弹塑性力学-第7章-柱体的弹塑性扭转.docx

第七章等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线Z的方向相重合。扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，假设严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。但在实用上很少由直接积分其根本方程而得到解答，大局部工程问题用间接的或近似的方法得到。在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。即先在应力或位移分量中假设一局部未知函数，然后将这局部函数代入根本方程，求得另外一局部的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，那么所假设的和求得的函数即为问题的解。由于用应力作为根本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。7.1弹性柱体自由扭转的根本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为x,y,z,且柱体的轴线为Z方向，Z方向的位移为卬，即以x,y,z)=O0这样，变形后截面的半径及圆轴长度根本不变。非圆形截面柱体的情况要复杂得多。由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即以x,y,z)()0函数Mx,y,z)称为翘曲函数。下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转根本方程。设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩MT作用，如下图。1 .边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由外表，因此柱体侧面的边界条件为xl+xytn=0xyl+ym=0-(7.1-1)r,J+r,vw=0式中/=cos(,x),m=cos(y,ri)。图7.1棱柱体的扭转在端部边界条件为(7. 1-2)JJjdA=O,JJrzvJA=OJJ(%工一1加4=/JJqdA=O,JjqXdA=OJzydA=02 .柱体扭转时的位移与应变对于柱体扭转问题，圣维南半逆解法假设：(1)认为截面的翘曲变形与Z轴无关，即各截面们翘曲程度相同。(2)柱体发生扭转变形时，截面仅仅产生绕Z轴的刚体转动，且间矩为单位长度的两截面的相对扭转角(扭率)6为常数。因此，由假设可知，翘曲函数卬仅为苍)，的函数；又由假设(2)可知，翘曲函数必与祟函数戏正比，即(7. 1-3)W=夕野(Ky)再由假设(2),如果令距坐标原点为Z处截面相对Z=O截面的扭转角为例，那么该截面上距扭转中心A为r的任一点扭转后移至P(Xi,y+v,z)(图7.2),由于Z=O处截I面没有转动，只有翘曲，因此尸点在x,y方向、的PaJ,z)位移分量为jL，z)(7. 1-4)u-(r)sina=-yzzy7r式中。为AP与工轴之间的夹角。由于截面总扭转角图扭转变形的位移与该截面至坐标原点的距离成正比，故AP的转角为例。将式(7.1-3)和式(7.1-4)代入应变位移关系，可得一点的应变为(7.1-5)3 .广义虎克定律对于柱体的弹性扭转，根据(7.1-5)式可得应力与应变之间的关系化为.由式(7.1-5)和(7.1-6)可见，根据圣维南原理得到：截面上任诃一点都没有正应力，因此各纵向纤维之间和沿各纵向纤维方向均无压了应力；在各截面内(Wy平面)没有应变,即截面在My坐标面上的投影形状不变。