人教版九年级上册二次函数及其图像和性质教案.docx

二次函数及图像和性质教案时间：授课教师：一.知识巩固(一)二次函数定义：一般地，形如y=a2+bx+c(a,b,c是常数，a0)的函数叫做X的二次函数.a是二次项系数，b是一次项系数，C是常数项。注意：(1)等号左边是变量y,右边是关于自变量X的(2) a,b,C为常数，且HO(3)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项和常数项，但不能没有二次现(4) X的取值范围通常情况是任意实数二次函数的特殊形式：当b=0时，y=ax2+c当C=O时，y=ax2+bx当b=0,C=O时，y=ax2(二)二次函数图像及性质一次函数图像、正/反比例图像及性质回顾二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象叫做抛物线y=ax2+bx+co每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.顶点是抛物线的最低点或最高点.依次巩固函数图像及性质：(1)v=a函的函数图像(5) y=ax2+k的函数图像(6) =a(xh)2的函数图像(7) =a(xh)2+k的函数图像(8) =ax2+bx+c的函数图像(1) y=ax2的函数图像一般地，抛物线y=ax2的对称轴是一V轴，顶点是_原点.当a>0时，抛物线的开口向上一，顶点是抛物线的最最低一点,a越大，抛物线的开口越.小；对称轴左侧递减，对称轴右侧递增。当a<0时，抛物线的开口向下.顶点是抛物线的必_最高_点,a越大，抛物线的开口越.大.对称轴左侧递增，对称轴右侧递减.(2) y=ax2+k的函数图像上加下减y=ax2+ka>01/4a<0图象/Vk>0k<)A八k>0,k<d'开口开口向上开口向下a的绝对值越大,开口越小对称性关于y轴又蹄顶点(O1K)顶点是最低点顶点是最高点增减性三¾w左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左根腱增在对称轴右侧递减(3) y=a(x-h)2的函数图像左加右减一般地,抛物线y=a(-h)2有如下特点：对称轴是x=h;顶点是(h,0)；抛物线y=a(-h)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移Ihl得到；h>0,向右平移;hv,向左平移开口对称性顶点增减性开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小直线X=h顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴左侧递增在对称轴右侧递增在对称轴右侧递减(4) y=a(x-h)2+k的函数图像一般地,由y=a2的图象便可得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象:y=a(x-h>+k(a0）的图象可以看成y=ax2的图象先沿X轴整体左（右）平移Ihl个单位（当h>0时,向右平移;当h<0时,向左平移）,再沿对称轴整体上（下）平移Ikl个单位（当k>0时,向上平移;当k<0时,向下平移）得到的。对称轴为直线x=h,顶点为（h,k）。抛物线y-a(x-h)2+k(a>0)y-a(x-)2+k(a<0)顶点坐标(h,k)(h,k)对称轴直线x=h直线x=h位置由h和k的符号确定由h和k的符号确定开口方向向上向下增减性在对称轴的左徽V®着X的增大而就小.在对称轴的制、慢着'的增±而增大.在对称轴的左觎V随着X的增大而增大在对称轴的右侧,、随着工的增大而;减小.最值当X二h时,最小值为k.当x二h时,最大值为k.（5）y=ax2+bx+c的函数图像y=ax+bx+超对称轴是K=2a顶点坐标是:（-2,%二生）2a4。（Da决定抛物线的开口方向：a>0开口向上a<0开口向下ba,b决定抛物线对称轴的位置：（对称轴是直线X=2a）a,b同号V=>对称轴在y轴左侧；b=0<=>对称轴是y轴；a,b异号V=>对称轴在y轴右侧左同右异c决定抛物线与y轴交点的位置：c>0V=>图象与y轴交点在X轴上方；c=0V=>图象过原点；c<0V=>图象与y轴交点在X轴下方。、顶点坐标是：（-22a4ao（4）二次函数有最大或最小值由a决定。抛物线y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2bx+c(a<0)顶点坐标b4ac-b2b4ac-b22/7,4/7对称轴'直绦=-22/J,宜综=-22a位置由a,b和C的符号确定由a,b和C的符号确定开口方问向上向下增减性在对称轴的左v随着X的增大而被小.