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1.1空间向量及其运算典型例题考点1：空间向量的有关概念1 .在平行六面体48C。-AIAGA中，与向量4。相等的向量共有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【分析】由图形及相等空间向量定义可得答案.【详解】由图，与向量Ao大小相等，方向相同的向量有AA,6£,8C共3个.2.下列关于空间向量的说法中正确的是（）A.方向相反的两个向量是相反向量B.空间中任意两个单位向量必相等C.若向量I祠西满足网>CD,则A8>COD.相等向量其方向必相同【答案】D【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可.【详解】相反向量指的是长度相等，方向相反的向量，故A错误;单位向量指的是模为1的向量，方向未定，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确；故选：D.3.（多选）下列说法错误的是（）A.空间的任意三个向量都不共面B.空间的任意两个向量都共面C.三个向量共面，即它们所在的直线共面D.若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面【答案】ACD【分析】A画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断;【详解】A如图所示:a he三个向量共面,故错误;B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确;C.如图所示:D.如图所示:故选：ACD考点2：空间向量的加减运算4. ：(4 + 26-33)-3(-27>-Ci)=()5 r, 35-9C. a+b+-c D. a-5bc55彳，CA. 。一4。B. a + 4b -2c22【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解即可.【详解】；（a + 2Z?-3c） 3（a 26c） = ；a + 7 + ；c .故选：C5 .设A、B、C、O为空间中的四个点，则"AO=4B+AC”是"4、B、。、。四点共圆”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】D【分析】根据共面的性质，结合空间向量的加法和减法的几何意义、充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】由 AD = AB+ACAD-AB = AC => BD= AC当"A、B、C、。四点在同条直线上时，A, 3, C。四点不共圆，若A、B、。、。四点共圆，当ABC。是矩形时，此时AC BD为圆的宜径,满足AO= 48+AC，而当ABCO不是矩形时，显然4C，8。不是圆的直径，此时4）wA8+AC故选:D考点3:空间向量的加减运算的几何表示6 .如图，在四面体048C中，0A = a OB = b，Od = >点M在OA上，且满足OM=3M4, N为BC的中点，则MN=（）【答案】D【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到.【详解】如图，连接ON,QN是BC的中点，ON = TB + gC,3OM =3MA - OM -OA ,41113.311. MN = ON-OM =-0B+-0C-0 = -a+-b+-c .224422故选：D7 .如图，在平行六面体ABC。A®CTy中，设A6 = , AD = b, AAf = c 则下列与向量Ae相等的表达【答案】DD. a + b-c【分析】利用空间向量的运算法则计算即可.【详解】对选项 A： -a + + c、= 8A+4O + AA' = 8D+O£>' = 8Z5'，错误：对选项 B： d-b + c = AB-AD+AA, = DB+BB, = DB, 错误；对选项 C： a-b-c = AB-AD-AAf = DB-DDt = DfB，错误；对选项 D： d+b-c = AB + AD-AA, = A,A + AB+BC = A,C 正确.故选：D考点4：空间向量的共线的判定8 .下列命题中正确的是（）A.空间任意两个向量共面B.向量d、b、3共面即它们所在直线共面C.若a"b, 6c，则d与C所在直线平行D.若则存在唯一的实数/，使d ="【答案】A【分析】根据共面向量，共线向量的定义判断.【详解】空间任意两个向量都能平移到同一平面内，因此它们共面，A正确：空间三个向量指能平移到同一平面内，而不是指表示它们的直线在同一平面内，B错；若4/，力/c，但当加=G时，与C不一定平行，因此它们所在直线也不一定平行，即使两个向量平行,它们所在的直线也可能是同一直线，不一定平行，C错；若&/，当 =O时，不存在唯一的实数2,使 = ", D错.故选：A.9 .