02198线性代数.docx

线性代数复习资料(课程代码02198)习题汇总:(一)一、单项选算题已知2阶行列式A. maB.Clb2"2 +<,2D. '(w+>2.设力为3阶方阵,8为4阶方阵,且N=I,|8|=-2,则行列式|8|川之值为(A)A.-8B.-2C.2D.83.已知A是一个3*4矩阵，下列命题中正确的是(C)A.若矩阵A中所有3阶子式都为0,则秩（八）=2B.若A中存在2阶子式不为0,则秩（八）=2C.若秩（八）=2,则A中所有3阶子式都为0D.若秩（八）=2,则A中所有2阶子式都不为O4.设力为3阶方阵，其特征值分别为210,RiJM+2£I=()(D)A.OB.2C.3D.245. 若向量二(L-2,l)与6=(2)正交，则/=()(D)A.-2B.0C.2D.4二、填空题设矩阵彳=(；,8=(：；)则/”=.22-2O设=(3,-1,0,2)。=(3,l-1,4)r,若向量，满足2a+7=36，WJ/=答案:(3,5-3s8)r上利才20072008g宿心仃列式的值为.200920103.答案：-2若从5为5阶方阵，且出T=O只有零解，且他=3,则”8)=.4.答案：3设3元非齐次线性方程组4r=b有解q=2,2=2,且r(4)=2,则x=b的通解三、计算题1.已知矩阵8=(2,U),C=(L2,3),求(1)ABCx(2)A2.6394262132.求向量组。产(L2,T4),2=(9,100,10,4),%=HTH)的佚和一个极大无关组.答案：秩为1：极大无关组为(1,2)3.-211-2、设4=I-21a.试确定。使)=2.11-22/答案是a=O四、证明题(本大题共2小题，每小题网分，共12分)1.设4B,N+8均为阶正交矩阵，证明(/+8)T=T+8-L因为A,B,A+B为正交矩阵，所以：(A+B)=(A+B)1A=A1,Bt=B1所以有：(A+B)4=(A+B)=A+B=A1+B1故得证.（二）一、单项选择题1 .设矩阵4和C分别是2x3和4x5阵.要使48。有意义，则矩阵8应是U。A、2x5阵B、3x4阵C、2x4阵D、3x5阵2 .齐次线性方程组J*+2-Z=O的基础解系中解向量的个数为_。2xl+4x2-2x3-2x4=0A、0B、1C、3D43 .设线性无关的向量组%,%,%，可由向量组/I，?，夕线性表出，则必有（b）A.,2,0线性相关B.t4C.p、,色，0线性无关D./<44 .若A为6阶矩阵，齐次线性方程组AX=O的基础解系中解向量的个数为2,则矩阵A的秩为（O.2B.3C.4D.55 .设A为可逆矩阵，则与A有相同特征值的矩阵为（A）A.AB.A2C.AlD.A*4、排列421375的逆序数为D0B、1C、3D、55、设A和B为阶方阵，满足关系AB=O,则必有C。A、A=B=OB、+B=0C、M=0或网=0D、M+同=06、在线性方程组AoX=6中,如果"A）=NAb）=3,则方程组BoA、有无穷解B、有唯一解C、无解D、无法确定，35、7、设A=。,则A的特征值为coA>0,1B、1,5C、3,1D、4,58、设向量组apa2,ay(52)线性无关，则。A、组中增加任意一个向量后仍线性无关；B、组中减少任意一个向量后仍线性无关；C、存在不全为零的数人出，人，使得E>,%=0;r=lD、组中至少有一个向量可以由其余向量线性表出。9、设A为可逆矩阵，则与A有相同特征值的矩阵为AQA、AB、A2C、A- -1D、/二、填空题1、设=(1,3,0),夕=(-；,To),则向量组火夕为线性相关组。2、设A是mX矩阵，r（八）=r<，则AX=O的基础解系中的解向量个数为n-O3、设向量Q=(1,2,3)，/=(3,2,1)，则与夕的内积(,夕)=10。4.设向量=(1,2,3)。6=(321)T,则与夕的内积(,/7)=_10.三、判断题1、若行列式有两行(列)元素相同，则行列式的值为0。()2、如果矩阵A可逆，则其转置矩阵H也可逆，且(“尸=(J)3、一个向量线性相关的充分必要条件是Oo(×)4、相似矩阵有不同的特征值。