线性代数试卷一有答案.docx
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。1.设A为阶方阵，若V=0,则必有（）A.A=OB.T=OC.Ar=OD.=02.设矩阵A=2、3）,则矩阵A的伴随矩阵A*=（A.B.3-2-41C.D.3-4、-21>3.设A为5x6矩阵，若秩（八）=3,则齐次线性方程组Ar=O的基础解系中包含的解向量的个数是（）4.5.A.2B.C. 4D.已知矩阵A=A.1-20、-bB.10 -IJC.D.rO 0、1) 0,己设3阶方阵A = （%,%，%），其中（i = l,2,3）为A的列向量,且I A=2 , B = (a1 +3a2,3,a2),则6二(6.7.8.A. -2 B. 0C. 2设A为2阶可逆矩阵，且已知（2A）TA. 2B. 2设3阶矩阵A与8相似,A. D. 6rI3C.-213 4D.-且已知A的特征值为2, 2, 3.设A为n阶方阵，且A3=E,A. A = EB. 4不可逆C. 7则以下结论一定正确的是C. A可逆，且AT=A2132Y, 4>WJB-' I=D.12D.A可逆，且AT=A29,设3阶方阵4的特征值为1,2,则下列矩阵中为可逆矩阵的是（）A.EAB.EC.2EAD.2七（-1、10 .设A=,则二次型Fa,"2）二AX是（）11-21A.正定B负定C.半正定D.不定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）'2、11 .设A=（3J0）,8=-40,则A5=.35,420'12 .设矩阵A=370,则AT=.<0b13 .已知3阶方阵A的特征值为1,一3,9,则;A=.14 .二次型/(x1,x2,x3,x4)=x12+32+2x3x4正惯性指数为.18设方程组仅有非零解则数-19.设A满足3E+AA?=。，则AT=.20.设向量 二为单位向量,则数Z?=三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）。533321.计算行列式O=335335333335x1÷2+x4=022.求齐次线性方程组x1+2x2+43+4x4=0的一个基础解系.2xl+3x2÷5七+5%=023.求向量组a；=(1,-1,2,4),a；=(),3,1,2),a；=(3,0,7,14),a：=(1,-1,2,0)的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.<1 124.设 A=O -1< °0(12、1,B=O1,又AX=3,求矩阵X.UUf3-1）25.已知A=,求其特征值与特征向量17Hj26.用配方法化二次型/（司,工2，工3）=工；+5*+3x；+4w+6%与为标准形，并判别其正定性四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）。27 .设向量组%,%，4线性无关，证明：向量组4+2%，4-+2%线性相关.28 .设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明：若IAl=0,则A*=0.线性代数试卷一参考答案与评分标准一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）。DBBAA,DADDB二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.(2,3)12.'7-3-21013.-114.315.216.317.318.419.(A-E)20.0三、求解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）21.D1414141435333353333514353333533335（4分）=14111102000020()()()2112（8分）22.A=IllP12442355,10-2013-23（4分）33八OOOOJ所以，基础解系为。23.(a1a2%)（4分）（8分）向量组的秩为3,最大线性无关组是%,%，%，4=3四+%,110 12 0-10-1、001101 2、O 11 ;rIlO24.(AB)=0-11k0O1IooO3、0101-1(4分)OOIlOj03所以,（8分）X=A-iB=1-1J。25.特征矩阵为|4-4闵=31711-2=(2-4)(2-10),特征值为4=4,否=10(4分)当4=4,解方程04-4后)=0。由A-4E=r-17)10j基础解系，所以，攵&（K=O）是对应于4=4的全部特征向量。（-1-（7当4=10,解方程（A-IO石）x=0。由AIOE=U1JIoOj（1、基础解系，2=,所以，却玄伏2=0）是对应于4二10的全部特征向量。（8分）、一7j26 .f=(xf+4x1x2+6x1x3+4x；+12x2xi)+(x；-12x2x3+36x；)-42x；（4分）=(x1+2x2+3x3)2+(x2-6x3)2-42x；yl=x+2x2+3x3y2=x2-633»=W.=y-2%T5%即y=y2+6),3工3=丫3（8分）就把/化成标准形/=犬+$-42£二次形/是不定的。四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）27 .证明：设夕I=+2%,尾=。2-。3，43二囚+2%，则U0P（笈儿，）=©，%，%）012（2分）127Oj101而IAl=O12=0,所以矩阵A不可逆，故R（,?,3）<R（4,a2,aJ=3。（5分）2-10所以，向量组+2。3，。2-23，%+2。2线性相关（6分）28.证明：若IAl=0,则AA*=AE=0,假设A*0,那么伴随矩阵A*是可逆的，因此，在AA*=0的两边右乘A*的逆，可得A=Oo由n阶矩阵A的伴随矩阵A*的定义，知A*=0,故A*=0°与假设相假设矛盾。所以A*=0