（多选）如图，在三棱柱A8C- AqG中，P为空间一点，且满足BP = 4BC+4%, ,l,则（）A.当2 = 1时，点P在棱上B.当 =1时，点P在棱BC上C.当义+ = 1时，点P在线段5。上D.当4 = 4时，点P在线段BG上【答案】BCD【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解【详解】当2 = 1时，BP = BC+BB所以CP = 期，则CP/g，即P在棱CG上，故A错误；同理当 =1时，则B/8C,故P在棱BC上,故B正确；当4 + = 1 时，-y 所以 BP = NBC+（1九）BB-即 BlP = AB0,故点P在线段8。上，故C正确；当；I = 时，BP = BC+Bi）BC.,故点P在线段8G上，故D正确.故选：BCD.考点5:空间向量共线求参数或值10 .若空间非零向量印耳不共线，则使2七-与4 +2伏+ 1）共线的A的值为【答案】-05【分析】由题存在实数J使得Mq - %= % 弓+2（% +1） 4，解相应方程可得答案.【详解】由题意知，存在实数7使得2h -4 = e +2（2 + 1）42k = ,1即24八1） = 一1 = 4公+软+】=0，解得* = 一1故答案为：-;APA1C31111.在平行六面体ABC。AqG。中，点尸在AC上，AP = -AAy+-AB + -ADf贝IJ 4441312A. -B.-C.-D.3443【答案】C【分析】利用空间向量基本定理，结合空间向量加法的法则进行求解即可.311111【详解】因为AP = AA+ AP = 44 + 1AAA3 +WAo = WAA+ A8 + aAO,A,C =AyA +AB+BC =AiA +AB+AD,所以有AP =因此算=J, 4AiC 4故选：C考点6：空间向量的共线定理的推论与应用12.如图，在ABCo中，点、M,N分别是棱ARC。的中点，则加力+网TBQ+ 3Cj化简的结果是（）A. CAB. ACC. NMD. MN【答案】C【分析】由中点的向量公式与向量的减法运算即可得到答案.【详解】如图所示，连接BM,BN,因为M,N分别是棱ARCD的中点，所以*BD+ BA）一;（BD+ BC）= BM - BN = NM .故选：C.13 .向量。=（4，%生）与非零向量=（也也）平行的充要条件是（）a _ hal ay aia PrMb彳下孩C.存在实数上使 + kB = OD.存在实数上使Q = Ab【答案】D【分析】利用反例或共线向量定理可得正确的选项.【详解】如果 = (2,2,2)* = (-2,-2,-2),则由= (IJI),而= (TTT), a hR 二 M不成立，故A错误,如果 = (2,2,0),A = (IJO),贝必=»,故&。平行，但产治 二 £不成立, 因为？无意义，故B错误.对于C, a + k = O不成立，因为a +女是向量，而。是实数，故C错误.对于D,由向量共线定理可得: 向量 = (,生)与非零向昂力=伍也也)平行等价于存在实数A,便 =奶,故D成立，故选：D.考点7：判定空间向量的共面14 .下列条件能使点M与点A8,C 定共面的是()A. OM =OA-OB-OCB OM =OA + OB + OCC. OM =-OA-OB + -OC2D. OM = -OA-OB + 3OC【答案】D【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案.【详解】设OM=XoA+yO4 + zOC,若x+y + z = l,则点KAsC共面.对于 A, OM =OA-OB-OC 由于 1 一IT = TW1，故 A 错误；对于 B, OM=OA+ O8 + OC，由于 1 + 1 + 1=31,故 B 错误；对于 C, OM =-OA-OB + -OC ,由于-1一1+± = ±工1,故 C 错误； 222 对于 D, OM =-OA-OB + 3OC 由于T-l + 3 = l,得M,A,8,C共面，故 D 正确.故选：D.15.如图，在长方体ABCD-AFCTy中，向量AQ，AzX，而是 向量（填"共面"或"不共面"）.【答案】共面【分析】根据空间向量的运算法则化简得到AB, + BD = Ao'，即可得到AB AD BD是共面向量.【详解】由空间向量的运算法则，可得49 + 8Ty = AD,又由 8O = 3Z>',可得 AH' +BD = 4。'，所以A*, AD BD是共面向筑.故答案为：共面.考点8：空间向量的共面求参数16.已知点。在确定的平面内，O是平面A8C外任意一点，实数满足。=XoA +），08-0。，则W + /的最小值为（）4 O /sA. -B.±C. 1D. 25 5【答案】D【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可.【详解】因为OO = XoA+ .yOB-OC,点。在JlBC确定的平面内，所以x+y-l = ,即x = 2-y,所以2+y2=（2-y）2 + y2=2y2-4y + 4 = 2（y-l）2+22,所以当y = l时，f + y2的有最小值2.