第4章微分方程建模ppt课件.ppt
基础部 王 静,第4章 微分方程建模,艾滋病现在无疑是现代历史上最严重的瘟疫从1981年发现以来的20多年间，它已经吞噬了近3000万人的生命.据统计，2004年有490万人被艾滋病毒感染，同时有300多万艾滋患者死亡.在我国，2005年的疫情评估结果显示：艾滋病毒感染者和艾滋病人约65万，且疫情发展呈上升趋势，并由高危人群向一般人群扩散，存在进一步蔓延的危险.建立数学模型研究艾滋病的发展趋势，尽量不涉及太多的医学知识.,4.1 问题驱动：艾滋病的发展,背景:,人体的免疫系统中起关键作用的就是淋巴细胞，它分为T细胞和B细胞.T细胞由骨髓产生，在胸腺内成熟，能直接攻击入侵者T细胞又分CD4T和CD8T两种类型.CD4T细胞可以对微生物的入侵立即发出警报，并指挥CD8T细胞等做出反应，投入战斗B细胞对入侵者产生抗体，抗体与入侵者进行肉搏并将其消灭 在AIDS感染初期，进入人体的HIV首先侵入CD4T细胞内，或侵入巨噬细胞等其他细胞，将病毒带到局部淋巴结，引起各种急性症状，于是CD8T细胞、抗体等做出反应，从而控制疾病的发展，使血液中的HIV持续在一个较稳定的水平，疾病进入潜伏期接着HIV对巨噬细胞、CD4T细胞等的感染，免疫系统逐步被破坏，被感染的CD4T细胞由裂解而大量产生HIV当正常的CD4T细胞急剧减少、HIV迅速增加时，病情发作，随时出现的各种病原都可能引起感染，病人最后因各种机能衰竭而死亡,图4-1 AIDS进程示意图,4.2 常微分方程基础,4.2.1 基本概念,1 常微分方程 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程，称为微分方程.在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现.未知函数是一元函数的微分方程，叫做常微分方程.未知函数是多元函数的微分方程，叫做偏微分方程.,4.2.1 基本概念,微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶数.,1 常微分方程,4.2.1 基本概念,2 线性和非线性微分方程,若微分方程中关于未知变量及其导数都是线性的，那么该微分方程就称为线性微分方程，否则就称为非线性微分方程.,如形式为,的方程就是 阶线性微分方程.,4.2.1 基本概念,3 微分方程的解、通解和特解,如果一个函数代入微分方程后,方程的两端恒等,则称此函数为该微分方程的一个解.如,和 都是一阶微分方程,的解.,4.2.1 基本概念,3 微分方程的解、通解和特解,如果一个微分方程的解中含有任意常数,并且所含独立任意常数的个数等于该微分方程的阶数时,则这个解叫做该微分方程的通解.如果从一个微分方程的通解中根据已知条件将任意常数确定下来得到的解,则这个解叫做微分方程的特解.用来确定通解中任意常数而得到特解的已知条件叫做初始条件.,求微分方程的解的过程，叫做解微分方程.,二阶微分方程,的通解为,满足初始条件 的特解为,4.2.2 一阶微分方程的求解方法,1 可分离变量的微分方程,形式：,分离变量法：（1）分离变量（2）两边积分（3）求积分（为任意常数）其中 和 分别是 和 的原函数.,注意：补充令 的解.,4.2.2 一阶微分方程的求解方法,2 齐次微分方程,形式：,求解齐次微分方程时，只要作变换,，于是有,从而原方程可化为,是可分离变量的微分方程.按分离变量法，求出其通解，,再将变量,还原为,，所得函数就是齐次方程的通解.,4.2.2 一阶微分方程的求解方法,2 齐次微分方程,例3 求微分方程,的通解.,解:原方程可化为,它显然是齐次方程.令,，则,，,即,两边积分得,或,用,代换上式中的,将其代入原方程得,4.2.2 一阶微分方程的求解方法,3 一阶线性微分方程,形如,(1),的微分方程叫做一阶线性微分方程,其中,与,都是,的函数.如果,时,则方程(85)变形为,(2),称为一阶线性齐次微分方程.而,时,方程(1)称为一阶线性非齐次微分方程.,一阶线性齐次微分方程通解可由分离变量法求得为,(3),一阶线性非齐次微分方程通解可由常数变易法求得.具体方法为：,把齐次方程(2)的通解中的,换成,的函数,是待定函数,即令,(4),于是,(5),将(4)及(5)代入非齐次方程（1)中可得,即,将得到的 代入（4），即得一阶线性非齐次微分方程（1）的通解为,(6),例4 求微分方程,的通解.,解:原方程是一阶线性非齐次微分方程，用通解公式（6）可得,4.3 用MATLAB解微分方程,4.3.1 微分方程（组）的解析解,命令：dsolve(eqn1,eqn2,，var)功能：求微分方程或微分方程组的通解.命令：dsolve(eqn1,eqn2,，cond1,cond2,var)功能：求微分方程或微分方程组的特解.其中eqni表示第i个常微分方程，var表示微分方程（组）中的自变量，默认时自变量为t.在matlab中，约定用字母D表示求微分，D2，D3，表示求高阶微分.任何D后跟着的字母为因变量。例如应表示为：Du=1+u2.,例1 求,的通解。,解 dsolve(D2y+2*x=2*y,x)ans=exp(2(1/2)*x)*C2+exp(-2(1/2)*x)*C1+x,例2 求,的通解及满足初始条件 的特解.,解 dsolve(Dy=a*y,x)ans=C1*exp(a*x)%通解 dsolve(Dy=a*y,y(0)=b,x)ans=b*exp(a*x)%特解,例3 求微分方程组,的通解。,解 x,y=dsolve(Dx=y,Dy=-x);x=simple(x)%将x化简x=-C1*cos(t)+C2*sin(t)y=simple(y)y=C1*sin(t)+C2*cos(t),4.3.2 微分方程的数值求解方法,微分方程数值解法的基本思想是：对求解区间进行剖分，把连续问题的求解变为求解在一系列离散网格节点上的值.将微分方程离散成在节点上的近似公式或近似方程，把求精确解析解的问题化为利用近似公式求近似数值解的问题结合定解条件求出近似解.