(X)四、计算题311-11、-1311计算行列式o的值。1-13111-131131-131-1-1441-1311-1311413-1441_-11131OOO422-2200-224= 4-200 =4-2 220 020=1282'T12、己知A=-3215-20、-1x)UOO2-I0、010-136-101-167-1;'2-1.A=-1361673、设矩阵4与B相似，且-1 1、4 -2-3 a J ,'200、B=O20,求,b值。、00.解：因为矩阵A与B相似，故A与B有相同的特征多项式,E-A=E-Bf-于是，I%E-A=-23=(-2)2(-b)解得：a=5,b=64、求向量组%=(l,-2,5)l¾=(3,2,-l)r,4=(3,10,-17)的秩，找出一个极大无关组，并将其余向量由该极大无关组线性表出。解：将A利用初等行变换化为最简行阶梯型为r 133、-2 210、5 -1 -17,U 33、0816,0 -16 -32,3、16 ;-3、 2 ;因此向量组的秩为2,且一个极大无关组为a,5解齐次线性方程组Vx1-2x2+2x3+5x4=-3-x1+2x2-X3-X4=12xl-4x2+2x3+2x4=-2解：系数矩阵(4,0= -12-22-42-125-12-31-2-200-3401、-2°,xl=2x2+3x4+1自由未知量为，Z 取X2得基础解系='3、0-4、1 >特解1、0-2O所以，原方程的通解为+ C*2'30-410-2（q,C2为任意常数）6 .设矩阵A=1-2-1,求可逆矩阵P,使得PIAP为对角矩阵.-3131'千IATEl心7 .设二次型/（再，x1,x3）=3xi2+3x?+2x1x2»经正交变换X=Qy化为标准型4=#+5父,求。，b的值. b o3彳二网S将伊华 b O e 。 (XZ布W拚犷邛得：入小。,入L1,入版.go Jj 或 a=。，b 二-VZ-4x (“) T X ") 二42 00 24 00 410018 .计算4阶行列式：D=3003五、证明题1、设囚,。2，。3线性无关，求证向量组囚+24，2%+3。3，%+3%线性无关。证明：设有一组数kk2,k3,使占(al+2a2)+k2C,2a2+34)+&(3。3+%)=0成立,整理，得：(%+k3)al+(2Al+Ik2)a2+(3k2+3k3)a3=0占+&=0由%,%，%线性无关，得：,2勺+2%2=03k、+3Ar3=0故k=k2=%=Q,因此得证。(三)x1+2x2-2x3=O1、已知齐次线性方程组(2%+%-3=O有非零解，贝U%=43x1-42+Ax3=01a+blc+d3",2、设=,则a=2,b=l,c=2,d=-lca+d213、设A,8都是可逆矩阵，则下列等式不成立的是(ZHB)T=A-UBT4、二次型/(x1,x2,x3)=-2x12-6Xj-4后是负定二次型5、设AB均是n阶方阵，则必有4M=I川国6、设A是"阶矩阵，则2A=21A7、线性方程组AMX=B无解的充要条件是R（八）R（八）8、向量空间丫=(戈,丁,0)丁£*/?的维数等于2。9、设矩阵为%=1,%即=2,则/=3。2122。23a2a2。22+“2310、设3阶矩阵A的行列式A=2,则2AI=I6。(12、(4.2、11、设矩阵A=,A"是A的伴随矩阵，则A*=13"1-31J12、设%，%aV%是4维列向量，矩阵A=(%,%,av4)，如果A=2,则-2Ar=32o13、设矩阵A是正交矩阵，则下列结论错误的是B.A一定是1°11114、356=6。9253615、设阶可逆矩阵A的一个特征值是-3,则矩阵W A?)“必有一个特征值为:。2 48 = (2 4),则 AB= 4 86 12O-2117、二次型F(X1,和工3)=TXM2+2工1七+6工2七的矩阵是一20313018、设A为阶方阵，且A?=/1,则A的特征值只有0和119、设A为正交阵，则IAl=±120、设A是可逆矩阵，Z是非零数，KJ(M,=,21、(AB)=btAr2222、设A=122,则A的秩等于3。