2.选做：预习二元一次方程组2023.1.7.docx

北京钱学森中学初一年级第一学期寒假数学预习选做SS383U2022年1月7日至2月12日第1课时二元一次方程的定义一、问题1、篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分.如果某队为了争取较好名次，想在全部22场比赛中得40分，那么这个队胜负场数应分别是多少？2、写有数字5的黄卡和写有数字2的蓝卡若干张，问黄卡和蓝卡各取几张，才能使取到的卡片上的数字之和为22?思考：这个问题中，有几个未知数？能列一元一次方程求解吗？如果设黄卡取X张，蓝卡取y张，你能列出方程吗？二、定义1、二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的整式方程叫做二元一次方程。2、使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解，三、例题1、判断下列各式是不是二元一次方程（1）错误!未找到引用源。（2）错误!未找到引用源。（3）错误!未找到引用源。（4）错误!未找到引用源。2、检验下列各组数是不是方程勿=36+20错误!未找到引用源。的解：（学生感悟二元一次方程解的不唯一性）=4a=5a=0«=100<<10,20,h=3b=-b=b=60333、你能写出方程x-y=l的若干个解吗？（再一次让学生感悟二元一次方程的解的不唯一性）4、有3张写有相同数字的蓝卡和2张写有相同数字的黄卡，这五张卡片上的数字之和为10。设蓝卡上的数字为X,黄卡上的数字为y,根据题意列方程得:四、比较一元一次方程和二元一次方程的相同点和不同点相同点：方程两边都是整式含有未知数的项的次数都是一次不同点一元一次方程二元一次方程概念含有一个未知数含有两个未知数方程的解一个未知数的值一对未知数的值只有一个解有无数多个解五、练习错误!未找到引用源。练习1：（1）填空题:若错误!未找到引用源。是关J错误!未找到引用源。的二元一次方程,则错误!未找到引用源。.（2）多选题：方程错误!未找到引用源。变形正确的有错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。（3）判断题：1是方程2x+y=15错误!未找到引用源。的解。（）y=aX=7（4）判断题：方程错误!未找到引用源。的解是o（）7=1练习2:（1）己知1是方程错误!未找到引用源。的一个解.，求错误!未找到引用源。的值。Iy=IX=3（2）写出一个解为1的二元一次方程。y=4第2课时二元一次方程组的定义和解法一(代入消元法)一、问题问题1：下列方程是二元一次方程吗？(l)x+3=7(2)2y+2=0(3)2x-3=5(4)3x+y=9问题2：你能把上面的二元一次方程改写成用X表示y(或用y表示X)的形式吗？问题3：把(1)(2)两个方程合在一起是二元一次方程组吗？那由(3)(4)组成的呢？d%+3y=73=512y+2=03x+y=9问题4：老师周末和朋友一起去逛街，我们各买了1双相同的鞋，两人一共消费了600元，我的朋友买了鞋之后又去买了2件T恤，此次购物老师的朋友一共花了500元，你能帮老师计算一下鞋和T恤的价格分别是多少吗？二、定义由几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做二元一次方程组。三、例题问题;你有办法求出这两个方程组的解吗？i2y+2=0Q)3+y=9这两个方程组你解出来了吗？谁能给大家说一说解上面两个方程组的方法和思路呢？zal.X+y=22例ld2x+3y=60解：由，得x=22-y把代入，得2(22-y)+3y=60解这个方程，得，=16把=16代入，得(提出问题：把y的值带入到或中可以求出X的解吗？)jv=6rx=6所以这个方程组的解是y=6小结;在上面求解过程中我们把其中的一个方程经过改写变形带入到另一个方程中去，使的未知数消去一个，把二元一次方程转化成了一元一次方程，我们把这种方法称为“代入消元法”。例2:试用代入法解下面的方程组2x-3y=0l3x-2y=l归纳：通过例题你能说说用代入法解二元一次方程组的步骤有那些吗？(1)(改写)在方程组中选一个系数简单的方程，将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的式子表示。(2)(代入)将变形后的式子代入另一个方程，消去一个未知数,(3)(解方程)解一元一次方程。(4)(带入求解)代入变形式求出另一个未知数的解。(5)书写方程组的解。四、练习1、用代入法解下列方程组+3=2x2 Jr 3 j = 9(2) L2 Jr ÷ 3 y=3x-y = 3(3)(3x-8y = 14(4)x + y = 222x + y = 40l3x+2y=82、列二元一次方程组接应用题小亮和小樱练习赛跑。