金融数学课件第四章资本资产定价模型CAPM.ppt
金融数学,第四章 资本资产定价模型CAPM,均值方差模型提出了的证券选择问题，解决了最优地持有有效证券组合，即在同等收益水平之下风险最小的证券组合夏普等人在该模型基础上发展了经济含义任何证券组合收益率与某个共同因素的关系资产定价模型（CAPM）,第一节 传统标准CAPM的定价公式推导,一般所说的CAPM就是传统的标准的在一定假设条件下成立不“传统的标准的”CAPM，是对假设条件的一些放宽本章主要介绍“传统的”,CAPM的假设条件及其说明,根据“版本”不同，假设条件略有差异，但基本含义相同本教材列举了9条假设1投资者仅依据投资收益率的均值和方差作决策，投资者永不满足2投资者对预期回报率、标准差和证券之间的协方差具有相同的理解。3单期（single period）投资,4资产都无限可分，可以购买一个股份的任意比例的部分。市销的（Marketed），即，可以随意买入卖出5对卖空没有约束6存在无风险资产，可以以无风险利率贷出或借入任意数量的该种资产。利率对所有投资者相同7忽略税收和交易成本，信息是免费并可立即得到8没有通货膨胀和利率的变化9单个投资者不能通过其买卖行为影响资产价格，即完全竞争,假设条件的放宽问题,这些假设条件是标准的CAPM的假设有一些明显与实际情况相违背本章后面将讨论这些假设的放宽问题用效用函数的方式等方式讨论更一般形式的最优证券组合选择的问题这些定价公式的“模样”基本相同,市场有效性假设EMH,假设2是以有效性假设EMH为前提EMH是指价格已经反映了所有可能得到的信息。基于某一信息集的交易是否赚取较高的收益，若不能，则说明价格反映了该信息集的所有信息3种形式：弱、半强、强有效弱有效（weak form efficiency）：信息集仅包含价格或收益的历史记录信息；现在的市场价格反映了有关该证券的所有历史记录中的信息半强有效（semi-strong form efficiency）：信息集包括所有公开的，投资者共知的所有信息；现在的市场价格不仅反映了该证券过去的信息，而且还反映了有关该证券的所有公布于众的信息,强有效（strong form efficiency）：信息集包括任何市场参与者所掌握的一切信息；现在的市场不仅反映了有关该证券过去的信息和公布于众的信息，而且还反映任何交易者掌握的私人信息强有效表明，即使是内线人（insider）也无法垄断信息，研究者的成果与基金管理者对市场的评估均已反映到市场价格中一些学者用统计检验方法证明，对于半强有效，在一些规范成熟的证券市场中成立证券市场中许多异常现象（anormal phenomenon）说明，市场不符合强有效在实际证券市场中应用CAPM，还有很大障碍,资本市场线CML（capital market line）,投资者的最优证券组合是风险资产组合e和无风险资产P0的线性组合所有的投资者面对同一个有效前沿进行最优组合选择，他们的差异体现在无差异曲线上如果有效前沿是“直的”射线，最优组合有“简单的”叙述用点P0和e将最优组合线性表示用无风险资产和风险资产组合e的线性组合将最优证券组合表示；线性组合中的系数就是投资的权重投资者之间，无差异曲线的不同将导致选择的最优组合中，无风险P与有风险组合e的比例发生变化愿意“冒险”的投资者，风险资产组合e的比例大,分离定理separation theorem,如果把投资者持有的风险资产“挑出来”比较相对于总的资产，单个风险证券的权重不相同仅仅相对于风险资产来说，每种单个的风险资产在总的风险资产中占的比例，对于每个投资者来说是相同的，而且与组合e点“同结构”投资者投资于风险资产的“相对权重”与投资者个人的“风险喜好”程度无关两者是分离的分离定理,市场组合Market