故选：D17 .已知向量，b，。是空间向量的一组基底，AB = 2a + b，AC = a + c AD = b + c，若A, B, C, D 四点共面.则实数/1的值为.【答案】-2【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解.【详解】由于A, B, C,。四点共面，所以存在唯一的实数对x,y,使得A。= XAB+ yAC,即b + Ac = x2a+b + y(a + c) = (2x + y)a + xb+yc ,2x + j = 0所以<l = x=> = -2 , = y故答案为：-2考点9：空间向量共面定理的推论与应用18 .已知。为空间任意一点，A8,C,尸四点共面，但任意三点不共线.如果5P = "QA + OA + OC,则机的值为()A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A【分析】由题设条件推得。P =m。4 + 2O8 + OC，再由四点共面可求得? =-2【详解】因为BP = OP-OB，所以由 BP = mOA + OB + OC得。尸- 08 = mOA + 08 + OC，即 OP = "QA + 20B + 0C，因为。为空间任意一点，AB,C,尸满足任意三点不共线，且四点共面，所以z+2 + l = l,故机=一2.故选：A.19 .下列命题中是真命题的为()A.若P与。,6共面，则存在实数元儿 使P = Xa+泌B.若存在实数尤几使向量P = Xa+ yb,则P与力共面C.若点P,M,43四点共面，则存在实数苍儿MP = xMA + yMBD.若存在实数匕儿使MP = XMA+y",则点P,M,48四点共面【答案】BD 【分析】根据平面向量基本定理以及空间向依基本定理，可知B、D项正确；：&、?£，则A结论不恒成 立；若M, AB三点共线，则C项结论不恒成立.【详解】对于A项，如果°溥共线，则私+皿只能表示与共线的向量.若P与/不共线，则不能表示，故A项错误；对于B项，根据平面向最基本定理知，若存在实数兑儿 使向量P = Xa+ yb,则尸与共面，故B项正确；对C项，如果M,43 ：.点共线，则不论为丁取何值，XMA+yM后只能表示与Mi共线的向后.若点P不在”,A,8所在的直线上，则无法表示，故C项错误；LlUUl ULUU ICU对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数x,y,使MP = XKA+yM5,则MP,M4,共面，所以点P,M,A,8四点共面，故D项正确.故选：BD.考点10：空间向量的数乘运算20 .己知八人我是三个不共面向量，己知向量a = j + kg = 5i-2j-A则4a _38=.【答案】-13/+2J + 7【分析】根据空间向量的线性运算求解.【详解】a = ；i-j + k、b = 5l 2jk,.4-36 = (4g-3x5)i+(-4+6) + (4 + 3)k=T3i+2/ + 7女,故答案为：-13z+2+721 .在平行六面体48CQ - A8Cf>中，点M满足2AM = AC若=4,AA ="AA = c，则下列向量中与4“相等的是()1 - Il11 nA. ab + cB. -a + -b + c2 2221 1 , 11 1C. a +b + cD. ab+c2 22 2【答案】C【分析】结合图形，由空间向量的线性运算可得.C1D【详解】/ / 7C aB由点M满足2AM = 4C,所以M为Ae中点，因为四边形AHCQ为平行四边形，所以M为BD中点,所以 6M =-BD = -(BA + BC) = -(-a+b), 222所以 AM = BIB + BM =c + -(-a+b) = -a + -b + c. 222故选：C考点11：空间向量的数乘运算的几何表示22.如图，在四面体PABC中，E是AC的中点，BF = 3FABA. L"L B.C. L+423224224【答案】B【分析】由空间向量的线性运算求解.【详解】FE = PE-PF = -(PA+ PC)-PB = -a-b + -2vf 4242故选：B'P,设 PA = a,PB = b,PC = C,贝 IJFE=()121 j 2+cD. ab+-c3343C23.如图，在三棱柱A5CA4G中，E、尸分别是8C、CG的中点，G为MBC的重心，则G尸=()/ JF-Vt/C y/ /G /BB.121-AB÷-AC÷-M121A. AB+-AC+-AA.3 32'2 11C.AB + -AC AA3 32【答案】A 【分析】根据向量的数乘及加、减运算求解即可.【详解】解：由题意可得：UULl ULU ULMlGF = GE +EF1 IUI 1 ULU=-AE+-BC32 u 2 LIJLr 1 UuLr =AB H AC 4 AA. 32,故选：A.考点12:空间向量数量积的概念辨析24.