如果小亮让小樱先跑10米，那么小亮跑5秒就追上小莹；如果小亮让小樱先跑4秒，那么小亮跑4秒就追上小樱。问两人每秒各跑多少米？第3课时二元一次方程组的解法二（加减消元法）一、问题问题1：小明买了两份水果，一份是3kg苹果、2kg香蕉，共用去13.2元；另一份是2kg苹果、5kg香蕉，共用去19.石元。设苹果X元kg,香蕉y元kg.列出方程：二、例题x+2y=1<1>例1.解方程组,c3x-2y=5<2>解：1+<2）得：4x=63X=233把x=一代入1得：一+2y=l22解得y11=-4'_3所以原方程组的解是J"一万1V=例2.解方程组<5x-2y=4<1>2x-3y=-5<2>思考;消去含X或y的项都可以，但哪个更简便?解：1X3,得15-6y=123×2,得4-6y=-1043-<4）得llx=22将x=2代入，得5x2-2y=4y=3所以原方程组的解是小结:把二元一次方程组中的两个方程（根据情况可以先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，把解二元一次方程组转化为解一元一次方程的方法叫做加减消元法，三、练习：解下列方程,组：fx+V=2200(1)200x+1500y=20000008x+6y=3600J5x + 6y = 500 3x + 4y = 3106x + 2y = 21(4)，6x + 3y = 278x+16y=6400卜+2y=1504x+3y=3003x+2y=13.2(6)4J2x+5y=19.81、根据下列各方程组的特点，选择适当的方法解二元一次方程组x+2y=4x=y+l2x+5y=17f2x-y=5(2)(3)4x+3y=133x+4y=22、系数是分数或小数(1)字=1353(X+y)=15-2(X-3y)0.5x+0.8y=1.8.lx+1.2y=1.43、整体代入法=14(x-y)-y=32x-3y-2=0S2x-3y÷5CCL+2y=94、用适当的方法解二元一次方程组6a+5b=2553+48=20(2)y=x-37x+5y=9军=2234(x-y-l)=3(l-y)-2-y=H5、用适当的方法解二元一次方程组3x+2y=93x-5y=20.3x+0.2y=0.1-5x-4y=9第5课时三元一次方程组的解法一、问题问题L1、什么叫二元一次方程组？什么叫“元”，什么叫“次”？2、解二元一次方程组有哪几种方法？3、它们的实质是什么？问题2,小明手里有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中，1元纸币的张数是2元纸币张数的4倍，求1元、2元、5元的纸币各多少张？(1)这个问题中包含有个相等关系：1元纸币张数+2元纸币张数+5元纸币张数=12张1元的金额+2元的金额+5元的金额=22元1元纸币的张数=2元纸币的张数的4倍(2)这个问题中包含有个未知数：1元、2元、5元纸币的张数问题3：你能根据等量关系列出方程吗？设1元、2元、5元的纸币分别为X张、y张、Z张,根据题意可得:可得x+y+z=12,x+2y+5z=22,x+y+z=12(1)x=4y三个方程，合在一起可写成：.+2y+5z=22(2)X=4义3)问题4：观察以上方程与方程组，和二元一次方程(组)比较有什么相同点？有什么不同点？问题5：什么叫三元一次方程？什么叫三元一次方程组？二、定义由几个方程组成的一组方程叫做方程组。如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项的次数都是一次，那么这样的方程组叫做三元一次方程组。三、例题解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程O三元一次方程组一二元一次方程组f一元一次方程类型一：有表达式，用代入法型.x+y+z=12例L解方程组,x+2y+5z=22x=4y分析：方程是关于X的表达式，通过代入消元法可直接转化为二元一次方程组,因此确定“消x”的目标。解法1：代入法,消X.5y+z=12把分别代入、得,;6y+5z=22解得Iz=2.把y=2代入，得x=8.X=8,y=2,是原方程组的解.z=2.类型二：缺某元，消某元型.针对上例进而分析，方程组中的方程里缺Z,因此利用、消Z,也能达到消元构成二元一次方程组的目的。解法2：消z.X5得5x+5y+5z=60-得4x+3y=38X=4y(3)由、得,;4x+3y=38解得"UIy=2.把x=8,y=2代入得z=2.X=8,<y=2,是原方程组的解.z=2.类型三：轮换方程组，求和作差型2x+y+z=15例2：解方程组<x+2y+z=16X+y÷2z=17分析：通过观察发现每个方程未知项的系数和相等：每一个未知数的系数之和也相等，即系数和相等。具备这种特征的方程组，我们给它定义为“轮换方程组”，可采取求和作差的方法较简洁地求出此类方程组的解。