待定系数法求递推数列通项公式.docx

用待定系数法求递推数列通项公式初探摘要：本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。关键词：变形对应系数待定递推数列数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是比照拟复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。一、4+=P%t+q型(p、q为常数，且p4wO,Pl)例题1.在数列中，q=1,Q+i=¾+l,试求其通项公式。分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在a,川=24+1的两边同时加上1,整理为¾+1+l=2(¾+l),此时，把。“+I+1和4+1看作一个整体，或者换元，令+=n+l,那么d=q+l,即+=为，伪=q+l=2,因此，数歹Jq+l或么就是以2为首项，以2为公比的等比数列4+1=2，或者a=2，进一步求出4=2"一1。启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列4+1,那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？其实，4=2q,+l,可变形为a,川+4=2(%+的形式，然后展开括号、移项后再与¾+1=2afl+1相比拟,利用待定系数法可W22-=l,2=lo这样，对于形如a+i(其中p、q为常数，且pqw,pl)的递推数列，先变为4m+4=P(%+团的形式，展开、移项，利用待定系数法有p-V)=q,=P-IV=P(4 +一 1那么数列勺+一首项为4+一,公比为P的等比数列p-1Jp-4+V=(4+-P"T即4=(4+-P"T-Vp-p-1p-1p-因此，形如%+="4+q这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。那么，假设q变为/5),/5)是关于非零多项式时，该怎么办呢？是否也能运用待定系数法呢？二+=Pan+qn+r(pq0,且PWl)型例题2.在数列%中，4=1,4+=2zj+3/2+1,试求其通项公式。分析：按照例题I的思路，在两边既要加上某一常数同时也要加上n的倍数，才能使新的数列有一致的形式。先变为+45+l)-X=2(q,+")+l,展开比拟得4=3,即an+3(+1)=2an+3n)+4进一步aff+3(+1)+4=2(4+3+4)那么数列q+3+4是4+3l+4=8首项为4+3l+4=8公比为2的等比数列，所以%+3+4=8X2T=2rt+2,an=T+2-3一4同样，形如a"+=p,+w+r的递推数列，设。“+|+%5+1)+丁=(q+必+)展开、移项、整理，比拟对应系数相等，列出方程(PT)(p-l)y-x=r解得即、5 + 1)+q (p-1)2 +q (P-D2那么数列?+4一+F+上是以q+4一+_十_为首项，以P为公比的P-I(p-1)2P-IJP-I(p-1)2p-1等比数列。于是就可以进一步求出凡的通项。同理，假设%+1=7+/()其中/5)是关于n的多项式时，也可以构造新的等比数列,利用待定系数法求出其通项。比方当，5)=例2+小+$=时，可设an+i+x(n+1)2+y(n+1)+Z=P(CIn+xn2+yn+z)展开根据对应系数分别相等求解方程即可。/()为n的三次、四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。而如果当了5)是n的指数式，即/()=/+时，递推公式又将如何变形呢？三ar+=Paf1+rcix+5(pqr0,5,qypq)例题3.在数列中，q=1,a,+=3an+2ni试求其通项见。分析L由于m=34+2"与例题1的区别在于T是指数式，可以用上面的思路进行变形,在两边同时加上2X2“变为a”+2N=34+3x2即+2*34+2")那么数列4+2"是首项为3,公比为3的等比数列为+2=3，那么an=3,-2n分析2：如果将指数式先变为常数，两边同除2向=X+1=2.l+1就回到了我们的类型一。进一步也可求出勺=3-2。例题4.在数列"中，q=3,4用=34+52"+4,试求“的通项为。分析：假设按例题3的思路2,在两边同时除以2向，虽然产生了宅、3,但是又增加了，r,与原式并没有大的变化。所以只能运用思路1,在两边同时加上10x2整理an+l+5×2+1=3(rt+5×2n)+4进一步an+l+5×2+,+2=3(n+5×2rt+2)那么数列%+5x2"+2是首项为15,公比为3的等比数列%+52"+2=153"=53”即an=5(3n-2,)-2启示：数列an的首项，an+l=pan+rqn+S(Pqr0且PT,ql,qp)D当s=0,即a,用=q+%"由例题3知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造首项和公比或可求的等比数列。思路一：在两边同时除以丁川，将不含,川和4的项变为常数，即&l=E.%+L,+,qq"qr为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列3+7最终求解出4的通q1q项。思路二：在两边同时加上/的倍数，最终能变形为4+r"=p(4+D对应系数相等得(p-q)x=r,即X=一p-q即«+1÷-q*'=p(+q")P-QP-Q求出数列,%+力PJ的通项，进一步求出/的通项。2)当SWO时，即atl+l=pan+rqn+s由例4可知只能在选择思路二，两边既要加/的倍数，也要加常数，最终能变形为4+1+附*|+y=P(an+xqn+y)比拟得X,y的方程组rX.(PY)XT即P-Cl(p-l)y=sSV=1p-i于是%+自/+£=&+p-q4+-7)P-I求出数列为+一/+二- p-q PT的通项，进一步求出可的通项。四：。+2=P4+的“+/（）型（已知，。2其中/（）可以为常数、n的多项式或指数式）以f（n）=0为例。71例题5.在数列,中，=l,a2=2,（+2=-,+1试求“的通项。分析：这是三项之间递推数列，根据前面的思路，可以把。向看做常数进行处理，可变为限-=TaLaI,先求出数列勺川一可的通项%+一%=（一；尸然后利用累加法即可进一步求出%的通项为。对于形如。“+2=PaN+94的递推数列，可以设。+2+M"+I=y（fl+刈）展开，利用对应系数相等，歹历程7=PIy=Q于是数列。的+M.就是以4+xq为首项，y为公比的等比数列,不难求出。向+xalt的通项进一步利用相关即可求出O同理，atl+2=patl+i+Cjafi+f(n)当/()为非零多项式或者是指数式时，也可结合前面的思路进行处理。问题的关键在于先变形%+2+XaN=y(ati+i÷xatl)+f(n)然后把4x+m“看做一个整体就变为了前面的类型。五：4+=pq(pwl且pR+,rwwl)型，qt为正项数列例题6.在数列%中，%=1,4+=2a；,试求其通项an。分析：此题和前面的几种类型没有相同之处，左边是一次式，而右边是二次式，关键在于通过变形，使两边次数相同，由于可>0,所以可联想到对数的相关性质，对外+=2qj两边取对数，即Ig¾+=lg(2<)=lg2+lg=2Igan+lg2就是前面的类型一了，即IgaH+lg2=2(lg%+lg2)Igq+lg2=(lg2)x2"=lg2*变形得a"=?”'对于类似%+=p:(PWl且PR+,rw/l)的递推数列，由于两边次数不一致，又是正项数列，所以可以利用对数性质，两边同时取对数，得Igan+l=Igp/=rIg0n+Igp然后就是前面的类型一了，就可以利用待定系数法进一步构造数列电4向+理为首项和r-1公比的等比数列了。求出Igan+ ÷同样，如果将凡+|=p(PWl且pR+,rH(Vwl)中的P换为指数式夕"时，同样可以利用相同的方法。即：%+=4"；(4/1且4氏+,工0,厂工1)两边取对数gan+l=lg(,«/)=ran+nq变为类型二Ig,j+x(n+l)+y=r(lgan+xn+y)即可进一步得出%的通项。以上是一些整式型的递推数列通项公式的求解，接下来再看看比拟复杂的分式型递推数列。六：4川=为旦(工0)型Pyq例题7.在数列中，4 = l,0n+1试求其通项?。 3凡+2分析：这是一个分式型数列，如果去分母变为34向可+4=0后就无法进行处理了。两边同时取倒数1 一 3q+2= 2×-+ 34就是前面的类型一了。所以数列'+3是首项为'+3=4,公比为2的等比数列，不难求出例题8.在数列q中，4=1,。