此外，在截面每一点只有由1和仁所确定的纯剪切。4 .平衡方程当不计体力时，平衡方程可由2-2)式化为z=O,(7.1-7)yz=O,v+=0x/J5 .应变协调方程将式(7.1-6)中的第二式对y微分，第三式对X微分，然后相减，可得用应力表示的两种不同形式的应变协调方程为÷=o'办办(7.1-8)当旦二一2Geyx由上式可知，翘曲函数收是调和函数，通常称收为圣维南调和函数。于是，任意截面形状的柱体扭转时的应力，归结为根据边界条件求解(7.1-7),(7.1-8)两式。6 .柱体扭转的应力函数法由于从(7.1-8)式求解翘曲函数-通常比较困难，为此，借助应力函数法。当不计体力时，设应力函数°与应力分量和%之间的关系为_ 不， 一菽(7. 1-9)称。为普朗特应力函数。将式(7.1-9)代入平衡方程式(7.1-7),显然满足。将它代入应变协调方程(7.1-8)第二式后，得与202VV=4÷=-2G6>(7.1-10)x2y2由此可知，应力函数0应满足上述偏微分方程式(7.1-10)。这种类型的方程称为泊松方程。当柱体侧面无面力作用时，那么边界条件式(7.1T)简化为rzx.+r.vw=O(a)注意到在边界上，/=MS),y=Ms),由图可知，当S增加时，y增加，而工减少。因此，其方向余弦为(b)(c)I=CoS(,x)=dsm=cos(n,y)=-ds,将式(7.b9)和式(b)代入式(a)后，有yx0ysxss由式(C)可知夕=常数上式说明，沿柱体任意截面的边界曲线，应力函数例x,y)为一任意常数。对于实心柱体，也即截面为单连通域，由式(7.1-9)知，因剪应力是应力函数的一阶偏导数，所以将常数取为零并不失一般性，即9(x,y)=0(沿柱体周边CO)(7.1-11)而截面上任一点的合剪应力的为T=d+=橙尸+(豹=srad噜(7.广式中为沿。等值线的法线方向，r的方向为沿0等值线的切线方向，因此称0等值线为剪应力线。由于边界上的剪应力方向必须与边界的切线一致，故周界线Co本身也是一条剪应力线。由以上可见，对于给定的。值，不难由方程(7.1-10)和(a)唯一地确定应力函数0(x,y),从而由式(7.1-9)求出应力，由(7.1-5)求出应变，以及翘曲函数w。但我们注意到，由式(7.1-6)和(7.1-9)有u1v1八=1=，v=1=3ZaXGdyzyGx从上式可见，当通过积分求位移函数,和翘曲函数卬，那么在所得结果中包含有表示刚体位移的积分常数，因此位移函数和翘曲函数可准确到一个附加常数的范围内。根据上面所述方法求得的应力分布还应满足柱体端部条伴，即%=JLk一""W2=dL啜斓Ua噜公力(Ci)其中积分限A为截面面积。对上式做第二个积分利用分部积分，可得iyddy=对:噜力=r喘-CMk注意到在边界侧面上的点M,y2等(x,)=0,因此上式的最终结果为(e)JL嗡公力=fdxC琮dy=-Mk=-J"力同理，第一个积分也可写为乩啜6tofyTi"'(f)将式(e)、(f)代入式(d),最后得M=2j£(pdxdy(7.1-13)上式表示，如在截面上每一点有一个93,)，)值，那么扭矩MT为°曲面下所包体积的二倍。由以上讨论得出，如能找到一个函数Oa,)，)，其在边界上的值为零，在截面内满足方程(7.那么截面的剪应力分布及扭矩就都可求得。7.2常见截面形状柱体的扭转本节采用应力函数法讨论椭圆形截面和矩形截面两种柱体的扭转。椭圆形截面柱体的扭转1.应力函数与应力分量截面形状如下图椭圆柱体，在两端受到扭矩M7，截面边界方程为选用应力函数为y图7.2椭圆截面柱体。=哈+旨1)(b)显然，它满足边界条件式(7.1-2)和式(7.1-11)。式中C为常数。将(b)式代入(7.1-2)式得(c)a2b22面+b2)于是(d)a2b2Fzx2y21O=五E方+源T)为了确定常数尸，将式(d)代入式(7.