设4, ，d都是非零空间向量，则下列等式不一定正确的是()A. (+b) + 3 = d + (> + d)B. a+bjc = ac+bcC. (b)d = ,w)oD. (d+b) (d+e)=df+【答案】C【分析】本题考查空间向量加减法和数量积的运算律，根据运算律判断即可.11ULUULIr1ULlIUULr= -×-(AB+ AC) + -(BC + BB.)322Ian1 Hir1airurnLUr= -AB + -AC + -(AC-AB+BBi)6621 Iun 2 ULlr 1 Lixr=AB + -AC + -BB.3321【详解】由向量加法的结合律知A项正确；由向量数量积的运算律知B项、D项正确；C项若4, C不共线 且儿?不垂直，则（力”=同WCoSa力"，伍d）4=MMcos9,e）q,故C不一定正确.故选：C.25 .如图，各棱长都为2的四面体ABC。中CE = ED，AF =2 FD 则向量BEC7=（）【答案】A112【分析】由向量的运算可得8E = 5(BC+8。)，C尸= §8A 8C + 8O,由向代数代枳的定义即可得到？【详解】由题得BABC夹角，BD, BC夹角,BDBA夹角均为CE = ED,AF = 2FD,一 12 一. BE = -(BC+ BD),AF = -AD, 23:.CF = BF-BC = BA+ AF - BC2212= BA + -AD-BC = BA + -(BD-BA)-BC = -BA-BC + -BD,BE CF = (BC+BDyBA-BC+ BD=-BA- BC-BC2 - BC- BD+-BA- BD+-BD262663=×2×2×-×22 - - ×2×2× - + ×2×2× - + ×22= -62 262 62 33故选：A.考点13:求空间向量的数量积26 .如图，二面角A-EF-C的大小为45 ,四边形ABEE、8所都是边长为1的正方形，则B、D两点、间的距离是（）A. 2B. 3C. 3-2D. 3 + 2【答案】C【分析】利用二面角的定义可得出AE0 = 45 ,由空间向量的线性运算可得出OB=E4-EO+AB，利用空 间向量数量积的运算性质可求得|。可，即为所求.【详解】因为四边形AB/石、8石尸都是边长为1的正方形，则DELEF,又因为二面角A-EF-C的大小为45，即ZA即=45，则（E4,E£>>= 45 ,因为D8 = DE+E4+48 = E4-EO+AB,由图易知 4B_LE4，AB A. ED ,所以，IDE = EA-ED+ AB = >JEA + ED + AB2-2EA ED+2EA AB-2ED AB= l + l + l-2×l×l×cos45 +0-0=3->故选：C.27.如图，平行六面体48C。AqCQ 中，AD = BD = AAi=If ADJ_BD, NAAB = 45°, NAAo = 60、则线段8。的长为.【答案】1【分析】根据空间向量的数量积运算律求解即可.【详解】由题可得，AD=BD=, AD ± BDt 所以 48 = T = L且 ZDAB = 45 ,因为 BA=BA + AA1 + A A = - A8+A4, + AD,所以BD12 = (-fi+ AA1 + AD): =AB2 + AA,2 + AD2-2ABAAi -2AB AD+2AAi AD = A2 +A412 +D2-2AA41cos45 -2ABADcos45 +241ADcos60 = 2+1 + 1 - 2-2+1 = 1，所以,川二1,故答案为:L考点14：空间向量数量积的应用28 .在棱长为1的正方体A8C。-A8CQ中，M为棱CG上任意一点，贝IJAM8C=，【答案】1【分析】根据空间向量的线性运算及数量积的运算性质求解.【详解】如图，在正方体中，M为棱CG上任意一点，则CM=2Ce=ZA41 , O1,. A BC = (AC + Cf)AD = (A+AD + A41)AD = O+AD2+O=l.故答案为：1.29 .如图，在平行四边形ABC力中，AB BD = 0,2AB2 +Btf =4-若将其沿8。折成宜二面角A-BD-C, 则三棱锥A-38的外接球的体积为. f 4 ,4;T【答案】/ 【分析】根据ABBD = O可得A8_LBDs _LB。，又二面角A-BD-C为直二面角，则Co _L面CD±ADt取AC的中点O,则OA = O8=0C=OD= 3AC,故。为三棱锥ABCO的外接球的球心，计算出外接球半径，得到其体积.【详解】在平行四边形ABC。中，因为ABBO = 0,所以A8_L8RC0_L8。,二面角A-BD-C为直二面角，即面/WO_L面8C。，面 ABDc面 BCD=BD, CQU面 8C。，CD工BD,则 CDJ_面43。，因为 AOU面 AB。，WJ CD±ADf因为AABC ACQ均为直角三角形，取AC的中点。，则OA = O8=OC=OD=LaC,故。为三棱锥A 8CD的外接球的球心, 2因为AC2 = AB2 + BC2 = AB2 + BD2 + CD2 = IAB2 + BD2 =4, AC= 2,所以三棱锥A-BCD的外接球的半径R = ； AC = 1,41 4故 V = - ItR = .334故答案为：.