在对称轴的右侧.、随着'的增大而增大.在对称轴的左fiv随着X的增大而增大.在对称轴的右侧,、随着X的增大而;就小.最值当x=-2时,最小值为竺EzQ2/74当X=一心时,最大值为丝包2a4a二、随堂练习一、单选题（每小题只有一个正确答案）1.下列函数中是二次函数的是（）A.y=3x1B.y=32-1C.y=（x+l）2-x2D.y=ax2÷2-32 .若y=（a2+a）f是二次函数，那么（）A.2=-1或"3B.&工1且"0C.a=-1D.a=33 .抛物线y=一2不具有的性质是（）A.开口向下B.对称轴是y轴C.与y轴不相交D.最高点是原点4 .如图，四个二次函数的图象中，分别对应的是：®y=ax2；=成；y=c/；>=公2,则,bed的大小关系为（）B .a>b> d > cC . b>a>c>dD.b>a>d>c5 .对于y=2+3>+2的图象下列叙述错误的是A.顶点坐标为（3,2）B.对称轴为X=-3C.当xV3时y随X增大而减小D.函数有最大值为26 .已知二次函数y=Q2+b*+c的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.先向左平移2个单位长度IB.先向左平移2个单位长度IC.先向右平移2个单位长度,D.先向右平移2个单位长度8.如图，二次函数y=a2+lnP的横坐标为一L则一次函数!TTA.dB.,然后向上平移1个单位长度,然后向下平移1个单位长度,然后向上平移1个单位长度,然后向下平移1个单位长度i的图象开口向下，且经过第三象限的点P若点,=（a-b）x+b的图象大致是（）C.4Ac,八Cb7cCb2-4qC7cCQ+b+cj八A.<0B.<0C.<0D.<07.抛物线产（X-2）2-1可以由抛物线y=2平移而得到，下列平移正确的是（）D.二、填空题9 .二次函数y=k2-x2经过点(1,5),则k=.10 .函数y=g)/+'.I的图象是抛物线，则n=.11 .开口向下的抛物线y=(11-2*+2mx+l的对称轴经过点(-1,3),则m=.12 .如图，这是小明在阅读一本关于函数的课外读物时看到的一段文字，则被墨迹污染的二次项系数是.13 .抛物线y=ax'bx+c(a0)的对称轴为直线x=l,与X轴的一个交点坐标为(1,0),其部分图象如图所示，下列结论：4acVb?；方程ax2+bx+c=0的两个根是XI=-Lx2=3;3a+c=0;当y>0时，X的取值范围是-IWXV3；当XVo时，y随X增大而增大，其中结论正确的是(只需填序号)三、解答题14 .已知函数y=-(m+2)XkZ机为常数),求当m为何值时：(l)y是X的一次函数？(2»是X的二次函数?并求出此时纵坐标为-8的点的坐标.15 .某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用为1000元11设矩形的一边长为xm,面积为y.(1)求出y与X之间的函数关系式，说明y是不是X的二次函数，并确定X的取值范围；(2)若x=3时，广告牌的面积最大，求此时的广告费应为多少？16 .如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象交x轴于点A(1,O),B(3,0),交y轴于点C.(1)求这个二次函数的表达式；(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，求ABCP面积的最大值；(3)直线x=m分别交直线BC和抛物线于点M,N,当ABMN是等腰三角形时，直接写出m的值.参考答案1. B【解析】【分析】根据二次函数的定义:形如丫=Q2+"+c(Q=°),则y是X的二次函数进行判定即可.【详解】A选项,y=3x1是一次函数,不符合题意，B选项,y=3f1是二次函数,符合题意，C选项,y=(x+l)2-2整理后y=2x+是一次函数,不符合题意，D选项,3,二次项系数不确定是否等于0,不一定是二次函数,不符合题意，故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的定义,解决本题的关键是要熟练掌握二次函数的定义.2. D【解析】【分析】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0,列出方程与不等式即可解答.【详解】根据题意，得：a2-2a-1=2解得a=3或1又因为a2+a0即a0或a-1所以a=3.故选D.【点睛】解题关键是掌握二次函数的定义.3. C【解析】【分析】抛物线y=2的二次项系数为故抛物线开口向下，顶点坐标（0,0）,最高点为原点，对称轴为y轴，与y轴交于（0,0）.