portfolio切点e,投资者通过持有e，间接地体现持有风险资产，而不直接考虑单独风险资产持有情况定义：证券组合P被称为市场组合，当且仅当该证券组合P投资于每个风险资产j的权重正好等于WmjWmj表示风险资产j的市值与风险资产的总值的比例 用m表示市场组合切点e就是市场组合（书上有证明过程）,两个结论,引理4.1：如果投资者的效用函数u（）是严格递增和凹函数的时候，投资者一定不会持有期望收益率rf的证券组合定理4.1：如果风险厌恶的投资者都具有严格递增的效用函数，那么当所有风险资产都是严格正的供给时，在CAPM假设下，市场证券组合的风险溢价，一定是严格正的从而，rfA/C一定成立,CML的方程式,CML表示有效证券组合p的收益与风险之间关系的函数每个投资者的最优组合选择均取自该直线表达式中用到了市场组合的收益风险假定市场组合的收益风险可以计算出来从图上可以简单推导出该方程,资本资产定价模型CAPM,第三章结论：在市场均衡状态下，对任意证券或组合q，可以用（3.35）定价用市场组合m取代（3.35）中的前沿证券P得到CAPMq的系数,证券市场线 SMLsecurities market line,将CAPM看成一条直线，就是SML位于SML与CML对比：都是组合p的收益与风险之间关系的函数SML对任意的证券组合成立CML仅对前沿证券组合成立“横坐标”不同：标准差，系数,SML的含义,处在SML上的投资组合点，处于均衡状态。如图中的m、Q点和O点高于或低于直线SML的点，表示投资组合不是处于均衡状态。如图中的 O点和点市场组合m的系数mm1，表示其与整个市场的波动相同，即，其预期收益率等于市场平均预期收益率EmSML对证券组合价格有制约作用市场处于均衡状态时，SML可以决定单个证券或组合的预期收益率，也可以决定其价格,高于SML的点（图中的O点）表示价格偏低的证券。（可以买入，需求增加）其市价低于均衡状况下应有的价格预期收益率相对于其系统风险而言，必高于市场的平均预期收益率价格偏低，对该证券的需求就会“逐渐”增加，将使其价格上升随着价格的上升，预期收益率将下降，直到下降到均衡状态为止O点下降到其SML所对应的O点,低于SML的点（图中的Q点）表示价格偏高的证券。（应该卖出，供给增加）其市价高于均衡状况下应有的价格预期收益率相对于其系统风险而言，必低于于市场的平均预期收益率价格偏高，对该证券的供给就会“逐渐”增加，将使其价格下降随着价格的下降，预期收益率将上升，直到上升到均衡状态为止Q点上升到其SML所对应的Q点,B,A,EO,m,im,EQ,Em,O,O,Q,Q,mm=1,系数含义,系数表示证券或组合的系统风险根据系数将证券或组合分为两种SML上的B点在m点的左边，其系数值小于1。表明证券B的变动幅度小于整个市场的变动，称为防卫性证券或证券组合（defensive securities）SML上的A点在m点的右边，其系数值大于1。表明A的变动幅度大于整个市场的变动，称为攻击性证券或证券组合（Aggressive securities）,CAPM的事后形式“特征线”,类似于计量经济中回归的表达式,风险的分解,由事后形式，忽略联动性，近似认为误差项不相关风险由系统和非系统两部分组成（等式右边两项）公式中X表示投资权重,非系统风险趋向于0,非系统风险是方差表达式中第二项引理4.2：如果每个证券的非系统风险有界，即则，在高度分散化的情况下，组合p的非系统风险趋向于0，即组合p高度分散化是一个极限的过程，应该从“密度”的观点看待。详细内容第五章因为能够被避免，所以称为可分散风险,组合风险的近似公式im作为证券i对组合p的风险做出的“贡献”的度量证券的系统风险体现在证券的系数上im作为对证券i的系统风险的度量把系数看成对证券i的总风险的一个度量风险。