解:由+得4x+4y+4z=48,即x+y+z=12.©得x=3,-得y=4,-得z=5,X=3,y=4,是原方程组的解.z=5.x+y=20,举例：解方程组,y+z=19,x+z=21.(3)解：由+得2(x+y+z)=60,即x+y+z=30.(4)-得z=10,-得y=ll,-得x=9,X=9,），=11,是原方程组的解.z=10.类型四：遇比例式找关系式，遇比设元型.例3：x:y:z=1:2:72x-y÷3z=21分析1：观察此方程组的特点是未知项间存在着比例关系，根据以往的经验，看见比例式就会想把比例式化成关系式求解，即由x:y=l:2得y=2x；由x:Z=I:7得z=7x.从而从形式上y=2x,转化为三元一次方程组的一般形式，即z=7x,，根据方程组的特点，可选2x-y+3z=21.用“有表达式，用代入法”求解。解法1：由得y=2x,z=7x,并代入，得X=L把x=l,代入y=2x,得y=2；把x=l,代入z=7x,得z=7.X=1,<y=2,是原方程组的解.z=7.分析2：由以往知识可知遇比例式时，可设一份为参数k,因此由方程x:y:z=l：2：7,可设为x=k,y=2k,z=7k.从而也达到了消元的目的，并把三元通过设参数的形式转化为一元，可谓一举多得。解法2：由设x=k,y=2k,z=7k,并代入，得k=l.把k=l,代入x=k,得x=l；把k=L代入y=2k,得y=2；把k=l,代入z=7k,得z=7.X=I,>y=2,是原方程组的解.z=7.x+y+z=111举例：解方程组卜：=3:2y:z=5:4分析1：观察此方程组的特点是方程、中未知项间存在着比例关系，由例3的解题经24验，易选择将比例式化成关系式求解，即由得X=Wy；由得z=y.从而利用代入法求35解。解法1：略.分析2：受例3解法2的启发，想使用设参数的方法求解，但如何将、转化为x:y:Z的形式呢？通过观察发现、中都有y项，所以把它作为桥梁，先确定未知项y比值的最小公倍数为15,由X5得y:x=15:10,由X3得y:z=15:12,于是得到x:y:Z=IO:15:12,转化为学生熟悉的方程组形式，就能解决了。解法2：由、得x:y:z=10:15:12.设X=Iok,y=15k,z=12k,并代入，得k=3.把k=3,代入x=10k,得x=30；把k=3,代入y=15k,得y=45；把k=3,代入z=12k,得z=36.X=30,<y=45,是原方程组的解.z=36.根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为:类型五;一般型例4：解方程组3x-y+z=4,X+y+z=6,2x+3y-z=12.分析：对于一般形式的三元一次方程组的求解，应该认清两点：一是确立消元目标一一消哪个未知项；二是在消元的过程中三个方程式如何正确的使用，怎么才能做到“目标明确，消元不乱”，为此归纳出:（一）消元的选择1.选择同一个未知项系数相同或互为相反数的那个未知数消元;2.选择同一个未知项系数最小公倍数最小的那个未知数消元。（二）方程式的选择采取用不同符号标明所用方程,体现出两次消元的过程选择。V VA3x-y+z=4解：%÷y+z=62x+3-z=12（明确消z,并在方程组中体现出来一一画线）+得5x+2y=16,（体现第一次使用在后做记号）+得3x+4y=18,（体现第二次使用在后做不同记号）由、得5x+2>,=16,3x÷4y=18.X=2,y=3.把x=2,y=3代人，得Z=LX=2,<y=3,是原方程组的解.z=l.2x+4+3z=9,v典型例题举例：解方程组,-2+5z=ll,VA5x-6y+7z=13.分析：通过比较发现未知项y的系数的最小公倍数最小，因此确定消y。以方程作为桥梁使用，达到消元求解的目的。解：X2得6-4y+10z=22,2x+4y+3z=9,+得8x+13z=31.X3得9-6y+15z=33,(6)5-6y+7z=13,一得4x+8z=20.X+2z=5.由、得,8x+13z=31,x+2z=5.x=-lz=3.把x=T,z=3代人，得y=是原方程组的解.z=3.在此需要说明的是，每一个三元一次方程组的求解方法都不是唯一的，需要进一步的观察,但是学生只要掌握了最基本的解方程组思想和策略，就可以以不变应万变，就可以很容易的学会三元一次方程组的解法。四、练习1 .解下列方程组z = x+ y(1) ,x+y + z = 6X-y = 3x+-y + z = 17(2) « 2x-y-2z = 3x+y-4z = 32 .有这样一个数学题：在等式y=2+b+c中，当x=l时，y=l；当尸3时，y=9,当x=5时，y=5.(1)请你列出关于a,b,c的方程组.这是一个三元三次方程组吗？(2)你能求出a,b,c的值吗？3 .解方程组4x + y + z = 4 2x-y + 2z = 8x + 2y-z = -53x + 2y + 4z = 84 .