第13次行列式及其性质.ppt

第三节 行列式及其性质,1.3.1 行列式的定义1.3.2 行列式的性质1.3.3 行列式的计算,1.3.1 行列式的定义,二阶行列式与三阶行列式,二阶行列式,定义,a,b,c,d,主对角线元素之积减去副对角线元素之积,根据定义算一算,主对角线元素之积减去副对角线元素之积,二阶行列式在解二元一次方程组的应用,三 阶行列式的定义,对角线法则,根据定义算一算,练一练,计算,n阶行列式定义,设方阵,则称行列式,为A所对应的行列式，或A的行列式,记作,称n为行列式D的阶数。,余子式：元素 的余子式记为,元素5的余子式,元素0的余子式,1.3.2 行列式的性质,代数余子式,元素5的代数余子式,=？,3 阶行列式的余子式定义,三阶行列式的值等于它的第一行元素乘以各自的代数余子式再相加,n 阶行列式的定义,首行展开,行列式的展开,定理,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。,根据定义算一算,行列式转置后，其值不变。,此性质表明行与列是对等的，行具有的性质，列也具有,互换行列式的两行（列），行列式变号。,推论：如果行列式D有两行（列）相同，则D=0,行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数 k，等于 用数 k 乘此行列式。,推论2：如果行列式D有一行（列）的元素全为零，则D=0。,推论3：如果行列式D有两行（列）的元素成比例，则D=0。,推论1:行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以 提到行列式符号的外面。,推论4：设A为n阶方阵，则,性质,设D为任一阶的行列式，则按行（列）展开得D,串行（列）展开得零。,如果行列式的某一行（列）的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成相应的两个行列式之和。,把行列式的某一行（列）的元素都乘以同一个数 后，加到另一行（列）的对应元素上去，行列式的 值不变。,消元变换,行的运算 row,列的运算 column,交换i,j两行,数乘第 i 行,数乘第 i行加到第 j 行,交换i,j两列,数乘第 i 列,数乘第 i 列加到第 j 列,变号,K 倍,等值,变号,K 倍,等值,注意与矩阵的初等变换的区别。,性质,推广,1.3.3 行列式的计算,例 计算行列式 D=解 按定义，有D=5A11+1A21+0A31+0A41=5(-1)1+1M11+1(-1)2+1M21=5=2=2,证明,主对角线行列式,下三角形行列式,利用首行展开法可以证明,下三角形行列式之值等于主对角线元素之积,练一练,计算,例,利用消法变换化行列式为三角形,练一练,计算,证明,行列式的计算方法,按定义化为三角阵归纳法递推法加边法,