运动定律与守恒定律.ppt
第2章 运动定律与守恒定律（四）角动量守恒定律刚体的定轴转动,任课教师：周伟昌 讲授班级：工学院2013级机械/电子专业,本节基本内容,一、角动量定理（质点、质点系、刚体）,二、角动量守恒定律（质点、质点系、刚体）,三、转动惯量四、转动定律 五、定轴转动的动能定理,重点与难点,角动量守恒定律,转动定律与动能定理,2.6.1.质点的角动量(对O点),大小,质点的角动量与质点的动量及位矢(取决于固定点的选择)有关。,特例：质点作圆周运动,2.6 角动量和角动量守恒定律,说明,O,S,惯性参照系,质点运动,质点相对于空间某定点（轴）运动,角动量,角动量守恒定律,动量,（线动量）,动量守恒定律,（动量矩）,方向 右手螺旋定则-四指指向r，弯曲于p,：质点对x轴的角动量,某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：,涉及的位矢分量为x,y,涉及的动量的分量为Px,Py,t 时刻 如图,定义,为力对定点o 的力矩,2.6.2、力对定点的力矩,大小：,中学就熟知的：力矩等于力乘力臂,方向：垂直 组成的平面,量纲：,(1)力对点的力矩,O.,(2)力对定轴力矩的矢量形式,力矩的方向由右螺旋法则确定,讨论,：质点对 x轴的力矩,某一方向的分量怎么求呢？由定义出发：,分量中，涉及的位矢分量为x,y,涉及的力的分量为Fx,Fy,例,已知棒长 L,质量 M，在摩擦系数为 的桌面转动(如图),解,根据力矩,dx,例如,在定轴转动中，力矩可用代数值进行计算,求 摩擦力对y轴的力矩,(质点角动量定理的积分形式),(质点角动量定理的微分形式),质点所受合力矩的冲量矩等于质点的角动量的增量,2.6.3.质点的角动量定理,说明,(1)冲量矩是质点角动量变化的原因,(2)质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果,动量定理,2.6.4.质点角动量守恒定律,质点角动量守恒定律,(2)通常对有心力：,例如 由角动量守恒定律可导出行星运动的开普勒第二定律,(1)角动量守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于宏观体系，也适用于微观体系，且在高速低速范围均适用,讨论,行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积,过O点,M=0,角动量守恒,力,力矩,动量,角动量,或动量矩,力的冲量,力矩的冲量,或冲量矩,形式上相同。从动量定理到角动量定理，只需将相应的量变换一下,例：物体质量为3kg，t=0时位于,，,解:(1),(2)解法一：根据角动量的公式,如一恒力,作用在物体上,求3秒后，(1)物体动量的变化；(2)相对轴角动量的变化,求解,t=0s,t=3s,解法二：根据角动量定理,求解,基本方法：质点系运动定理 加 刚体特性,刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理,平动：动量定理,可以解决刚体的一般运动（平动加转动）,2.7 刚体的定轴转动,2.7.刚体的定轴转动,二.刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自身平行,刚体平动,平动的特点,(1)刚体中各质点的运动情况相同,(2)刚体的平动可归结为质点运动,一.刚体-指在任何情况下都没有形变的物体,2.7.1 刚体绕定轴转动的描述,z,M,I,II,P,角坐标,角速度,角加速度,一.描述 刚体绕定轴转动的角量,刚体的平动和绕定轴转动是刚体的两种最简单最基本运动,刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动_刚体转动,转轴固定不动,定轴转动,二.定轴转动刚体上各点的速度和加速度,当,与质点的匀加速直线运动公式相象,定轴,P,刚体,参考方向,z,O,r,基点O,瞬时轴,任意点都绕同一轴作圆周运动,且，都相同,速度与角速度的矢量关系式,加速度与角加速度的矢量关系式,定轴,P,刚体,参考方向,z,O,r,基点O,瞬时轴,三、质点系的角动量,质点系中第i个质点受到外力矩为：,受到其他质点内力力矩之和为：,根据质点的角动量定理有：,对于内力力矩,内力是成对出现的，作用力和反作用力的力矩之和为：,质点系内力力矩的矢量和为零。,对质点系的各质点求和，得到：,内力矩之和=0,外力矩,质点系角动量之和,微分形式,积分形式,质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量,质点系的内力矩不能改变质点系的角动量,说明,质点系的角动量定理,质点对轴的角动量为：,所以整个刚体绕此轴的角动量大小为：,角动量的方向由右手螺旋确定。,角动量的大小为：,四.刚体对定轴的角动量,刚体定轴转动的角动量定理,由转动定律,（角动量定理积分形式）,定轴转动刚体所受合外力矩的冲量矩等于其角动量的增量,刚体定轴转动的角动量守恒定律,五.转动惯量的计算,定义式,质量不连续分布,质量连续分布,计算转动惯量的三个要素:(1)总质量(2)质量分布(3)转轴的位置,(1)J 与刚体的总质量有关,例如两根等长的细木棒和细铁棒绕端点轴转动惯量,L,z,O,x,dx,M,单个质点,(2)J 与质量分布有关,例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量,例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量,dl,O,m,R,O,m,r,dr,R,O,L,x,dx,M,z,L,O,x,dx,M,四.平行轴定理及垂直轴定理,z,L,C,M,z,z,(3)J 与转轴的位置有关,1.平行轴定理,:刚体绕任意轴的转动惯量,:刚体绕通过质心的轴,:两轴间垂直距离,例 均匀细棒的转动惯量,2.(薄板)垂直轴定理,M,L,例如求对圆盘的一条直径的转动惯量,已知,x,y轴在薄板内；z 轴垂直薄板。,哪种握法转动惯量大？,刚体的转动定律,作用在刚体上所有的外力对定轴 z 轴的力矩的代数和,刚体对 z 轴的转动惯量,(1)M 正比于，力矩越大，刚体的 越大,(2)力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同,六.刚体对定轴的转动定律,实验证明,当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动,当存在 M 时，与 M 成正比，而与J 成反比,(3)与牛顿定律比较：,讨论,在国际单位中 k=1,O,理论推证,取一质量元,切线方向,对固定轴的力矩,对所有质元,合内力矩=0,合外力矩 M,刚体的转动惯量 J,学习方法,类比法,(1)飞轮的角加速度,(2)如以重量P=98 N的物体挂在绳端，试计算飞轮的角加速度,解(1),(2),两者区别,七.转动定律的应用举例,例,求,一轻绳绕在半径 r=20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N 的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kgm2，飞轮与转轴间的摩擦不计，(见图),一根长为 l，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动，初始时它在水平位置,求 它由此下摆 角时的,O,l,m,C,x,解,取一质元,重力对整个棒的合力矩等于重力全部 集中于质心所产生的力矩,dm,例,圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止,解,例,求 到圆盘静止所需时间,取一质元,由转动定律,摩擦力矩,例 一个刚体系统，如图所示，,已知，转动惯量,，现有一水平力作用于距轴为 l 处,求 轴对棒的作用力（也称轴反力）。,解,设轴对棒的作用力为 N,由质心运动定理,打击中心,质心运动定理与转动定律联用,质点系,由转动定律,2.7.3 定轴转动的动能定理,一.转动动能,z,O,设系统包括有 N 个质量元,其动能为,各质量元速度不同，但角速度相同,刚体的总动能,P,绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半,结论,取,二.力矩的功,O,功的定义,力矩作功的微分形式,对一有限过程,若 M=C,(积分形式）,力的累积过程力矩的空间累积效应,.P,三.转动动能定理,力矩功的效果,对于一有限过程,绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的动能定理,(2)力矩的功就是力的功。,(3)内力矩作功之和为零。,讨论,(1)合力矩的功,刚体的机械能,刚体重力势能,刚体的机械能,质心的势能,刚体的机械能守恒,对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立,例 一根长为 l，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置,解,由动能定理,求 它由此下摆 角时的,此题也可用机械能守恒定律方便求解,一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行，如图所示。若要使杆以匀角速度转动,O,r,昆虫落到杆上的过程为完全非弹性碰撞,对于昆虫和杆构成的系统，合外力矩为零，动量矩守恒,例,解,求 昆虫沿杆爬行的速度。,使杆以匀角速度转动,代入得,转动定律,其中,四.进动,高速自转的陀螺在陀螺重力对支点O 的力矩作用下发生进动,陀螺的动量矩近似为,动量矩定理,当,时,则,只改变方向，不改变大小(进动),进动角速度,而且,所以,以上只是近似讨论，只适用高速自转，即,动量矩定理,
