计算机的运算方法04 .ppt

,系统总线,存储器,运算器,控制器,接口与通信,输入/输出设备,林楠办公室：211办公电话：0371-63888959电子邮件：,计算机组成原理,第六章 计算机的运算方法,第六章 计算机的运算方法,3、定点乘法运算3.1、原码一位乘法3.2、补码一位乘法（重点：布斯乘法）3.3、补码两位乘法3.4、阵列乘法器,方法：充当计算机！严格按照运算法则去做，不加思考，态度认真，保证结果正确。,4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法,原码一位除法基本上是从手算演变过来，符号位单独处理。两个原码表示的数相除运算规则：商的符号位：两数的符号相异或 商的数值部分：两数的绝对值相除。运算方法与普通的十进制小数除法相类似，设 n 位被乘数X 和 乘数Y 用定点小数表示（定点整数同样）被除数：X原=Xf.Xn-1 X1 X0除数：Y原=Yf.Yn-1 Y1 Y0商 Q 原=(Xf Yf)+(0.Xn-1 X1 X0)/(0.Yn-1 Y1 Y0)于是原码与原码相除就变成如何进行两个正数相除的问题了。两种除法：恢复余数法 不恢复余数法（加减交替法）,4.1、原码一位除法,两个数相除，上商时，人会心算，一看就知道够不够减。够减商1，不够减商0。但机器不会，必须先作减法。若余数为正，才知道够减；若余数为负，才知道不够减。不够减时，必须恢复原来的余数。顾名思义恢复余数法。,4.1、原码一位除法,1）恢复余数法,被除数 X=0.1011 除数Y=0.1101 求 X/Y。商精确到小数点后四位。手算方法计算步骤如下：,4.1、原码一位除法,0.1101 0.1101 0.1011-0.1101 1.1110+0.1101 0.1011 0.10110-0.01101 0.01001 0.010010-0.001101 0.000101 0.0001010-0.0001101 1.1111101+0.0001101 0.0001010 0.00010100-0.00001101 0.00000111,-Y 得负数，不够减，商0,X低位补0-2-1Y 得正数，够减，商1 X低位补0,-2-2Y 得正数，够减，商1 X低位补0,-2-3Y 得负数，不够减，商0+2-3Y，恢复余数,-2-4Y 得正数，够减，商1,+Y，恢复余数,X低位补0,4.1、原码一位除法,1）恢复余数法,1、符号单独处理，Q f=(Xf Yf)，取绝对值相除；2、作减法，若不溢出，运算开始；3、-Y，若余数 R 为正（够减），商 1，左移一位；-Y，若余数 R 为负（不够减），商 0，恢复余数，左移一位；4、重复 n 步；5、若最后一步余数为负（不够减），应恢复余数（+Y补）。右移 除数Y，可以通过 左移 余数 来替代，左移出界的 余数 的高位都是无用的零，对运算不会产生任何影响。,如果，余数一共被左移了n次，最后需要校正。最终的余数再右移n次。,寄存器A存放 被除数 X=0.1011，后来可存放余数，累次参加运算。寄存器B存放 除数 Y=0.1101 寄存器C存放 商 Q=X/Y 另外设置计数器CR控制循环次数。X原-Y原 运算可以用 X补+-Y补取代；Y补=0.1101-Y补=1.0011,4.1、原码一位除法,分析：参加运算的数X,Y 都是正数，正数的原码与补码表示相同。,被除数X（余数）商 操作 0.1011 0 0 0 0 0+1.0011-Y（+-Y补）1.1110 0 0 0 0 0 负数：不够减，商0+0.1101+Y 恢复余数，（+Y补）0.1011 0 0 0 0 0 余数和商同时左移一位 1.0110 0 0 0 0 0+1.0011-Y（+-Y补）0.1001 0 0 0 0 1 正数：够减，商1 1.0010 0 0 0 1 0 余数和商同时左移一位+1.0011-Y（+-Y补）0.0101 0 0 0 1 1 正数：够减，商1 0.1010 0 0 1 1 0 余数和商同时左移一位+1.0011-Y（+-Y补）1.1101 0 0 1 1 0 负数：不够减，商0+0.1101+Y 恢复余数，（+Y补）0.1010 0 0 1 1 0 余数和商同时左移一位 1.0100 0 1 1 0 0+1.0011-Y（+-Y补）0.0111 0 1 1 0 1 正数：够减，商1,余数再右移四位得正确结果:0.0000 0111。