得MT(e)由于x2dxdy - Iy -y2dxdy = Ix = dxdy = abTiba'4abs所以，由式有Mt7ECb3F2(a2+b2)故可得(f)2Mgb)将式(f)代入式(d),应力函数为M7- X2 y2L 嬴 Hh)(7. 2-1)将式(7.2T)代入式(7.1-9),得剪应力分量_ _ 2MyTzx y Tiab3 ' _ 2Mxx 7iayb(7. 2-2)由(7.1T2)得合剪应力为I22= ÷<b42% mb(7. 2-3)由式(7.2-2)和式(7.2-3)可知，剪应力分布有如下特点：(1)在每一点，应力比值j%=-(2,2)(y),即沿任意半径方向各点具有相同的比值。这意味着沿同一半径方向各点剪应力相互平行，如下图。(2)在边界上，两剪应力分量的上述比值正好等于椭圆切线的斜率，可见边界上的剪应力(合力)沿边界面切向，而法向剪应力为零。且在长半轴边缘(x=,y=O),2f2M2x=O,-=在短半轴边缘(X=O,y=b),那么工=O,zx=t=t°ab7tab'2M7TlUb2(3)由式(7.2-2)知，剪应力分量均在边界上最大，且正比于X或y坐标。整个截面上的最大剪应力在(x=0,y=4)处，即短半轴边缘，其值为(7.2-4)当=力时，由以上各式可得圆形截面的剪应力公式。扭率、扭转刚度和位移将式(7.2T)代入应变协调方程第二式，可得扭率。为(7. 2-5)a2+h2G加»3K7=M7/。称为扭转刚度。扭转刚度是一个有用的概念，其单位与扭矩的单位相同。由于椭圆截面的面积A和形心极惯性矩Ip分别为A=ab,I=-(a2+Z?2)/4因此，由(7.2-5)式，并注意到上式，那么可将扭转刚度可写为a2 +b2 4储 IP-6)将式(7. 2-5)代入式(7. 1-4)可得位移分量力为=-既=-% 心Myz,v = zx = M-zxT Ga3b3r Gm射(7. 2-7)为了求得位移w,由式(7.6)和式(7.1-9)可得x G yw 1 _ =UXy G x将式(7. 2T)代入上式，并积分后，得(g)Gm%，M(a2 -Z?2)Gna%'孙+ E(y)y+f2()(h)由上式可知，1(y)=2()=%,它代表刚体位移，并不影响应力，故可略去，于是得翘曲位移为(7. 2-8)MAa1-b1)-yGw63J式(7.2-8)说明，截面翘曲后的形状为双曲抛物面，如下图。它的等高线在My平面上的投影为双曲线，其渐近线为椭圆长短轴，在长短轴上各点无翘曲。假设第一、第三象限向下翘，那么第二、第四象限向上翘。翘曲面与My平面间形成耐体积的代数和为零。即,严ZA=O图7.3椭圆截面柱体扭转翘曲形状(a)(b)(c)(7. 2-9)此式对任何受扭转柱体的翘曲截面都适用。矩形截面柱体的扭转由节讨论知，应力函数9(x,y)在图所示矩形截面区域ABCD内满足泊松方程=-2Ge在边界上，即当=±a,y=±b时，有9=0由数学物理方程知，上述问题为求解泊松方程的第一边值问题，或狄里希菜(DiriCheIet)问题。在单连通域的情况下，这类问题的解可假定为以下形式:其个%为泊松方程的特解，例是相应齐次方程的解。即VV0=-2G6>,V1=0如果求得了外,那么由式(a)、(b)可知，以下狄里希莱问题vV,=o(p=-，边界上)的解那么可求得。对于本问题，取为o=-G(y2-H)(f)由式(e)知，R为调和函数，再根据式(e)和(f),效应满足如下条件：i=0,当y=±b时>(g)令仍取为再由有x=G(y2-b2),当X=±a时9=x,(),(y)/1=0vV1=(X÷1-xj=oW=OY""XN+匕士=0，或vl=-÷由于上式可知，等号左边仅为X的函数，右边仅为y的函数，因此只能等于同一常数,令常数为,那么有X；=ZX，匕=T比于是根据一般齐次常系数二阶方程可得通解为Xn=G"M%"X+(h)匕=C3Sin-y+C/os/y式中常数GIa=I23,4)由边界条件(7.2-9)式确定。由边界条件(7.2T)式，在x=±上有等=SX“(x)匕(y)=2G分(i)从上式可以看出，X“(X)匕为y的奇函数，所以G“=0。又由(7.2-1)式可以看出，在x=±时，有.=G(y2-b2)=x,t(x)Yn(y)O)由该式可见，(y)是关于y轴的对称函数，所以°G.=0。于是有88P=ZC2”CXC4cosny=YDnchnxcosny因当y=±)时，/=0,所以有VlJTcosllb=0,n=(=1,3,5,)(k)ny 2b(7. 2-10a)于是由式(f)和式(j),并注意式(k),得应力函数。为=-G(y?-Z?2)+£。必等11=1,3,5,2b将上式的第一项按级数展开为-Gy2-b1) =32Z?2/ 1 . nGO > sincos”=1,352ny 2b将上式代入(7.2Toa),得= X Gen=l,3,5,.32b2 . n 八，nx ,Sln ÷ D chI/ 2 2bny cos2b(7. 2-10b)由式(a)知,当X=±时，夕=0,代入式(7.2TOb)后，得-G32b2.n sin2.na ch2h(7. 2-11)将式(7.2-11)代入式(7.2-10a),得 = -Gy2-b2 +32b23.n . nxsin chcos2 2bny ，2b(7. 2-12)2b由式(7.1T3)可得扭矩为(7. 2-13)M=2(fdxdy=6GabV-!-r-JJAL3"g怎,2令(7. 2-14)一。、1Mb1,na=Z()=-Tb3a“=1,352b由(7.2-13)式和(7.2-14)式，得扭转刚度Kr和扭率分别为(7. 2-15)Kt=6aGab3=aG(2a)(2b)3°_MT=WKt16aGaby将式(7.2-15)第二式代入(7.2-12)得M =l-6aab2 G 321y -b- + X 、,/c心 2b.n .sin ch2nx COSny2b 2b(7. 2-16)(7. 2-16)MT 16b 宁16Mb° 1 =i5.n sin2，.na nch2b.nx肛'shcos-2b2b由式(7.2-16)可求得剪应力分量为.nMtC16b白SU121nx-ny=z-v2y-chsin-y1Gaaby一/"h吧2厂2b1.2b根据式(7.2T6)算得的矩形截面周界各顶点的剪应力为零。截面上剪应力分布如图。图7.5“ .应力分布图图7.6翘曲等高线分析式(7.2-16)和由图可知，在X = O,3，=切处，剪应力G取得最大值,W I 8/1max Saab2 兀22Ch幽_2b _MSab2(7. 2-17)式中F=a-4 H Z，5rdt 幽 Ib(7. 2-18)在x = ±,y = 0处，剪应力心.取得最大值，即maxMtaab2 (-Dv j=l,3.5,Mtab2(7. 2-19)其中(7. 2-20)了"9=1一二JibA(T产与小幽/2皿士/2h由式(7.2-14)、(7.2T8)和(7.2-20)可知，,7,y均随“b而变化。系数,y的取值列于表。表7.1a,8,y与a/b的关系a/bOOaY0.249由表可以看出，当。/。很大时，即为狭长矩形截面，,/的值趋于1/3,此时公式(7.2-15)第二式和(7.2T7)可简化为二3%二3丹II_3fr_3M(0-21)6GabiG(20)(2b)3'MmaX82(2a)(2b)2其中2和2b分别为狭长矩形截面的长和宽。截面的翘曲可由(7.2T2)式反映出来，令W为常数，可得截面翘曲后的等高线方程。当。=b时，诸等高线在Xoy平面的投影如下图，其中实线表示上翘，虚线为下凹。7.3薄膜比较法当受到扭矩作用的柱体的横截面形状较复杂时，求解往往十分困难。