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2.2 n阶行列式的定义,第二章 行列式,问题：如何定义n阶行列式？,、二阶与三阶行列式的构造,特点：,（1）二阶行列式是一个含有,项的代数和；,（2）,每一项都是两个元素的乘积，这两个元素既位于不同的行，又位于不同的列，并且展开式恰好是由所有这些可能的乘积组成；,（3）,任意项中每个元素都带有两个下标，第一个下标表示元素所在行的位置，第二个下标表示该元素所在列的位置。当把,每一项乘积的元素按行指标排成自然顺序后，每一项乘积的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定，奇排列取负号，偶排列取正号。,对三阶行列式也有相同的特点,特点：（1）共有3！项的代数和；,（2）,每一项是三个元素的乘积，这三个元素既位于不同的行又位于不同的列，展开式恰由所有这些可能的乘积组成；,（3）,当把每一项乘积的元素按行下标排成自然顺序后，每一项的符号由这一项元素的列指标所成的排列的奇偶性决定。,二、n阶行列式的定义,1、,为一个n阶行列式，它等于所有,取自不同行不同列的n个元素乘积,的代,数和，这里,是,的一个排列。,每一,项,中把行下标按自然顺序排列后，其符号,由列下标排列,的奇偶性决定。当,偶排列时取正号，当,是,是奇排列时取负号，,即,根据定义可知：,n阶行列式共由n!项组成；要计算n阶行列式，首先作出所有可能的位于不同行不同列元素构成的乘积；把构成这些乘积的元素的行下标排成自然顺,序，其符号由列下标所成排列的奇偶性决定；n阶行列式的定义是二、三阶行列式的推广。,2、例子,例1 计算行列式,例2 计算行列式,例3 用行列式定义计算,例4 设,问：,是不是四阶行列式,的项？,如果是，应取何符号？,是，取符号：-1,是，取符号：-1,例5 设,问：（1）dhsy与ptaz是否为,的项？应取何符号？,（2）,含有t的项有多少？,（6项）,注：,在一个行列式中，通常所写的元素本身不一定有下标，即使有下标，其下标也不一定与这个元素本身所在的行与列的位置完全一致。因此要确定一项的符号，必须按照各元素在行列式中实际所在的行与列的序数计算。,在一般情况下，把n阶行列式中第i行与第j列交叉位置上的元素记为,在行列式,中，从左上角到右下角这条对角线称为主对角线,定理1:,在n阶行列式,中，项,所带的符,号是,证明：1、交换项,(1)中任两个元素,与,的位置，不改变,把（1）中,与,对换后得,(2),由于对换改变排列的奇偶性,故,与,与,的奇偶性互化，,2、逐次交换（1）中的元素的次序，可以把（1）化为,的奇偶性。,（4）,而（4）的行下标与列下标所成排列和,的奇偶性与（3）相同，于是,因此项,所带的符号是,注：,本定理说明在确定行列式中某项应取的符号时，可以同时考虑该项行排列与列排列的反序数之和，而不一定要把行下标排成自然顺序。,例6 试确定四阶行列式中项,的符号，写出四阶,行列式中包含,且取正号的所有项。,解 所带符号是:,取正号的项包括,，,几种特殊的行列式：,对角形行列式,上三角行列式,下三角行列式,