【详解】抛物线y=-2的二次项系数为-1,，抛物线开口向下，顶点坐标（O,0）,A正确；最高点为原点，对称轴为y轴，B、D正确；与y轴交于（0,0）,C错误，故选C.【点睛】本题考查了基本二次函数y=a2的性质：顶点坐标（0,0）,对称轴为y轴，当a>0时，开口向上，当aV0时，开口向下.4. A【解析】由二次函数中，“当二次项系数为正时，图象开口向上，当二次项系数为负时，图象开口向下”结合”二次项系数的绝对值越大，图象的开口越大”分析可得：a>b>c>d.故选A.点睛：（1）二次函数y=02gto）的图象的开口方向由“。的符号,确定，当。>0时，图象的开口向上，当<O时，图象的开口向下；（2）二次函数）,二加（工0）的图象的开口大小由同的大小确定，当时越大时，图象的开口越小.5. D【解析】分析：根据二次函数的性质对照四个选项利用排除法即可得出结论.详解：根据二次函数的性质可知y=2+3>+2的顶点坐标为（-3,2）,故A正确；对称轴为X=-3,故B正确；开口向上，在对称轴右侧y随X增大而减小且函数有最小值2,故。正确。错误.点睛：本题考查了二次函数的性质，在解题时可结合函数大致图象来判断.正确理解二次函数的基本性质是解题的关键.6. B【解析】【分析】根据抛物线的开口方向确定a,根据抛物线与y轴的交点确定c,根据对称轴确定b,根据抛物线与X轴的交点确定b2-4ac,根据x=1时，y>O,确定a+b+c的符号.【详解】Y抛物线开口向上，a>0,抛物线交于y轴的正半轴，c>0,ac>O,A错误；bV-2>0,a>0,b<O,B正确；Y抛物线与X轴有两个交点，b2-4ac>0,C错误；当X=I时,y>0,a+b+c>O,D错误；故选B.【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与X轴交点的个数确定.7. D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究.详解：抛物线yr?顶点为（0,0）,抛物线y=（x-2）2-1的顶点为（2,-1）,则抛物线yr?向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x-2）2-1的图象.故选：D.点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向.8. D【解析】【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a15的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，观察各选项即可得答案.【详解】由二次函数的图象可知，a<0b<0，9当X=T时，y=a-b<o,二丫=6-可乂+1）的图象经过二、三、四象限，观察可得D选项的图象符合，故选D.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，认真识图，会用函数的思想、数形结合思想解答问题是关键.9. 8【解析】分析：把（1,5）代入y=kx2-x-2中，即可得到关于k的一元一次方程，解这个方程即可求得k的值.详解：二次函数y=k2-2经过点（1,5）,5=k-l-2,解得k=8；故答案为8.点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点的坐标适合解析式.10. -1fm2+1=2【解析】根据抛物线的定义，得lm-l0,解得：m=-.11. -1【解析】由于抛物线y=(m2-2)x2+2mx+l的对称轴经过点(-1,3),对称轴为直线x=-l,X=-=r=-L2a2(32)解得=-l,m2=2.由于抛物线的开口向下，所以当m=2时，m2-2=2>0,不合题意，应舍去，.*.m=-l.故答案为：-1.12. 2_5_5【解析】由题意得一五二',所以=-2.13. 【解析】【分析】利用抛物线与X轴的交点个数可对进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与X轴的一个交点坐标为(3,0),则可对进行判断;由对称轴方程得到b=-2a,然后根据x=-l时函数值为O可得到3a+c=0,则可对进行判断;根据二次函数的性质对进行判断.【详解】Y抛物线与X轴有两个交点，=b2-4ac>0,A4ac<b2,结论正确；抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=l,与X轴的一个交点坐标为(1,0),，抛物线与X轴的另一交点坐标为(3,0),'方程ax2+bx+c=O的两个根是x=-1,X2=3,结论正确；抛物线y=a2+bx+c（a0）的对称轴为直线x=l,唯-2a=l,b=-2a.