为了解决扭转问题，普朗特于1903年提出了一种用薄膜来模拟挠度的薄膜比较法，从而避开了数学上的困难，通过这种薄膜模拟的实验方法求扭转问题的解，比拟的条件是微分方程和边界条件应各自相同。设有均匀的薄膜，粘贴或装在一个和扭转柱体截面形状相同或成比例的孔上，薄膜在微小的均匀压力作用下，将产生挠度z,它是x,y的函数。因为膜很薄，可以认为它不能承受弯矩、扭矩、剪力和面内压力，在不计薄膜重量时，薄膜内部只能承受均匀的张力丁，而且处处相等；在薄膜的一侧受到均布的横向压力q(图7.7)o图7.7薄膜比较示意图从膜中取出一个微小单元体HCd(参见图7.7),它在My平面的投影是一个矩形，边长为公和力，其上作用有压力q和张力丁。由于挠度Z很小，可近似认为在平行于MZ平面的薄膜各处，彷边切线的斜率ezr=f;同理，在平行于yoz的平面内，薄膜上ad边各点切线的斜率zly=ton。因各点挠度Z不同，所以张力丁在A边的斜率为a+生LdXX更+些dxxxx同理可得be边的斜率为包+空力。这样，薄膜的垂向平衡方程为yy2-Tdy-+Tdy(-+dx)-Tdx-+Tdx(-+qdxdy=0xxx"yyy将上式整理后得¾+=-2-(7.3-1)x2y2T上式即为泊松方程，与方程(7.1TO)比较，可知薄膜问题与扭转问题相似，其各量之间的关系列于表7.2。表7.2薄膜比N及相关参数对照表薄膜问题ZMTqzcz2V扭转问题G2“%Mt表中V为薄膜下的体积。这就是说，膜的平衡位置Z与0曲面相似，膜的等挠度线与剪应力线相似，膜在任一点的坡度与相应的合剪应力成比例。由此可得到结论：(1)柱体上任一点的最大剪应力的方向，就是薄膜上相应点处等挠度线在该点的切线方向，其大小与过该点的切面沿法线方向的斜率成正比。（2）薄膜的等挠度线与截面的剪力线一致。（3）薄膜挠曲面下的体积与扭矩成正比。7.4薄壁杆件的扭转利用薄膜比较法可以十分方便地讨论薄壁杆件的自由扭转问题。4.1 开口薄壁杆件的扭转工程上开口薄壁杆件诸如角钢、槽钢、工字钢、T型钢等应用颇多。几何上其壁厚较薄，可节省材料，这些优点在材料力学中已经提及。对于这类薄壁杆件，因为壁厚很小，利用薄膜比较法，其截面可以近似看成由假设干个等宽度的狭长矩形组成，这些狭长矩形可能是直的或是曲的。由薄膜比较可以想象：如果一个直的狭长短形和另一个曲的狭长短形具有相同的长度匕和宽度，那么当张在这两个狭长矩形上的薄膜受有相同的压力q和张力T时，两个薄膜同各自边界平面间所占的体积V以及它们的斜率3z3y大体上是相同的。由此可以推断，如果两个杆件的材料相同，所受的扭矩也相同，那么两个杆件的最大剪应力和单位扭转角也就没有多大差异。因此，一个曲的狭长矩形截面就可以用一个同长同宽的直的狭长矩形截面来代替，而不致引起多大的误差。1.狭长矩形截面杆的扭转对于图所示狭长矩形截面杆，略去矩形短边的影响，假设微弯的薄膜面是一个筒形曲面，即沿截面的方向不变，因此挠度Z仅为坐标X的函数，由式（7.3T）可知，薄膜的挠度方程可简写为图7.8狭长矩形杆的扭转将（7.4-1）式积分两次，并考虑到边界条件：当X=O时，zx=0;当工=2时，z=0,Z = IV M 2T 2)-X2(7. 4-2)即薄膜挠度在宽度，方向为一抛物线（图7.8）。于是，薄膜最大挠度及薄膜曲面与Z=O平面之间的体积分别为5=贮8TV=Ztbb=咖二312根据薄膜比较关系表和式(71T0)可知r=-=2G6Qx将4换为26,1/T换成G,得扭矩计算表达式MT=2V=-bt3G=JG3(7.4-3)(7.4-4)(7.4-5)式中J=初3/3为狭长矩形截面的极惯性矩。由上式可得单位长度的扭率。和抗扭刚度KT为9二3%Gbt3(7.4-6)由式(7.4-4)和(7.4-5)可知，最大剪应力发生在长边中点x=±"2处，即发生在靠近形心轴的点上，其值为max=G6二誓bt(7.4-7)现在考虑剪应力沿薄壁矩形周边的性质。