23423、二次型/a，/,08)=x；+考+2r3+考+后正惯性指数为324、设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为A"25>设=(3,-1,0,2)7,/=(3,1,-1,4)/，若向量y满足2+=3),则产=(3,5,-3,8)。26、设A为m阶矩阵，则方程组Ax=O有非零解的充分必有条件是A的秩小于m。27、设向量组线性相关四"。)7',%=,。)7',%=。，。，)7'，则数&=-1。28、已知A相似与A=02，则IA-El=-2。Jl00、29、设矩阵A=212,则A的对应于特征值4=0的特征向量为A(0,2,-I)"1312,rI00、30、C.02-3是正定矩阵。-35,12231、行列式301的元素余子式知2产2。412fo2)*32、设矩阵A=,则A=13OjJ_23033、向量组的秩就是向量组的极大线性无关组中向量的个数34、设向量。是齐次线性方程组AX=O的解，向量尸是非齐次线性方程组AX=3的解,则非齐次线性方程组AX=B的解是a+'020、35、二次型/a,工2，/3)=3工；一石+4为式2-6/2%3的矩阵为A=23-3-3-1,36、设A为4x3矩阵，则Ar=O只有零解的充分必要条件是A的秩3；-237、设矩阵4=,则A的特征值为-1,-31-238、设向量组四，av%的秩为2,则%，%中存在一个向量可由其余向量线性表出。39、设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一列向量都是齐次线性方程组AX=O的解，则IAI=0。40、设A是3阶实对称矩阵，且A的特征值为4=4=-1，4=5,A的对应于特征值%=4=-1的特征向量为7二(一1,1,0)7，72=(-1,O,1),求矩阵A.解：设/=(芭，”2，刍)7'为人的属于4=5的特征向量，则得线性方程组-xl+x2=0,-X+Xj=0,解得其基础解系=(1,1,1)。设尸=,%，则P是可逆矩阵，且-100PTAP=0-10005于是-1-11"-100'A 二1010-10011005_,12_1333l 2 2,1,1= 21233112 2 13341、设A=(L-I,O),8=(1,-2,3)丁，求(3A)o?解：根据矩阵乘法的定义，=(3)=3.根据矩阵乘法的结合律，得(BA)=(BA)(EA)(BA)=B(AB)(AB)(AB)A=B(AB)99A100个99个-1-IO-=B399A=399BA=3w-220_3-3042、已知向量组a1=(1,4,0,2),a2=(2,7,1,3),a3=(0,1,-1,),=(3,10,b,4).问，。为何值时，(1) 不能由,a2f出线性表出？(2) 可由a1，a2t%唯一地线性表出？并写出表示式；(3) 可由,a2f4线性表出，且表示方法有无穷多种？并写出表示式.解：设A=。；Ta2刈，A=域a.对.施行初等行变换:-1203"1203'-102-1471100-11-201-12A=->01-1b01-1b00a-023a40-1a-2_000b-2(1)当2时，R（八）<R（八）,从而a不能由4,a2,出线性表出.(2)当l且Z?=2时，A（八）=R()=3,从而可以由4,%，唯地线性表出，且=-+Ia2.(3)当=1且力=2时，R（八）=R（八）=2<3,且=%+22，=2a1-a2从而=(22-l)+(2-Z)a2一人。3，即。可以由,a2,出线性表出，且表示方法有无穷多种，其中为任意常数.1 143、设A= O O1 223 1-6J2331-57，计算和3400-2B解:显然，同=一2,忸=4,所以IABI=曰=一8,从而卜AWJHt(AWy|=(-J甘忖=卜j×TlX4,=-8,Q4；=|34卜2即33|那-2)3同=33.(-2月牺=1728.U-Zn2-42=(2-2)123-(a+3)2+3(-1)3-ci