第14讲：线性空间的概念,维数、基与坐标.ppt
第6章,线性空间与线性变换,线性空间是线性代数最基本的概念之一,它,线性空间是为了解决实际问题而引入的,它,一、线性空间的定义,是向量空间概念的推广,是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际,问题看作线性空间,进而通过研究线性空间来解,决实际问题,1 线性空间的概念,个元素 与之对应,称为 与 的和,记作,记作,若对于任一数 与任一元素,总有唯一,的一个元素 与之对应,称为数 与 的积,定义 1 设 是一个非空集合,为一数域，,如果对于任意两个元素,总有唯一的一,如果上述两种运算满足以下八条运算规律,那么,就称为数域 上的线性空间(或向量空,间),中的元素称为向量(或元).,2.向量空间中的向量不一定是有序数组,3.一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封,说明,1.能满足以上八条规律的加法及数乘运算,称为线性运算,闭,或者运算不满足以上八条规律中的任一条,则此,集合就不能构成线性空间.,(1)一个集合,如果定义的加法和数乘运算,例 实数域上的全体 矩阵,对矩阵,记作,线性空间的判定方法,是通常的实数间的加乘运算,则只需检验对运算,的封闭性,的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间,种运算满足线性运算规律且,向量空间.,对于通常的多项式加法和数乘多项式的乘法构成,证 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两,所以,间.这是因为,对,例 对数函数的集合,对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性,空间,因为,则,在区间 上全体实连续函数,对函数的,一般地,有以下结论,加法与数和函数的数量乘法,构成实数域上的,线性空间,事实上,任意两个实连续函数的和仍然为,实连续函数,数与实连续函数的乘积仍为实连,续函数,例 5 正实数的全体,记作,在其中定义加法,验证 对上述加法与乘数运算构成线性空间,(2)一个集合,如果定义的加法和数乘运算,证明 先证运算的封闭性,不是通常的实数间的加乘运算,则必需检验是否,满足八条线性运算规律,及数乘运算为,下面一一验证八条线性运算规律：,所以对定义的加法与数乘运算封闭,所以 对所定义的运算构成线性空间,不构成线性空间,对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法,例 个有序实数组成的数组的全体,线性空间.,定理1 线性空间有唯一一个零元,任意元,由于,所以,二、线性空间的性质,有唯一一个负元,则有,向量 的负元素记为,所以零元是唯一的.,所以负元也是唯一的.,根据零元和负元的唯一性,可得：,又,如果,则 或.,假设,那么,又,同理可得：若 则有,三、线性空间的子空间,定义2设 是一个线性空间,是 的一个,空间,非空子集,如果 对于 中所定义的加法和乘数,线性空间中的零元构成一子空间,称为零空间.,V 自身是V 的子空间.我们称这两个子空间为V 的,平凡子空间.,运算也构成一个线性空间,则称 U 是 V 的一个子,充分必要条件是：,定理2 线性空间V 的非空子集U 构成子空间的,证略,由定义易知,假如U 是V 的子空间,则U 的零元,于是有,也是V 的零元,U 中元 的负元也是V 中 元的负元,对矩阵加法及数乘运算构成 M2 的一个子空间,证明：,则有,（为实数）,一、线性空间的基与维数,已知：在 中，线性无关的向量组最多由,个向量组成，而任意 个向量都是线性相关的,间 中，最多能有多少线性无关的向量？,问题：线性空间的一个重要特征在线性空,2 维数、基与坐标,满足：,定义2.1 在线性空间 中,如果存在 个元素,我们知道，一个向量空间可由它的一个基所,生成同样的，一个线性空间可由它的一个基向,量组生成,这就显示出线性空间 的构造,并且这组数是唯一的因为如果还有,则有,即对于一个已选定的基来说,系数,由 唯一确定.,一的元素,之间存在着一种一一对应的关系，因此，可以用,这组有序数来表示元素,二、元素在给定基下的坐标,多项式,可表示为,从而有,应的坐标是唯一的,所对的坐标一般不同,但是一个元素在一个基下对,例 2 所有二阶实矩阵组成的集合，对于,线性空间对于 中的矩阵,矩阵的加法和数量乘法，构成实数域 上的一个,而矩阵A在这组基下的坐标是：,三、线性空间的同构,和,之间就有一,个一一对应的关系，且这个对应关系具有下述,性质：,也就是说，这个对应关系保持线性组合的对应.因,此,我们可以说Vn与Rn有相同的结构，我们称Vn与,Rn同构.,系保持线性组合的对应，那末就称线性空间与,定义 3 设 是两个线性空间，如果它,们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关,同构.,同维数的线性空间必同构,同构的线性空间之间具有反身性、对称,由定义可知：,数域 上任意两个 维线性空间都同构;,性与传递性;,同构的意义,同构的概念除元素一一对应外,主要是保持线,性运算的对应关系.因此,中的抽象的线性运算,就可转化为 中的线性运算,并且 中凡是只涉及,线性运算的性质就都适用于.(但 中超出线性,运算的性质,在 中就不一定具备,例如 中的内,积概念在 中就不一定有现实意义).,