由于狭长矩形的外表为自由外表，所以剪应力线总是与边界线平行。在四个角点处，由于薄膜在此点和Z=O平面相切，故该点之合剪应力等于零。这一结果对开口薄壁杆的弹性扭转近似计算很有意义。2.多肢薄壁组合杆的扭转根据狭长矩形截面杆扭转剪应力的性质，对于截面为多个窄条组成的杆的自由扭转，就可以看成是假设干窄条截面杆扭转问题的解的组合。从薄膜比较观点，可认为薄膜张在各分肢断面上，只是各分肢连接处情况比较复杂。但是由于不同分肢衔接处所占部位不大,因而可以忽略。如记，和。分别为不同分枝的长度和壁厚，/为不同分肢上的剪应力，剪应力沿边缘的切向，于是按式(7.4-7),(7.4-6)第一式，其各分肢的剪应力和扭转刚度有i-GtjKHG3M；如21.b启3''(7.4-8)(7. 4-9)总扭矩等于各组成局部的扭矩之和，故有Af丁=Z利用(7.4-8)的第二式，得到整个截面的扭转伽度为KT=MTG(7.4-10)最大剪应力发生在壁厚最大的分肢的边缘上，即rmax(Ti) maxMT _ 3maxmaxTi(7. 4-11)最后须指出，工程实际应用的薄壁构件，在各组成局部接头处为圆角过度，其圆角处将发生相当大的应力集中，其数值决定于该处的圆角半径。对于较小的圆角半径，例如r=O.l,圆角处的最大剪应力“可按下式计算1=1.74-P(7.4-12)其中厂是圆角半径，".按(7.4-8)的第一式计算。对于不同壁厚f"2那么应取大的厚度进行计算。4.2 闭口薄壁杆件的扭转O q图7.9空U管壁管的扭转域。同开 方便。如下图。 不同的 为h。 挠曲面 沿壁厚闭口薄壁杆件的特点是截面多为连通口薄壁杆件一样，采用薄膜比较法求解较为L空心薄壁管的扭转设有一空心薄壁管截面，其厚度为S,任意空心薄壁管的内外边界上，应力函数有边界值。设外圈的应力函数W为零，内圈的由于薄壁管的壁厚很薄，因此可认为薄膜的沿管厚度的斜率不变，这就相当于假设剪力均布。所以，根据式(7.1T2)有T=丝n现设想在截面上粘贴一薄膜，使薄膜在外周界”的挠度为零，在内周界4的挠度为a,实即设想在内周界为一刚性平板，只作垂直向下移动。在薄膜上加以垂直的均匀载荷9,于是在壁厚为S的地方，剪应力大小是常量，且等于=-(a)扭矩应等于薄膜下面体积的二倍，考虑到薄膜斜率沿壁厚不变，并注意式(a),所以有M=2Ah=2A(b)此2A式中A是壁厚中心线S所围成的面积。由上式可得计算平均剪应力的简单表达式为(7.4-13)由上式可见，最大虏应力发生在壁厚b最小的地方，这与开口薄壁的情况正好相反。现在计算扭率6。为此，研究内周界4作为一刚性平板的平衡。在薄壁管中线所围成的中线S上，每单元长度/内薄膜对平板的拉力为了杰，拉力在Z轴上的投影是TACoS4，此处夕是薄膜的斜度，即薄膜斜边与Z轴之间的夹角。将这个投影沿中心周线S积分，得张力的垂直总分力，它应等于S内所受到的全部向下的载荷，即(c)JTCoSBdS=qA考虑到了4。都是常量，且由表知，qT=2G,根据式(b)有人=M"(2A),以及cos/7=hyh2+2h1,得(d)MTIdS4A2G对于均匀厚度空心薄壁管，厚度S为常数，故有(C)此处S是空心薄壁管中心线S的周长。2.多连通薄壁截面的扭转S() , S, S?厚度分别为如下图假设受到扭矩乍用的柱体功j多连通薄壁截面。令各边界为%川,三，并各边界上的应力函数。的值分别为零和4,人2。薄壁的为与&,0,相应的剪应力记为"2/3。因为图7.10多连通薄壁截面(f)(7. 4-14)=迎n那么有%r1=h2t_z1-h2_rl>1-22L丁一j其中九和2是内边界C。和石尸的高度。由体积ACDE”求得扭矩的大小为(g)(h)MT=2(11+A2A2)=21(1rl+2A222式中A和A2是图中各连通区域厚度中心线(虚线)所围成的面积。