多面体外接球半径内切球半径的常见几种求法.docx
多面体外接球、内切球半径常见的5种求法如果-个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.公式法例1一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为三，底面周长为3,那么这个球的体积为.8解 设正六棱柱的底面边长为X,高为力，那么有46 工=3,Z，然1X =,2A = &1.正六棱柱的底面圆的半径r=-,球心到底面的距离d=4.外接球的半径22R=Jr2+/=1.V坤=.小结此题是运用公式N=产+/求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.多面体几何性质法例2各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,那么这个球的外表积是A.16%B.20;TC.24乃D.32乃解设正四棱柱的底面边长为X,外接球的半径为R，那么有4/=16,解得X=2.2?=22+22+42=26,.R=、后.这个球的外表积是4乃K=24乃.选C.小结此题是运用"正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径"这一性质来求解的.补形法例3假设三棱锥的三个侧棱两两垂直，且侧棱长均为道,那么其外接球的外表积是.解据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，.把这个三棱锥可以补成一个棱长为G的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.设其外接球的半径为R，那么有(ZR)?=(3)2+(6了+(6y=9.二r2=故其外接球的外表积S=4乃N=9万.小结一般地，假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a、b、c,那么就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,那么有2R=J(?+、2+/.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥S-ABCf)的底面边长和各侧棱长都为近,S、A、3、C、0都在同一球面上，那么此球的体积为.解设正四棱锥的底面中心为Oi,外接球的球心为0，如图3所示.由球的截面的性质，可得Oa_l平面ABCr>.又Sol1平面ABCD,.，.球心0必在SQ所在的直线上./.ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在SC中，由SA=SC=EAC=2,得SA?+SCe=AC?.SC是以AC为斜边的RtA.4-,.=1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V球=卫.23小结根据题意，我们可以选择最正确角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.此题提供的这种思路是探求正枝锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴裁面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法值得我们学习.确定球心位置法例5在矩形ABCO中，AB=4,8C=3,沿AC将矩形A88折成一个直二面角8-AC一。，那么四面体A88的外接球的体积为距离相解设矩形对角线的交点为0，那么由矩形对角线互相平分，可知04=OB=OC=O£>.，.点0到四面体的四个顶点A、B、C、。的等，即点0为四面体的外接球的球心，如图2所示.外接球的半径R=OA=9.故V球=±不R3=.选C.236出现多个垂直关系时建立空间直角坐标系，利用向量知识求解【例题】：在三棱铢A-BCD中，AOJ.面ABC, NBAC=I20”，AB=Ao=AC=2,求该所以半径为R=JI2+（包+/=HV33【结论】：空间两点间距离公式：PQ=y(i-X2)2+(y1-y2)2+(Z1-2)2四面体是正四面体外接球与内切球的圆心为正四面体高上的一个点，根据勾股定理知，假设正四面体的边长为0时，它的外接球半径为也0。4内切球的半径正方体的内切球：设正方体的棱长为"，求(1)内切球半径：(2)外接球半径：(3)与棱相切的球半径。(1)截面图为正方形EFG"的内切圆，得R=g；(2)与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆O为正方形EPG"的外接圆，易得R=Ja。2正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面上,如图5,以对角面AAi作截面图得，圆。为矩形MGC的外接圆，易得R =A。=了*造正问3底点面点构解合接下中底顶宜三角形，巧 棱柱与球的组 题正棱柱的外 其球心定在上 面中心连线的 处，由球心、 中心及底面一 构成的直角三例题：底面边长为4正三棱柱ABC-A与的六个顶点在球Q上，又知球Q与此正三棱柱的5个面都相切，求球0与球O?的体积之比与外表积之比。分析：先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系。解：如图6,由题意得两球心0、Q是重合的,过正三棱柱的一条侧棱AA和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为4,那么&=g。,正三棱柱的高为h=2R=刀a,由用AARO中，得图1.S:£=R；:Rj=5:1,V1:V2=55:1二棱锥的内切、外接球问题4正四面体的外接球和内切球的半径是多少？分析：运用正四面体的二心合一性质，作出截面图，通过点、线、面关系解之。解：如图1所示，设点0是内切球的球心，正四面体棱长为"由图形的对称性知，点0也是外接球的球心.设内切球半径为r，外接球半径为R.在RBEO中，8。2=be2+EO2,即r2=+产，得R=Ja得我=3厂【点评】由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即内切球的半径为"（为正四面体的4高），且外接球的半径型，从而可以通过截面图中RfAoBE建立棱长与半径4之间的关系多面体的体积为V,外表积为S,那么内切球的半径为：3V/S高为h,各面面积均为S的棱锥内任意一点到各外表距离之和为h