向R马，试求其通项为。 3q+2分析：此题比例题7的区别多了常数项，两边取倒=+3n÷l4+2左右两边一!一与一并不一致。但可以对照例题7的思路，取倒数之后分母会具有一致的%4+2结构，根据等式和分式的性质，我们可在两边同时加上某一常数，整理:4+2all+. +x = - + x =m+,3%+2(3x+l)2 + 2x3%+2此时如果生土2 = 3x+1，那么递推式左边和右边分母就一致了。解方程得玉=-|,超=1因此14(%+D4+1=-2±Jm+,34+2此时可选择其中一个递推式按照例题7的方式进行处理，这里选择/+I=F,两边取倒13凡+2113%+14(%+1)4q,+l4回到了类型一131,13、(14+1+154al,+5根据类型一的方法易求出:4×(-4)"-l÷l6×(-4-,-l现在我们将两式相比:22那么数列2 a-3 勺+ 1是我首项和公比的等比数列，进一步化简求出=-i×n通过以上两个例题可知，形如区口把（p，w0）这一类型的递推数列，对学生的综Pa11+Q合能力要求较高。1、如果右边分子缺常数项，即s=0,那么直接对两边取倒数即可得:I=-4+1ranr此时，假设幺=1，那就是我们熟悉的等差数列，假设幺,那就是前面的类型用待rr定系数法求解。2、假设sw,就需要先变形，使左边和右边分子结构一致。两边同时加上某一个常数(x)/、/s+xq.(r+xp)(an+-)r+PXP%+q%+=然后令竺=式,解出X的值。r+px而另一种思路是直接设。用=口”变形之后为p4+q一P+q然后展开，根据对应项系数相等得二元方程组y-xp=ry-q)=s求出X,y。两种思路都是解X的一元二次方程，设其解为%+X=邛呼和+Z=*P(%+g)p(aft+q)假设N=W时，那就只能利用例题7的方法，两边取倒数，局部分式整理即可转变为类型一。=P(%+q)=。&+%)+(4-芯)=p(q-%)I+P÷+y(4+)y(%+)%+王乂最终求出外。当x时，可以选择其中的一个按照上面的方式进行求解，但是此时计算量颇大，于是直接将两式相比得：%+=x-+一4用+/%an+X2所以数列幺土土是首项为9l,公比为M的等比数列。进一步求出凡。A+%Jq+zy2七：4向=Z;li±2(zo,=2二d+47s:>O)型pan+q例题9.在数列4中，=2,可+|=立±1,试求其通项?。3分析：此题属于分式非线性递推式，与类型五又有相似之处，所以我们可以结合类型五、六的思路，进行变换:两边同时加上某个常数，设最终变为:2凡+2与原式比拟，对应系数相等，得x2-2x=3解方程得x1=-l,x2=3即有:+3=以过2%+2.1二色工2q+2对单个式子进行处理，无从下手，两式相比得+3/4+3然后，两边取对数得:公比为2的等比数列。那么数列卜g9是首项为IgS=Ig5,/TJ4-1lgL1=lg55'+34进一步解得=5-1J1显然，按照例题9的思路，形如=吗±(pf0)这一类型的参数、夕、八S必须p%+q满足一定的条件，所得方程应有两个不相等的实根。现在来探讨应该满足哪些条件？v11.ratt2+sr(all÷x)2hh+1+x=-2+x=-l-2-,即：p%+qPa卢qP+qpan+q所以ralt2+xpan+xq+s=ra+flrxan+rx2对应系数相等得p=2r,rx2-qx-s=Q方程次2-/一s=。要满足=/+4r.v>0设方程的两根为石,那么有.r(all+xy%+X=-1-j-p%+qr(all+x,)-%+/=-匚一p%+q两式相比得两边取对数得Ig %”+%= 21g"金04川+超 凡+/,是首项为IggL3 al +x2,公比为2的等比数歹U。求出母J,的通项再整理一下就得出了/的通项，问题就得以解决了。本文主要是通过例题的分析讲解，并进行归纳总结概括而形成的，是我在平时的学习中，通过平时自己的一些积累和参考其他作者的思路，对用待定系数法求解递推数列的初步探讨和认识。例题的深度层层深入，前面的类型是后面的根底，特别是第一种类型，是学习其他几种类型的充分依据，其他的类型最终都会转变为第一种类型之后再进行求解。参考文献口李春雷用不动点法探究递推数列的通项公式J.中学数学研究2006.05期2用待定系数法求解递推数列的通项公式J.中学数学研究2007.07期3例析待定系数法求解递推数列的通项公式J.中学数学研究2023.07期