由式(7.1TO)和(7.3T)可得2G(qT)对于单连通域，薄膜所围面积的静力平衡为iT-ds=qA(i)Jn并注意到式(f),那么将式(h)代入上式，得ds=2GA(j)那么，对于多连通薄壁杆，将式(j)用于图虚线所围闭合曲线，并用S,S2,S3表示各局部虚线的长度，那么得GSl+r3S3=2GAxI(k)2S2-T3S3=IGOA2那么对(7.4-14)第三式和式(g)、(k)联立求解，得zM(S1S+515+S2S1)(j4Gl3S2Af+23SiA1+l2S3(Ai+A2)2M7.S2A+&S3(A+A?)r，=213S2A12÷J1253(Ai÷A2)2(7+15)_M-A2+bS3(A+A2)J213S2Ai2+23SlAl+i¾S3(A1+A2)2M-SzA-2J13S212+23S+i¾53(1+A2)2在对称截面的情况下，S1=S2,1=A2,=?,那么仆=0,略去与薄膜斜率沿腹壁厚度的变化相对应的微小应力，那么扭矩由管的外壁承受，而腹壁不受力。7.5塑性扭转与沙堆比较法对于弹性棱柱体的自由扭转，应用应力函数求解，其合剪应力为式(7.1-12)。即=grad(上式表示，合剪应力等于应力函数°的梯度的模。当合剪应力在果一点到达屈服应力值时，柱体开始屈服。此时，Igmd时在该点到达最大值，根据薄膜比较法，相对应的薄膜在该点的坡度也到达最大值。由于边界上的剪应力首先到达最大值，所以最先出现屈服的点一定在截面的边界上。当扭矩继续增加，塑性区的范围将逐渐扩大，而达最大坡度的区域也逐渐由截面边界向棱柱体内部延伸。对于塑性区，仍采用以前的假设，那么由米塞斯屈服条件给出zx+=2.(7.5-1)式中人为纯剪切屈服应力。x y当棱柱体处于弹塑性状态，当不计体力时，剪应力分量满足平衡方程(7.5-2)和满足式(7.8)第二式所导出的应变协调方程(7. 5-3)砂-y=yx引入塑性扭转应力函数*，(苍y),即与棱柱体弹性扭转类似，式(7. 5-5)还可写为(7. 5-4)(7. 5-5)Ig阳d°J=/,=k(7.5-6)1n由于上式是由衡方程及屈服条件得到的，它表示柱体全部进入屈服(即全塑性)时所满足的方程式。由上式可知，对于理想弹塑性构料，当外的梯度的数值到达女时;柱体全部进入塑性。而且，塑性应力函数曲面为等倾面。由于边界条件°=。不涉及物理关系，所以在进入塑性后仍然适用，即有%(x,y)=0(7.5-7)根据以上求解全塑性问题的根本方程及边界条件，纳达依(Nadai)提出了沙堆比较求解全塑性扭转问题。沙堆比较方法是；在与柱体截面相同形状的平面上堆起一个沙堆，并使沙堆外表也形成一个等倾曲面(如图7.ll)o沙堆的高度W的方程可写为IgradH=ton(7.5-8)式中为沙子的内摩擦系数。(a)(b)图7.11沙堆比较(a)圆柱形柱体；(b)矩形截面柱体在塑性区,剪应力矢量的大小为一常数,且其方向垂直于区域周界的法线(如图8.12a),即剪应力线平行于区域的周界。如果区域周边存凹角时，如图8.12(b),那么剪应力以图孤线绕过尖角。沙堆顶盖的“脊是剪应力的间断线，丁,过该线不连续，即剪应力T=Z发生跳跃变化，如图7.12(C)中的脊线AB便是这种间断线。由该图可以看出，在应力间断线AB两侧，剪应力的方向发生了跳跃式变化。实际上，在间断线两侧的应力函数曲面化,的坡度也发生了间断，且是跳跃式的变化。(C)以上是整个截面处于塑性状态时的情况，材料进入这种完全塑性状态以后，无限制的塑性流动成为可能。完全塑性状态称为极限状态。与此状态对应的扭矩称为塑性极限扭矩,记为由沙堆拟可知，塑性极限扭矩显然为M=lpdxdy(7.5-9)即塑性极限扭矩为给定周边根底上建造起来的等坡度顶盖下体积的2倍。这样，塑性极限扭矩的计算变得很容易了。例1对于半径为。