风险具有线性可加性 是市场真正给予补偿或估值的风险,单个证券对组合风险的贡献,用风险和风险价格解释CAPM,在CAPM的表达式中，风险溢价（补偿）风险（横坐标）风险价格（直线斜率）单位风险溢价,度量风险和风险价格的另外两种方式,CAPM公式变形,第二节 CAPM应用和系数估计,运用CAPM公式就需要了解3个数据1.系数2.市场风险溢价3.无风险利率运用CAPM的难点就在于如何计算或估计这3个数据,系数的估计,没有理由认为证券或证券组合的系数恒定不变真正的系数的取值是未来的系数只有当认为未来的情况不会有大的差别时，才将现在的系数用于未来先看过去和现在如何，再看将来会发生什么变化对系数的预测还有很多，这里是几种方法最基本1）用历史数据估计出的值作为系数的预测值；2）用历史的值调整后得到的值作为系数预测值3）用基础系数作为系数的预测值,事后系数的估计,所谓事后系数，是从市场的实际表现，来估计过去到现在一段时期以来，实际表现的值是多大，因而它属于一个实证而非预测的范畴由于用的是历史的数据，所以也称为历史的方法假定i，i为常数。用资产i的收益率和市场价格指数收益（市场组合收益率替代物）的历史数据，建立线性回归模型，得到i和i的估计值*i，*i：riti+irmt+it，t1，2，T具体估计过程分选取样本和估计两个步骤分段计算系数,布鲁姆（Blume）历史调整法,布鲁姆1971年提出将样本期0T分为两段，0T1和T1T估计第1段和第2段的值i1和i2用横截面数据12，N2，对11，21，N 1；作最小二乘回归N在样本期都存在的股票个数将其作为证券i在下一个时期的系数的预测值经验表明，比直接用i2预测误差小查看Blume(1971),基础方法,上市公司的基础因素（例如公司的规模、流动性等）影响股票风险。基础=fundamental选择市场变量或者反映公司基本特征的基础变量。如股利支付率（股利每股盈利）、资本增长率（资本增长量总资本）、流动性（流动资产流动负债）、公司规模（总资产）和盈利变动性（市盈率的标准差）用基于历史的值对基础变量的横截面数据（公司i的基础变量X1，Xk的平均值）进行回归估计X1，Xk，进而估计值假定所有公司的对基础变量的反应程度一样,对未来系数的预测,用历史的系数作为预测，承认未来的风险等于过去的风险美林公司公布的系数是修正的系数，以5年中的旧数据为抽样单位国外一些机构定期公市股票系数可采用某一机构公布的系数，也可对机构公布的系数平均预测未来系数的最简单办法是用最近一段时间的事后系数估计值作为未来某个时间段的系数的预测值用移动取样计算事后估计比较合理,如果认为时间上相邻的系数之间存在线性关系，可以首先明了这种关系，然后利用这种关系预测未来的系数1.计算每个分段时期的系数2.利用回归分析等工具明确系数之间的线性关系3.分析各个时间段计算出的系数之间的相关性，建立线性关系,风险价格和无风险收益率估计,短期国债收益率作为无风险收益率的估计股票是长期证券，计算股权资本成本，用长期国债收益率真正的市场组合M是理想化的，是不可观测的用股票价格指数作为M的替代物如果组合中含有债券，用股票指数和债券指数构造一个综合的指标作为M的替代物选择股票指数有“人为性”市场风险溢价是变化的。如果要用CAPM估算股权收益成本，应该采用本期最新的预测值第四节有关市场组合的替代物是否“胜任”的问题,用CAPM确定资产价格是否合理,资产j在投资期末的预期价格是随机变量资产j在投资期末的预期收益率资产j的均衡收益率是期初的市场价格为（已知的）市场组合的收益率资产j的期初均衡价格问题：投资期初的（现在的）市场价格是否合理可否利用该资产的定价偏高或偏低获得收益,用系数判断定价合理,定价适当定价偏低定价偏高,实际中寻找市价与均衡价格有差异的资产,选定过去某时刻到现在（现期）作为样本期用 