解方程组 (2x+3y + 4z = 85x + 5>, + 6z = 22a + b = 37.解方程组8 + c = 4, a + c = 52x+y-z=l6.解方程组卜+2y+3z=143x+y+z=88、某车间有60人，生产甲乙丙三种零件，每人每小时能生产甲24个，或乙20个，或丙16个，现用零件甲9个，乙15个，丙12个，装配成某机件，如何安排劳动力，才能使每小时生产的零件恰好成套？共有多少套？第6课时本章节单元测试一、填空题（共14小题，每题2分，共28分）1 .把方程2x-y-3=0化成含y的式子表示R的形式：X=2 .已知二元一次方程3x-2y=1,若y=-2时，X=.3 .用加减消元法解方程组一，由X2-得.4x+2y=l4 .在方程3x；y=5中，用含X的代数式表示丁为：Y=,当x=3时,y=.5 .在代数式32+5-Z中，当加=2,=1时，它的值为1,则A=；当机=2,=一3时代数式的值是.nr+3y=1f3x-y=66 .已知方程组4J与,有相同的解，则机=,=.5x-ny=n-24x+2y=87.3x+2y = 172x + 3y = 13则x+y=8 .若（3x-y+5/+|2x-y+3=0,则x+y=.9 .小红有5分和2分的硬币共20枚，共6角7分，设5分硬币有X枚，2分硬币有y枚，则可列方程组为.10 .若（2x-3y+5）2+x+y-2=0,则X=,V=.11 .有一个两位数，它的两个数字之和为11,把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63,设原两位数的个位数字为X,十位数字为V,则用代数式表示原两位数为,根据题意得方程组.12 .如果=3,'=2是方程6x+by=32的解，则匕=.13 .若厂二1是关于工、丁的方程ar*=l的一个解，且。+6=-3,则5。一“Iy=-214 .已知“2-+l=2,那么。一+1的值是二、选择题（共4小题，每题3分，共12分）15 .小王只带2元和5元两种面值的人民币，他买一件学习用品要支付27元，则付款的方式有（）A. 1种C.3种4种则缺5人；设运动员人数为X16 .某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人,人，组数为y组，则列方程组为（）7y = x + 3 8y + 5 = x7y = x + 3 ,8y-5 = xy = X- 3' 8y = x + 57y = x + 38y = x + 517 .如图，宽为50Cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为A. 400 CnIB.500cm2C.600cm2D.4000cm218.若方程组2-3b = 133a+5b = 30.9a = 8.3,则方程组6 = 1.22(x+2)-3(y-l) = 13,3(x+2) + 5(y-l) = 30.9的解是三、A.C.y = 2.2x = 10.3y = 2.2解答题19. (5 分)4 'x + 4y = 4B.D.x = 8.3y = .2X = Io.3y = 0.220.U-Oog（5 分）4(x+l)-6(y-l) = 202(x+l) + 7(y-l) = 20旦山=O21. （5 分），34x-3 j-1123 -622.（5分）2s + r 35 - It . =3 3823. （6分）有大小两种货车，2辆大车与3辆小车一次可以运货15.5吨，5辆大车与6辆小车一次可以运货35吨，问大车和小车一次可以运货各多少吨？24. （6分）一张方桌由1个桌面和4条桌腿组成.如果1立方米木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10立方米木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌？25. （6分）已知关于、y的方程组,3x-y = 5与, 4ax + 5by = -222x-3v+4 = 0l 入,l/有相同的解，求久bax-by-S = O的值.26.（7分）已知关于X、y的二元一次方程组；O的解满足二元一次方程求小的值.27. （7分）王大伯承包了25亩土地，今年春季改种茄子和西红柿两种大棚蔬菜，用去了44000元.其中种茄子每亩用了1700元，获纯利2400元；种西红柿每亩用了1800元，获纯利2600元.问王大伯一共获纯利多少元？28. （8分）在汶川大地震之后，全国各地区都有不少热心人参与抗震救灾行动中去，家住成都的小李也参加了，他要在规定的时间内由成都赶往绵阳地，如果他以每小时50千米的速度行驶，就会迟到24分钟：如果他以每小时75千米的高速行驶，则可提前24分钟到达绵阳地,求他以每小时多少千米的速度行驶可准时到达.