,2）不恢复余数法（加减交替法）加减交替法是对恢复余数除法的一种修正。当余数为负时，不恢复，继续求下一位商，但用加上除数(+Y)的办法来取代(-Y)操作，其他操作不变。加减交替法的规则如下：余数为正，商1，左移一位，减除数（-Y）；余数为负，商0，左移一位，加除数（+Y）。此方法不用恢复余数，所以又叫不恢复余数法。但若最后一次上商为0，则仍需恢复余数（+Y补）。,4.1、原码一位除法,被除数（余数）商 操作 0.1011 0 0 0 0 0+1.0011-Y（+-Y补）1.1110 0 0 0 0 0 负数：商0 1.1100 0 0 0 0 0 余数和商同时左移一位+0.1101+Y 0.1001 0 0 0 0 1 正数：商1 1.0010 0 0 0 1 0 余数和商同时左移一位+1.0011-Y（+-Y补）0.0101 0 0 0 1 1 正数：商1 0.1010 0 0 1 1 0 余数和商同时左移一位+1.0011-Y（+-Y补）1.1101 0 0 1 1 0 负数：商0 1.1010 0 1 1 0 0 余数和商同时左移一位+0.1101+Y 0.0111 0 1 1 0 1 正数：商1,4.1、原码一位除法,余数再右移四位得正确结果:0.0000 0111。,CPA,2.3、补码定点加法器,+X,-Y,设开关电路负数不送回,思考问题：恢复余数法在电路上实现其实更简单！,4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法,4.2、补码一位除法,补码加减交替法,法则如下：(Ri补为余数，数值部分共n位),1)比较 2)上商 3)求新余数,1)比较 2)上商 3)求新余数,由上式化简,方法：列表格,4）商的符号 两种常见的做法：方法一：第一步比较XY同号做X补Y补；异号做X补+Y补；方法二：一开始就将被除数X当作初始余数R0，R0与Y同号商1，异号商0，得的假商最后求反进行校正。5）商的校正 对于方法一，商符正确，商末位恒置1。对于方法二，商符取反，商末位恒置1。,4.2、补码一位除法,思考：由于方法一开始比较被除数与除数，后来比较余数与除数，控制部署不一样。所以采用方法二，硬件电路比较好实现，全部是比较余数与除数，便于计算机控制。,4.2、补码一位除法,被除数X（余数R）商Q 操作 0.1011 0 0 0 0 0+1.0011 X Y 同号：+-Y补 1.1110 0 0 0 0 0 R Y 异号：商0 1.1100 0 0 0 0 0 余数R和商同时左移一位+0.1101+Y补 0.1001 0 0 0 0 1 R Y 同号：商1 1.0010 0 0 0 1 0 余数R和商同时左移一位+1.0011+-Y补 0.0101 0 0 0 1 1 R Y 同号：商1 0.1010 0 0 1 1 0 余数R和商同时左移一位+1.0011+-Y补 1.1101 0 0 1 1 0 R Y 异号：商0 1.1010 0 1 1 0 0 余数R和商同时左移一位+0.1101+Y补 0.0111 0 1 1 0 1 商的末位恒置1,使用方法一：X补=0.1011 Y补=0.1101-Y补=1.0011,余数再右移四位得正确结果，前面补符号位。,4.2、补码一位除法,被除数X（余数R）商Q 操作 0.1011 0 0 0 0 1 R Y 同号：商1 1.0110 0 0 0 1 0 余数R和商同时左移一位+1.0011+-Y补 0.1001 0 0 0 1 1 R Y 同号：商1 1.0010 0 0 1 1 0 余数R和商同时左移一位+1.0011+-Y补 0.0101 0 0 1 1 1 R Y 同号：商1 0.1010 0 1 1 1 0 余数R和商同时左移一位+1.0011+-Y补 1.1101 0 1 1 1 0 R Y 异号：商0 1.1010 1 1 1 0 0 余数R和商同时左移一位+0.1101+Y补 0.0111 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 校正：商符取反，商末位置1,使用方法二：X补=0.1011 Y补=0.1101-Y补=1.0011,余数再右移四位得正确结果，前面补符号位。