作线性回归，得到检验常数项是否与0有显著差异如果有差异，定价不合理,发现不合理定价后证券组合调整,发现了定价不当的资产j后，可以构造新的证券组合PN证券组合PN在坐标系中的点位于市场组合m点的左边 PN与无风险证券的再组合的前沿为超有效证券前沿（supper efficient portfolio frontier）PN的公式复杂Page xx,第三节 关于市场组合的替代物的两个结论,市场组合的收益率是不可观测的只能观测替代物（Market Proxy）替代物而在什么情况下可以代表真正的市场组合m两个有用的结论,定理4.2：如果市场组合m的替代物 具有单位值，即，并且，单个证券j的收益率与替代物之间的线性回归的余项（误差项）与真正市场组合m不相关，那么，证券j真正的系数是可以估计的，,定理4.3：如果选N个证券为样本，并且知道它们真正的贝塔值m（1m，2m，Nm）T，那么可以由这N个样本证券构造出一个市场组合的替代物，使得这N个样本证券相对于替代物的系数与相对于真正市场组合m的系数一致 证明：构造组合的权重如下,第四节 两组合分离性,两组合分离性的=two funds separation 放宽CAPM模型中假设1的条件将“马可维茨拥护者”变为“风险厌恶型投资者”“风险厌恶的投资者”如何选择最优证券组合所有证券组合前沿上的组合可以用任意两个不相同的前沿证券组合的组合表示“空间的维数2”,两组合分离性定义,定义：称资产集具有两组合分离性，如果存在两个资产组合1和2，使得，对于任意证券组合可以找到实数（与有关），使得下面的不等式对所有凹函数u成立,“二维空间”,因为两个组合1和2的组合可以“优于”任何一个证券组合只需要考虑1和2就够了尽管不能确定具体是哪两个组合但是，数量是确定的2类似于线性空间的“维数”两组合分离可以理解为是“二维空间”,两组合分离的性质,CAPM中的假设1放宽后，在什么情况下，风险厌恶的投资者会偏好于前沿证券组合定理4.4：满足两组合分离中定义中的1和2一定是前沿证券组合定理4.5：如果资产集具有两组合分离性，那么，任何两个不相同的前沿证券都可作为定义中的两分离组合1和2。特别地，可以任意取某个前沿证券p（mvp）和它的零协方差证券组合zc(p)。,两组合分离的等价条件,定理4.6：设p是某个给定的前沿证券组合，下面3种说法等价1）存在两组合分离性；2）对任意的组合q和所有的凹函数u3）对任意的组合q，,定理4.7：p是某个前沿证券组合，则，如果存在两组合分离现象，那么，对所有的凹函数u和任意组合q，=0是下面优化问题的解定理的证明过程分为两个部分,单组合分离,设想：两组合分离性中的两个证券组合“相距很近”，其极限结果就是单组合分离性单组合分离性可以理解成两组合分离性的退化形式定义：对于资产集，如果存在证券组合，使得，对任意证券组合和所有凹函数u成立，称资产集具有单组合分离性,单组合分离性是指：对于每个风险厌恶的投资者，存在单独一个证券组合，它优于任何其它可行的证券组合定理4.8：单组合分离性中的证券组合必定是最小方差的证券组合（mvp）。定理4.9：单组合分离的充要条件是,两组合分离性资产集的存在性,如果资产集如果具有两组合分离性，那么，任何风险厌恶的投资者都会在证券组合前沿上寻找其最佳投资策略，此时，CAPM的假设1可以去掉，只要求投资者是风险厌恶型。实际市场中，存在具有两组合分离性的资产集某些证券收益的分布都会产生两组合分离的现象正态分布具有两组合分离性一些稳定的Paretian分布和具有相对更极端值的肥尾分布的非稳定Paretian分布，也具有两组合分离性,正态分布情况下,随机变量（资产集）服从正态分布第一，正态分布的线性组合仍然是正态分布第二，两个正态分布随机变量，不相关等价于独立结论4.1：如果资产集服从多元正态分布，则，具有两组合分离性结论4.2：如果资产集合不仅服从多元正态分布，而且，具有相等的期望值，那么，具有单组合分离性结论4.3：假设投资者的效用函数都是递增和严格凹的（风险厌恶），则，市场组合是有效前沿证券,第五节 