x-2=02知识点二用配方法解二次项系数为1的一元二次方程用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的环节：(1)在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；(2)把原方程变为(x+m)2=的形式。(3)若0,用直接开平方法求出X的值,若n<0,原方程无解。例解卜列方程：X24x+3=0知识点三用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程当一元二次方程的形式为ax2+bx+c=0(O,tz1)时，用配方法解一元二次方程的环节：(1)先把二次项的系数化为1:方程的左、右两边同时除以二项的系数；(2)移项:在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数,把原方程化为(x+m)2=的形式；(3)若0,用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。例用配方法解下列方程：(1)3x2-9x÷2=0;(2)-2-4x+3=0公式法知识点一一元二次方程的求根公式一元二次方程以2+"+c=0(w0)的求根公式是：=f±df-4ac2a用求根公式法解一元二次方程的环节是：(1)把方程化为ax1+"+。=0(。工0)的形式,拟定的值4,6£(注意符号)；(2)求出/-4c的值；(3)若b2-4ac0,则a,b.把及？-4c的值代人求根公式-b±yb2-4ac4山X=,求出用户2。2a例用公式法解下列方程(1) 2x-3x-1=0：(2)2x(X+I=0;(3)x+x+25=0知识点二选择适合的方法解一元二次方程直接开平方法用于解左边的具有未知数的平方式,右边是一个非负数或也是一个含未知数的平方式的方程因式分解规定方程右边必须是0，左边能分解因式；公式法是由配方法推导而来的，要比配方法简朴。注意:一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般,即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时,再选用公式法,没有特殊规定,一般不采用配方法,由于配方法解题比较麻烦。例用适当的方法解下列一元二次方程：(1)(2x-3)2=9(2x+3)2；(2)x2-8x÷6=0;(3)(x+2Xx-l)=O知识点三一元二次方程根的判别式一元二次方程QX2+Zzx+c=(4)根的判别式=-4ac运用根的判别式，不解方程,就可以鉴定一元二次方程的根的情况：(1)=/-4c>On方程有两个不相等的实数根；(2) 4c=0n方程有两个相等的实数根；二4c<0n方程没有实数根；运用根的判别式鉴定一元二次方程根的情况的环节:把所有一元二次方程化为一般形式;拟定.c的值；计算A?-44c的值;根据Z?2-4c的符号鉴定方程根的情况。例不解方程，判断下列一元二次方程根的情况：(1)2x2-3x-5=O;(2)9x2=30x-25;(3)x2+6x÷10=0知识点四根的判别式的逆用在方程or?+b+c=(h0)中，(1)方程有两个不相等的实数根二从-4。>0(2)方程有两个相等的实数根4c=0。(3)方程没有实数根n/一4"<0注意：逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。例加为什么值时，方程(2h+1)+4优+2/71-3=0的根满足下列情况:(1)有两个不相等的实数；(2)有两个相等的实数根；(3)没有实数根；知识点五一元二次方程的根与系数的关系卜若阳,它是一元二次方程"2+法+C=0(4W0)的两个根，则有X+A；2=，abxx2=-a根据一元二次方程的根与系数的关系求值常用的转化关系：(1)xl2+x22=(,+X2)2-2x1x2(2)+=1+2xlx2X1X2(3)(x1+)(x2+)=x1+x2+a(xx+x2)+a2;(4)Ix1-x2I=(x1-x2)2=7(x+x2)2-4x1x2例已知方程25x3=0的两根为王,修，不解方程,求下列各式的值。(1)xl2+x22;(2)(x1-x2)2O知识点六根据代数式的关系列一元二次方程运用一元二次方程解决有关代数式的问题时,要善于用一元二次方程表达题中的数量关系(即列出方程)，然后将方程整理成一般形式求解，最后作答。例当X取什么值时，代数式“2一%一6=0与代数式3x2的值相等？一元二次方程的应用知识点一列一元二次方程解应用题的一般环节(1)审题，(2)设未知数，(3)列方程，(4)解方程，(5)检查，(6)作答。关键点：找出题中的等量关系。知识点二用一元二次方程解与增长率(或减少率)有关得到问题增长率问题与减少率问题的数量关系及表达法：(1)若基数为a,增长率X为，则一次增长后的值为(l+x),两次增长后的值为。(1+62;(2)若基数为a,减少率X为,则一次减少后的值为6/（1-x）,两次减少后的值为a（-x）2O例某农场粮食产量在两年内由3000吨增长到3630吨，设这两年的年平均增长率为X,列出关于X的方程为知识点三用一元二次方程解与市场经济有关的问题与市场经济有关的问题:如:营销问题、水电问题、水利问题等。与利润相关的常用关系式有：（1）每件利润=销售价-成本价;（2）利润率=（销售价一进货价）÷进货价X100%；（3）销售额=售价义销售量例某商店假如将进货价为8元的商品每件10元售出，天天可售200件,现在采用提高售价,减少进货价的方法增长利润,已知这种商品每涨价0.5元,其销量减少10件。（1）要使天天获得700元,请你帮忙拟定售价。（2）当售价定为多少时,能使天天获得的利润最多？并求出最大利润。第二章一元二次方程（补充）只具有一个未知数的整式方程,且都可以化为双2+"+。=0（a、b、C为常数,a¥0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。把改2+加+。=（）但、b、C为常数，a0）称为一元二次方程的一般形式,a为二次项系数;b为一次项系数；C为常数项。解一元二次方程的方法:配方法即将其变为“+/nA=0的形式>公式法（注旨在找abc时须先把方程化2a为一般形式）分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（重要涉及“提公因式”和“十字相乘”）根与系数的关系:当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根；当b?-4ac<0时，方程无实数根。假如一元二次方程ClX2+bx+C=O的两根分别为Xl、X2,则*bcyH:x1+x2=x1x2=oaa一元二次方程的根与系数的关系的作用：(1)已知方程的一根，求另一根；(2)不解方程,求二次方程的根X1、X2的对称式的值，特别注意以下公式：X2+%2=(x+x2)2-2x1X2+=%1+%2X1X2X1X2(X-工2)2=(Xl+xi)2-4xi2x1-X21=J(Xl+/)2_4JM2(xlI+x2D2=(x1+x2)2-2xlx2+21X1X21X；+石=(x1+x2)3-3x1x2(x1+x2)其他能用x1+x2sKx1x2表达的代数式。(3)已知方程的两根XI、X2，可以构造一元二次方程：d-(1+2)+12=0(4)已知两数X-X2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方Sx2-(xl+x2)x÷x1x2=0的根在运用方程来解应用题时，重要分为两个环节：设未知数(在设未知数时,大多数情况只要设问题为X；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑)；寻找等量关系(一般地，题目中会具有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程)。解决问题的过程可以进一步概括为：问题2方程慧f解答抽象检验