向前欧拉公式、向后欧拉公式、梯形公式、改进的欧拉方法、龙格库塔方法,例4 用向前欧拉法和改进的欧拉法解初值问题，取步长h=0.1，并与精确值比较。方程的解析解为,4.3.3 龙格库塔法的MATLAB实现,对于微分方程（组）的初值问题,龙格库塔方法的Matlab命令为ode23,ode45.程序为：t,x=solver(f,ts,x0,options)solver取以上两个函数之一，不同的函数代表不同的算法，其中ode23运用二三阶龙格库塔算法，ode45运用四五阶龙格库塔算法，一般常用ode45（精度较高）.f是待解方程写成的m函数文件名function dx=f(t,x)dx=f1;f2;fn;ts=t0 tf，t0、tf为自变量的初值和终值；x0为函数的初值；options用于设定误差限（可以缺省，缺省时设定为相对误差，绝对误差），程序为：options=odeset(reltol,rt,abstol,at)这里rt，at分别为设定的相对误差和绝对误差.t,x为输出矩阵，分别表示自变量t和因变量x的取值.,4.3.3 龙格库塔法的MATLAB实现,例5 解微分方程组,解 建立m文件test.m：function dy=test(t,y)dy=zeros(3,1);dy(1)=y(2)*y(3);dy(2)=-y(1)*y(3);dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);取t0=0，tf=12，输入命令：T,Y=ode45(test,0 12,0 1 1);plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+),4.4 微分方程模型,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律,控制人口过快增长,指数增长模型马尔萨斯提出(1798),常用的计算公式,x(t)时刻t的人口,基本假设:人口(相对)增长率 r 是常数,今年人口 x0,年增长率 r,k年后人口,随着时间增加，人口按指数规律无限增长,4.4.1 Malthus模型,指数增长模型的应用及局限性,与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合,适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代,可用于短期人口增长预测,不符合19世纪后多数地区人口增长规律,不能预测较长期的人口增长过程,19世纪后人口数据,人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：,资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用,且阻滞作用随人口数量增加而变大,假设,r固有增长率(x很小时),xm人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）,4.4.1 Logistic模型,x(t)S形曲线,x增加先快后慢,阻滞增长模型(Logistic模型),参数估计,用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数 r 或 r,xm,利用统计数据用最小二乘法作拟合,例：美国人口数据（单位百万）,专家估计,阻滞增长模型(Logistic模型),模型检验,用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较,实际为281.4(百万),模型应用预报美国2010年的人口,加入2000年人口数据后重新估计模型参数,Logistic 模型描述人口、树木、鱼群等，在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量),阻滞增长模型(Logistic模型),3.1亿,4.5 微分方程稳定性理论简介,对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 平衡状态是否稳定。,不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。,4.5.1 一阶微分方程的平衡点与稳定性,F(x)=0的根x0 微分方程的平衡点,准则：,4.5.2 捕鱼问题,再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）,再生资源应适度开发在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。,在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。,如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。,背景,假设,无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律,单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比,建模,捕捞情况下渔场鱼量满足,不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件,r固有增长率,N最大鱼量,h(x)=Ex,E捕捞强度,x(t)渔场鱼量,产量模型,产量模型,稳定性判断,x0 稳定,可得到稳定产量,x1 稳定,渔场干枯,E捕捞强度,r固有增长率,产量模型,图解法,P的横坐标 x0平衡点,P的纵坐标 h产量,产量最大,控制渔场鱼量为最大鱼量的一半,效益模型,假设,鱼销售价格p,单位捕捞强度费用c,单位时间利润,在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.,求E使R(E)最大,渔场鱼量,收入 T=ph(x)=pEx,支出 S=cE,