不存在无风险资产情况下的CAPM,对标准的CAPM中假设6的放宽假设条件6具体内容是：存在无风险资产，单个投资者能以无风险利率借入或贷出任意数量的该种资产，这个利率对所有投资者都相同现在假设，没有无风险资产存在针对这种情况，布莱克（Black）1972年得到了一个一般的CAPM，称之布莱克CAPM,用zc(m)代替无风险资产根据第3章第5节的定价公式，任意风险资产i，可以按照下面的公式进行定价本来公式中双曲线上任何一个非左端点的点这里指定m是市场组合，就是布莱克的CAPM布莱克CAPM中的zc(m)是未观察的变量比标准的CAPM复杂得多zc(m)相对于m的系数zc(m)m=0布莱克 CAPM又被称为0贝塔 CAMPZero-beta CAPM,第六节 对卖空和无风险证券条件的放宽,标准CAPM模型的假设5：对卖空没有约束，允许无限制地卖空实际中，对卖空是有限制的。我国的上海和深圳证券交易所都不允许卖空。在允许卖空情况下，所有投资者都持有的风险证券的“结构”与市场组合中的风险证券“结构”相同。考虑连接无风险证券和市场组合m的直线的斜率km。,限制卖空与否 不改变CAPM,可卖空的规划问题P1最大斜率不卖空的规划问题P2,市场组合M是P1的解，M的权重非负两个问题的解相同,对无风险资产借人贷出假定的修正,标准的CAPM假定6：存在无风险资产，单个投资者可以以一个无风险利率贷出（即投资）或借入任意数量的该种资产。这个利率对所有投资者都相同分为三种情况第一，不能以无风险利率借入，也不能贷出；第二，能贷出，但不能借入；第三，能贷能借，但是借入和贷出的利率不相等,情形1：不能借也不能贷,相当于不存在无风险资产第四节的Black0CAPM模型注：罗斯（ROSS）证明：在既不允许以无风险利率借贷，又不允许风险资产卖空时，不能导出简单的均衡关系,情形2：能以无风险利率贷出但不能以无风险利率借入,考虑这种情况下的证券前沿组合因可以贷入，切点e点左边，前沿组合是直线因不能借入，切点e右边是原来的曲线有效证券前沿直线段pe曲线ec投资者持有的有效组合中所包含的风险资产组合要么是e，要么是e右边的位于ec上的组合e是点p(0，rf)引出射线与双曲线的切点结论4.3：市场组合m必位于e右侧的双曲线上,情形2的定价公式,m点趋向于e点。上式“退化成”Black的0贝塔CAPM有效边界peemc投资者在pe上的选择是，一部分资金投资于组合e，而另一部分资金投资于无风险资产。切点组合e可视为市场组合m和零协方差组合zc(m)的某个凸组合。投资者在em上的选择是对市场组合m和组合zc(m)的凸组合；投资者在me上的选择是卖空zc(m)，并用所的资金加上原先的资金投资于市场组合m。在这种情况下，将涉及到“三组合分离性”,情形3：无风险资产的借出利率和贷入利率不相等的,对于CAPM，在讨论能以不等的无风险利率借入贷出的时候，应该假设，借入利率高于贷出利率，即，rBrL表明的实际情况是，借入资金的一方所要付出的，出了贷出利率之外，还有进行借入活动的成本,由PB（0，rB）和PL（0，rL）引出两条射线射线的做法是与双曲线相切，切点是B和L有效边界线段PLL、曲线LB射线BC市场组合m位于LB之间的曲线上它是有效的风险前沿证券组合，因而，其零协方差证券组合zc(m)满足,情形3下的定价公式为,考虑B、L和m无限地接近的极限情况“退化成”前面介绍过Black的CAPM布伦南（MBrennan）讨论了不仅借入、贷出时的无风险利率不同，而且这些利率还因人而异，得到了形同0-的CAPM的均衡方程,第四章 附录,随机变量的标准化,一个重要定理,CAPM假设条件放宽的其他两种情况 CCAPM模型推导和解释,