*.*当x=-1时，y=0,Aa-b+c=O,即3a+c=0,结论正确；Y抛物线与X轴的交点坐标为（7,0）、（3,0）,当y>0时，X的取值范围是1VxV3,结论错误；抛物线开口向下，对称轴为直线x=l,.当V0时，y随X增大而增大，结论正确.综上所述：正确的结论有.故答案为：.【点睛】二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0）,二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时（即ab>O）,对称轴在y轴左；当a与b异号时（即abV0）,对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0,C）；抛物线与X轴交点个数由决定：=b2-4ac>0时，抛物线与X轴有2个交点；=b2-4ac=0时，抛物线与X轴有1个交点；=b2-4acVO时，抛物线与X轴没有交点.14.加=±8;（2）m=2,纵坐标为-8的点的坐标是（±&,-8）.【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义求m的值即可；（2）根据二次函数的定义求得m的值，从而求得二次函数的解析式，把尸-8代入解析式，求得X的值，即可得纵坐标为-8的点的坐标.【详解】22（m2-2=1,（1）由y=（阳+2）产-Im为常数）j是X的一次函数得lm+20,解得z=±3,当zw=±°时J是X的一次函数.z2(m2-2=2,由y=-(阳+2)Xwr-Im为常数),y是X的二次函数,得卜+200,解得加=2M=-2(不符合题意的要舍去),当w=2时J是X的二次函数,当y=-8时,-8=-4f,解得产土、叵,故纵坐标为-8的点的坐标是(±6,8).【点睛】本题考查了一次函数的定义、二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义.15. (l)y=-2+6x,是，0VV6；(2)9000元【解析】试题分析：(1)矩形的一边长为xm,根据矩形的周长是12m,可得矩形的另一边长为(6-)m,根据矩形的面积公式即可得出y与X之间的函数表达式；(2)把x=3代入函数的解析式得出y的值即为广告牌的最大面积，再乘以1000即为此时的广告费.试题解析：解：(1)由题意得出：y=x(6-x)=-x2+6x,是二次函数，OVXV6；(2)当尢=3时,y=-32+3×6=9,IOoOX9=9000元，即此时的广告费应为9000元.点睛：此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式以及求二次函数值，正确得出二次函数解析式是解题关键.2716. (1)这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3；(2)Sbcp=8;(3)当ABMN是等腰三角形时，m的值为O,-A1,2.【解析】分析：(1)根据待定系数法，可得函数解析式；(2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；(3)根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案.详解：(1)将A(1,O),B(3,0)代入函数解析式，得(Q+b+3=O(9+3h+3=0a=lb=-4解得，这个二次函数的表达式是y=x2-4x+3;(2)当X=O时，y=3,即点C(0,3),设BC的表达式为y=kx+b,将点B(3,0)点C(0,3)代入函数解析式,得3k+b=0Ib=Q解这个方程组，得c=-lb=3直线BC的解析是为y=-x+3,过点P作PEy轴X9交直线BC于点E(t,-t+3),PE=-t+3-(r-4t+3)=-t2+3t,13327SaBCP=Sbpe+Scpe='(-t2+3t)x3=-'(t-2)+8,3327Nvo,当t/时，SABCP最大=W(3)M(m,-m+3),N(m,m2-4m+3)MN=m2-3m,BM=VZm-3|,当MN=BM时，n?-3m二行(m-3),解得m='2m，3m=-&（m-3）,解得m=-我当BN=MN时，ZNBM=ZBMN=45o,m2-4m÷3=0,解得m=l或m=3（舍）当BM=BN时，NBMN=NBNM=45。，-（m2-4m+3）=-m+3,解得m=2或m=3（舍），当ABMN是等腰三角形时，m的值为、2，1,2.点睛：本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏.