计算物理随机游走.ppt

1,2-6 随机游走,1906年Perrson提出，随机游走是一种基于运用0,1区间的均匀分布随机数序列来进行的计算。,2,一 Brown运动,1827年植物学家Brown观察到水中的花粉等颗粒可以不停的作无规则运动。,由于Brown 颗粒的质量远较液体的分子大，我们将颗粒看成是一个巨分子，它不停地受到周围环境中液体分子的碰撞，这种碰撞的频率为每秒1019次，因此我们观察到的Brown 颗粒的运动是大量碰撞的涨落的结果，它是一种完全无规则的随机运动。,3,在描述Brown 运动时，我们将影响系统在相空间中轨迹的随机力应用于决定性运动方程，也就是把液体分子的自由度凝缩为仅用随机力代表。,1907 年由Langevin提出的Brown 运动方程：,Fx为涨落力,4,对颗粒总数进行平均：,涨落力平局值为零,由于指数项的幂系数非常大，/m107秒-1，当时间t=10-6秒时指数项可以忽略。,将起始点放在原点，c2=0,D为扩散系数。,5,二 醉汉行走问题,x,O,Person 在1905 年发表于Nature的论文中提出的：“一个人从点出发，沿直线走了l 码，然后他转了一个角度后由沿第二条直线走了l 码，他重复了n 次这样的过程。我想求出n次过程后此人位于离开起始点r到r+dr 距离内的概率”,6,x,醉汉的步长为1,向右行走的一步的几率为p=0.5,O,向左走一步的几率为q=1-p=0.5,向右走了nR步，向左走了nL,总共走了n=nR+nL步,7,8,三 扩散的物理,扩散是由于粒子浓度梯度的存在形成粒子往低浓度区域迁移的趋势，单位时间内通过某一方向垂直截面的粒子数即为粒子流密度：,由粒子数守恒的Liouvill连续性方程：,p(x,t)dx为粒子在t时刻存在于x-x+dx之间的概率：,9,任意函数的平均值可以表示为：,x，再积分。,右边分布积分再代入边界条件：,=0,10,由于在t=0时，粒子在原点处，从而粒子位置的平均值是不随时间变化的。,x2，再积分。,该结果与Brown 运动方程完全一致，说明Brown 运动或RW 模型的随机行走就是描述了扩散的物理过程。,11,pro=0.5do i=1,nwalk x=0.0d0 do j=1,nstep call randomnum()if(rand.lt.pro)then x=x+1.0 else x=x-1.0 end if write(10,(I15,F15.6)j,x sumx(j)=sumx(j)+x sumx2(j)=sumx2(j)+x*x end doend dodo i=1,nstep write(11,(I15,2F15.6)$i,sumx(i)/dble(nwalk),sumx2(i)/dble(nwalk)end do,12,13,若泊松方程及其边界条件为,四 蒙特卡罗方法求解泊松方程,为求解区域D的边界，s为边界上的点。,其中，q0是在区域D的正则内点0上的函数q(x,y)的值。,正方形格点划分 等步长h,14,其中，1/4可以解释为概率。即有：,随机游走的判据：(0)选定一个0,1区间的均匀分布的随机数，(1)若满足条件1/4，则选定下一个游走到达点为第1点；(2)若满足条件1/4 1/2，选游走到的下一个点为2点；(3)若满足条件1/2 3/4，选定游走到下一个点为3点；(4)在其他的情况下，我们则选游走到第4点。,15,从m点上又按判据选择周围四个点中的n点时，m点函数的估计值为:,如果我们按上面的判据选择了0点周围四个点中之一m点，则0点函数的估计值为：,此时0点函数的估计值也可以写为：,16,若按照以上随机游走的步骤，有：,当第J步到达边界，边界上的函数值记为,我们就可以得到0点上的函数0的一个估计值：,上标(1)表示第一次从0点出发游走时经历J步到达边界S点时对应函数0的一个估计值。,17,其中，,如此反复从0点开始进行N次上述的随机游走，我们得到一个函数的估计值序列：,则0点的函数0的期望值为,0估计值序列的方差为：,以上随机游走的做法，是个人为的概率过程，是一个具有吸收壁的随机游走。,18,上述类型的随机游走或链(chain)具有如下特征：,马尔可夫(Markov)过程：它在游走中任一阶段的行为都不被先前游走的历史所限制，即区域内的点可以被多次访问，这种随机游走过程叫作马尔可夫(Markov)过程。又因为游走最终会终止在边界上，故而该类随机游走又被称为马尔可夫链。,自规避随机游走：在随机游走的过程中，任何一个的游走概率都要考虑前面游走的历史，因而游走有可能碰到边界前就被强行终止掉。,马尔可夫链正是这样生成相继各个状态的，使得后一个状态是由前一个状态和确定的分布所决定。由此可知相继的各状态之间的确存在着关联。所以，马尔可夫链是分子动力学中有运动方程生成的轨道在概率方面的对应物。,19,在随机游走的蒙特卡洛方法中，有一种最常用方法称为Metropolis方法。它是前面介绍过的重要抽样法的一个特殊情况。采用此方法可以产生任意分布的随机数，包括无法归一化的分布密度函数。,五 Metropolis方法,基本思想：通过某种方式的“随机游走”来实现。只是该随机游走过程按照一定规则来进行，那么在进行大量的游走，并达到平衡后，所产生点的分布就满足所要求的分布。,以一维Metropolis方法为例，其游走规则是选择一个从x点游走到x点的“过渡概率”，使得它在游走中所走过的点x0,x1,x2,的分布收敛到系统达到平衡是的分布f(x)。要达到这样分布的重要抽样，就需要对过渡概率w(x,x)的选择加上适当的限制。,20,可以证明：只要游走所选的“过渡几率”满足如下的细致平衡条件:,就可以达到平衡时的分布为f(x)的目的。,Metropolis方法采用一个简单的选择过渡几率的方法，即,实际上满足细致平衡条件只是一个充分条件，并不是一个必要条件。该条件并不能唯一地确定过渡几率w(xx)。所以，过渡几率w(xx)的选择具有很大的自由度。选取不同的过渡几率就是不同的游走方法。,21,操作步骤：(1)首先选取一个试探位置，假定该点位置为xtry=xn+n，其中n为在间隔-,内均匀分布的随机数。(2)计算r=f(xtry)/f(xn)的数值。(3)如果不等式r1满足，那就接受这一步游走，并取xn+1=xtry。然后返回(1)开始对游走到xn+2点的试探。(4)如果rr,就拒绝游走到这一点,即仍留在点xn的位置不变。(7)返回步骤(1),重新开始对游走到点的具体位置的又一次试探。,采用这样的游走过程时，只有在产生了大量的点x0,x1,x2,的分布后，才能得到收敛到满足分布f(x)的点集。,22,(1)首先选取一个试探位置，假定该点位置为xtry=xn+n，其中n为在间隔-,内均匀分布的随机数。步长选取原则：在游走的过程中，有1/3到1/2的试探步子被接受。,(2)进行这样的游走，从哪一点出发可以比较快的达到平衡？初态选取原则：初始位置应当是在游走范围内所要求的概率分布密度f(x)最大的区域。,两个问题,23,do i=1,nsamp200 call randomnum()deltax=delta*(0.5d0-rand)x=x0+deltax if(x.lt.0.0d0.or.x.gt.lenr)goto 200 racc=exp(-x)/exp(-x0)call randomnum()if(racc.ge.1.0d0.or.rand.le.racc)then x0=x ith=int(x/rstep)+1 nth(ith)=nth(ith)+1 ncount=ncount+1 else goto 200 end if end do do i=1,nlen x=(i-1)*rstep write(13,(3F15.6)x,exp(-x)*rstep,nth(i)/dble(ncount)end do,