,4.2、补码一位除法,被除数X（余数R）商Q 操作 0.0100 0 0 0 0 0 R Y 异号：商0 0.1000 0 0 0 0 0 余数R和商同时左移一位+1.1000+Y补 0.0000 0 0 0 0 0 R Y 异号：商0 0.0000 0 0 0 0 0 余数R和商同时左移一位+1.1000+Y补 1.1000 0 0 0 0 1 R Y 同号：商1 1.0000 0 0 0 1 0 余数R和商同时左移一位+0.1000+-Y补 1.1000 0 0 0 1 1 R Y 同号：商1 1.0000 0 0 1 1 0 余数R和商同时左移一位+0.1000+-Y补 1.1000 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 校正：商符取反，商末位置1,使用方法二：X补=0.0100 Y补=1.1000-Y补=0.1000,余数再右移四位得正确结果:1.1111 1000,4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法,和阵列乘法器相比，阵列除法器也是一种并行运算部件，采用大规模集成电路制造。它比早期的串行除法器的控制线路少，并提供较高的运算速度。,4.3、阵列除法器 P297,可控加/减法单元(CAS),4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法,浮点数的表示形式(以2为底)：X=S 2 j=定点小数*2 定点整数 S 尾数，定点小数，用补码表示，决定数的有效精度。j 阶码，定点整数，用移码或补码表示，决定数的表示范围。2 基数,5、浮点四则运算,IEEE754 国际标准：符号位数 阶码 j 位数 尾数S位数 总位数短浮点数1 8 23 32长浮点数1 11 52 64临时浮点数1 15 64 80,0.8125*10 5,浮点数的阶码为什么用移码表示呢？1）正数的移码大于负数的移码：X移-X移 原码、补码、反码都不具备。2）如果：X Y 则 X移 Y移 所以，在浮点运算中，可以方便地通过比较移码的大小来实现阶 码真值大小的比较，其他三种码都不具备这一特性。,移码：补码符号位取反（1表示正号，0表示负号）,数据0有唯一的编码，即+0移=-0移=10000。,5、浮点四则运算,移码运算特点：1）最高位符号位，1表示正号，0表示负号。如果是双符号位，最高位保持0：01正数，00负数。溢出判断：最高位为1，10上溢，11下溢。2）在计算机中，移码只执行加减法运算，且运算结果+2n修正；（即结果的符号位取反）得到X移。例如：X=+1010 Y=+0011,则X移=11010Y移=10011 X移+Y移=11010+10011=01101,修正：X+Y移=11101运算法则：X+Y移=X移+Y补 X-Y移=X移+-Y补,5、浮点四则运算,X+Y移=X移+Y补=11010+00011=11101,4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法,X=104=0110 1000=0.110 1000*27=0 0111；0.1101000Y=40=0010 1000=0.101 0000*26=0 0110；0.1010000,5.1、浮点加减运算,思考1：X和Y的尾数可以直接相加减吗？,思考2：对齐阶码后，尾数才能进行加减运算。阶码大的向小的看齐？还是小的向大的看齐？,思考3：对齐阶码是不是等于小数点对齐了？,思考4：对齐阶码后，尾数应该做什么相应的改变？,Y=40=0010 1000=0.0101 0000*27=0 0111；0.01010000,800=0.8103=0.8103=0.08 104+9000=0.9104=90 103=0.9 104 9800=0.98104,设有两浮点数X，Y，其中：X=SX*2 jX Y=SY*2 jYXY运算执行以下五步：1)阶码对齐（对大阶）：使两数的阶码值相等，对齐小数点。求阶码差j，j0时，小阶码的尾数右移j位：阶码+j，2)尾数相加减：两尾数进行加/减运算。3)尾数规格化：尾数符号 01 或 10：尾数溢出。右规：尾数（带符号）右移1位，前补符号位。同时阶码+1。尾数符号 00 或 11：尾数不溢出。但如符号位和最高数值位相同:00 0 或 11 1 左规：尾数数值部分左移直到最高数值位与符号位不同为止（00 1，11 0）。同时阶码减去左移位数。