的圆截面杆，坡度h/a=k,高h=ak,yfRV=-m2h=-a3k,于33是塑性极限扭矩为M=-a3k(7.5-10)3而刚开始产生塑性变形的扭矩Mt9可由(7.2-3)式令=b和汇=我得到M=Lm'k(7.511)T2例2对于矩形截面(x"杆，坡度”=k,体积(参见图7.1Ib)为b“a®D勺,所以塑性极限扭矩为232M=2V=-(3a-b)k(7.5-12)6刚开始产生塑性变形的扭矩加丁，可由(7.2-17),并必须注意相关符号的对应后，得MT=b2ak(7.5-13)当在以上两式中，令a=b,那么可得过长为。的正方形截面杆的塑性极限扭矩和刚开始产生塑性变形的扭矩M为(7. 5-14)M=-a3kp3MT=aik以上几个例子，是易于求得塑性应力曲曲所包围体积的情况。当杆截面的形状比较复杂时，由于塑性应力曲面不易确定，运用上述方法求极限扭矩那么比较困难。为此，可以用实验方法确定塑性极限情形的应力曲面，即将沙子等颗粒材料堆在和杆截面具有相同形状的水平放置的平板上，此时的沙堆为一个等倾面。如果测量沙堆的体积比较困难，也可用测量沙准重量来代替。例如，在所要考虑的截面上堆好沙，称出这堆沙的重量为,然后在半径为。的圆截面上堆上同样的沙，称出它的重量为W2,由于圆截面和给定的截面都发生塑性屈服时所需的极限扭矩之比，等于与之比，那么得(7.5-15)7.6弹塑性扭转与薄膜屋顶比较法当杆件两端施加的扭矩小于塑性极限扭矩但大于弹性极限扭矩MT时，杆件的截而上将同时存在弹性区域和塑性区域。本节研究这种情况下截面上的应力分布规律。1.圆形截面杆件弹一塑性扭转的解折解如果杆件的横截面为圆形或者环形，根据问题的对称性，可以预先判定横截面上弹性区和塑性区的分界线为一圆，因此，这种圆形截面杆件弹一塑性扭转的解析解可以直接求得。图7. 13圆形截面上的弹性区和塑性区设杆件截面的半径为以截面的圆心为原点取极坐标，并没弹、塑性区交界线的半径为，如图810所示。由于该问题为轴对称问题，应力和应力函数仅只是坐标，的函数，与极角。无关。这样，弹性扭转方程式(7.1TO)和塑性扭转方程式(7.5-8)可分别写成如下形式：(7. 6-1)(irrarIgmd%J=一骼=&其中心和9p分别为弹性区和塑性区的应力函数。而弹塑性交界面的连续条件那么为M)r=p=(fPp)r=p(7.6-2)在弹性区(Orp)内，将方程式(7.6T)第一式积分，并考虑到圆心处的对称条件1=0,那么有(7.6-3)式中。为积分常数。(7. 6-4)在塑性区(pr)内，将方程式(7.6-1)中的第二式积分，并考虑到边界条件(OP)=°，得p=k(a-r)将式(7.6-3)和(7.6-4)代入连续方积(7.6-2)，解得(7.6-5)如果给定单位扭转角。，通过式(7.6-5)中第二式可以求得弹、塑性交界线的半径°,再利用式(7.6-3)、式(7.6-4)和式(7.6-5)中的第一式，便可得到整个截面上的应力函数Q如果给定的不是单位扭转角0,而是扭矩那么，利用式(7.不难得到以下与。的关系(7.6-6)由式(7.6-5)中的第二式可知，只有当e8时，夕才会等于零，即到达全塑性状态。这时弹性区退化成一个间断点。然而，应当强调指出，随着扭转的进行，扭矩很快地趋近于塑性极限扭矩(例如，当£=0.5时，M7.=-M)0实际上，在扭转角还不是很a32大时，杆件已经失去了承载能力。在式(7.6-6)中，令g,可以求得塑性极限扭矩为这与采用沙堆比较法所得的结果完全一致。利用上面所得到塑性极限扭矩这一关系，式(7.6-6)也可以写成(7.6-7)2.薄膜屋顶比较法当受到扭矩作用的杆件截面不象圆柱形那样，而是比较复杂时，采用解析法在数学上将产生很大的困难，1923年纳达依为解决这类问题，提出了一种薄膜屋顶比较法。薄膜屋顶比较法也是一种通过实验确定应力函数°,从而求得弹塑性扭矩