,5.1、浮点加减运算,4)尾数舍入（处理多余位）在执行右规或对阶时，尾数低位上的数值会移掉，使数值的精度 受到影响，常用“0”舍“1”入法。（三种舍去法：恒舍去，末位恒置 1，0舍1入；一般取其精度受影响最小的方法：0舍1入）5)阶码判溢出 若阶码符号00或11，不溢出。若阶码符号10 为下溢，置运算结果为零，若阶码符号01 为上溢，置溢出标志。,5.1、浮点加减运算,X=0111 00.1101000 jX SXY=0110 00.1010000 jY SY,SYjY+1,SXjX+1,SXjX+1,No,No,Yes,jX=jY？,SX+-SY SXjX(or jY)jX,Xf1Xf2=1,Xf1Xf2 X1+Xf1Xf2 X1=1?,SXjX-1,输出,Yes,Yes,No,3）尾数规格化,00.1101000 SX+00.0101000 SY 01.0010000右规：0111 00.10010000,左规,右规,2）尾数加减,1）阶码对齐,4）尾数舍入5）阶码判溢出,jX jY？,No,Yes,例:已知 X=0.11011011*2010,Y=-0.10101100*2100 求 X+Y解:阶码对齐：jX补=00 0010 jY补=00 0100-jY补=11 1100 求阶差j=jX补+-jY补=00 0010+11 1100=11 1110（-2）X 的阶码小：X阶码+2（jX补=jY补=00 0100）X的尾数右移2位，前面补符号位 SX补=00 0011011011（此时保留右移数据，不丢不舍）尾数相加：SX补=SX补+SY补=00 0011011011+11 01010100=11 10001010 11 尾数规格化：左规:数值位左移1位=11 000101011 阶码-1（jX补=00 0011）尾数舍入：舍去的附加位最高位为1，结果最低位+1：Sx补=11 00010110 S=-0.11101010 阶码判溢出：阶码符号为00，不溢出。最终结果为：X+Y=-0.11101010*2011,实际运算时，先确定位数！（阶码、尾数最好都取双符号位参加运算。）假设机器字长16位，采用浮点表示数，其中阶符2位，阶码4位，尾符2位，尾数8位，都用补码表示。,4、定点除法运算4.1、原码一位除法4.2、补码一位除法4.3、阵列除法器5、浮点四则运算5.1、浮点加减运算对阶、执行加减、规格化、舍入、判溢出5.2、浮点乘除运算阶码加减、尾数乘除、规格化、舍入、判溢出,第六章 计算机的运算方法,X=SX 2 jX Y=SY 2 jYX*Y=（SX*SY）2 jX+jY X/Y=（SX/SY）2 jX-jY,5.2、浮点乘除运算,1）阶码加减：乘法：jX+jY，除法：jX-jY 2）尾数乘除：乘法：SX*SY，除法：SX/SY 3）尾数规格化：4）尾数舍入：有可能带来又一次规格化。5）阶码判溢出：检查阶码上下溢出。,例如：求X*Y，X=0.0110011*2-5Y=-0.1110010*2 3 阶码（含符号位）用4位移码表示，采用双符号位。尾数（含符号位）用8位补码表示，采用双符号位。jX补=11 011 jX移=00 011jY补=00 011 jY移=11 011 SX补=00.0110011-SX补=11.1001101 SY补=11.0001110X浮=00 011，00.0110011Y浮=11 011，11.0001110,5.2、浮点乘除运算,1）阶码相加：jX+jY 移=jX 移+jY 补=00 011+00 011=00 1102）尾数相乘：SX补*SY补=0.0110011*1.0001110 XY浮=00 110,11.13）尾数规格化:符号位与最高数值位相同，需要规格化（尾数左移一位，阶码-1）XY浮=00 101,11.010010100101004）尾数舍入：尾数设8位，0舍1入，则 XY浮=00 101,11.01001015）阶码判溢出：阶码两符号位相同，不溢出。,5.2、浮点乘除运算,浮点运算器,浮点运算由阶码定点运算和尾数定点运算组成。阶码部分执行加、减法运算。尾数部分执行加、减、乘、除运算，左规时有时需要左移多位。因此，浮点运算器中其实就是定点运算器！,复习与作业,复习章节：第6章 计算机的运算方法6.3定点运算6.3.1 移位运算 6.3.4 除法运算6.4 浮点四则运算作业：P291 21、25、26、28、29、30,