计算机仿真技术第二章.ppt

现代计算机仿真技术,东北大学信息学院 郝培锋,2.1 系统与建模,1、系统建模方法的形式化描述 2、系统数学模型的分类3、系统建模的方法论4、系统辨识5、系统建模的实践,1 系统建模方法的形式化描述,当所研究的系统是连续系统时，我们考虑最多的是系统的实体及其属性间的关系，由此也往往可以轻而易举地从中提取出几个有用的集合：输入集、输出集及状态变量集等，并且对其已经赋予了相应的变量表示方法。如果在这些抽象的基础上再建立起复合的集合结构，包括一些特定的函数关系，那么这个过程就称为对系统模型的理论构造。看待一个系统时，如果重点是研究系统本身某些特定的性质，而且就这种性质建立起它的关系模型，那么简单地就称这个系统为模型系统。反过来，系统有时候也简称为模型。下面从两个角度对系统及其模型进行描述，一种是将系统从内部进行详细的分解形式的描述方法，另一种是从外部看待系统行为的描述方法，只看系统(模型)本身对外部的反应和内部框架。,(1)系统模型的形式化描述 通常，由实体表表述的系统内容可以进行变量和参数的设计，并由此建立系统的模型。对这些模型、适应时间、变量和参数变化的数据集合等进行详细的划分，形成下面的结构形式：S=T,X,Q,Y,T 是系统过程的时间集，为整数集或实数集。S离散和连续。X 是输入集，外部环境通过它与系统发生关系。是输入段集，输入段集描述在某时间间隔内系统的输入模式。Q 内部状态集，表示系统对系统输入在时间参数上，如现在和未来的输出响应，因此也是内部结构建模的核心。Y 输出集 代表界面的一部分，系统通过它作用于环境。是状态转移函数，：Q Q。输出函数最简单的解释方式是把它表示成映射：Q Y。它能够把假想的系统内部状态与系统对其环境的影响相联系。,因此，我们常常用理想的形式表示一个系统，并且对其中的每一个部分进行解释，使用向量、表格、坐标系和函数等。对应的，有一个通用的图形表示方式，是一种结构，表示了系统输入、状态转移函数作用、输出函数作用和系统输出之间的关系。实际上时常将模型称为模型系统，系统也简称模型。,(2)关于系统模型的几种描述水平 a.行为水平 对系统的行为水平的描述，是将所研究的系统看成一个黑盒(black-box)，并且对它施加一个输入信号，然后观测其输出信号。为此至少需要一个“时间序列”来观测系统相应的两种信号是一种如何的行为，整个“时间序列”一般是一个实数区间(连续时间区间)，有时是一个整数区间或者是随机时间序列(离散时间事件)。用来描述系统行为的概念是“轨迹”，它是从一个时间序列到表示可能的观测结果的某个集合上的映射。,例2.1：连铸结晶器漏钢预报系统研究中，对结晶器上埋设的热电偶温度变化特征进行数学描述和检测，从而准确地判断结晶器内铸坯表面，或结晶器内凝固坯壳是否与结晶器铜板发生黏结。在对热电偶温度进行模型计算和特征判断时，人们所研究的实体脱离了实际监视的物理设备，即研究者没有真实地了解结晶器内板坯表面与结晶器铜板间发生的情况，而只是通过热电偶表现出来的温度变化情况估计和判断其间是否发生黏结，因此这种方式就是利用了系统的输入输出动态特征研究内部状态转化的实例。例2.2：同样，高炉炼铁过程中的炉体侵蚀情况判断也是通过计算外部温度变化特征进行的估算。一般情况下，冶炼过程中的状态判断和趋势预报都属于这种系统，因为这种情况下实际系统的环境不适于直接观察和测量，而且不能够对其中的状态变化进行准确的数学演绎，所以不能推导出准确的数学模型。,b.状态结构水平 如果已经了解了系统的内部工作机制和多数时刻的系统表现，则就说我们对系统的状态结构有了基本的研究。因此可以通过这种研究，在整个时间序列上递推出系统发生的行为轨迹，能够产生这种递推的基本单元是系统的“状态集”以及“状态转移函数”。“状态集”表示系统在任意时间序列点上所有可能的结果，“状态转移函数”则提供从当前给定状态计算未来状态的规则。有些时候状态集是不能直接观测的，但一旦测得系统的状态集，就可以计算系统的行为。,例2.3：五机架冷连轧计算机控制系统中，关于轧制力设定值计算的过程，就是通过深入研究系统中涉及材料变形抗力、带钢宽度、机架半径以及设定轧制厚度等，轧制力机理分析过程。材料单元体所受正应力情况如图所示。X轴正应力 Y轴正应力 Z轴正应力,由塑性力学可知，材料发生塑性变形的条件为主应力的二次项值达到一定程度（屈服点），其数学表达式为：,c.分解结构水平 在这个水平描述系统，是将它看作由许多基本的黑盒互相连接而成的一个整体，这种描述也可称为网络描述。具体的黑盒称为“成分”或“子系统”，每个基本的黑盒都给出一个在状态结构上的描述；此外，每个子系统都表明“输入变量”和“输出变量”，并且还须给出各子系统之间的“耦合关系描述”。必要时可以进一步分解系统，以便获得更高一层的描述(如图(c)所示)。,例2.4：冷连轧计算机控制系统，根据计算性质的不同，将力能参数的计算和所有中间参数，如材料数据学习、轧制策略演算等都设计成一个计算系统，显然这将是一个计算复杂度很高的系统。,2 系统数学模型的分类,很多教材中关于数学模型的分类都有过研究，总结起来常用的数学模型可以从下面两个方面进行进行讨论。1.根据模型的时间集合分为连续时间模型和离散时间模型2.根据模型中的状态变量分为连续变化模型和离散事件模型,(1)连续系统数学模型 最常见的连续时间模型的线性定常形式有三种。a.常微分方程模型 假定一个系统的输入变量为，输出变量为，则用微分方程描述的系统数学模型的以便形式为：,其中 为输出变量的系数，为输入变量的系数。线性常微分方程模型是连续系统仿真中连续时间模型的基本形式，它表现了系统输入输出之间的关系。,b.传递函数模型 若系统的初始条件为零，即输入函数 和输出变量 及其各级导数的初值均为零，系统在 时刻处于一个稳定状态，则对上述微分方程的形式两边取拉普拉斯变换：,称为系统的传递函数形式。传递函数是研究系统动态相应性能的重要模型，它只与系统本身的结构、特性和参数有关，而与输入量的变化无关。,即,c.状态方程形式 状态变量技术是利用 个微分方程去替换一个 阶微分方程。因此，用状态变量描述的系统的仿真主要是同步地求解 个一阶方程。对于前述的微分方程先取一个输入的形式，设,引入状态变量，令 由此的一阶微分方程组,令,则,将 代入一般形式的微分方程，得到,整理可得,即,令,得,其中,则,由此得系统的状态空间模型,系统的状态空间模型不仅描述了系统输入与输出之间的关系，而且也描述了系统的内部状态。,d.连续系统数学模型实例 微分方程的最早应用是在解决动力学、电磁学等领域中的问题出现的。但近年来发现微分方程用来描述生态学中的作物生长、人口学中的人口增长规律以及经济和军事领域中存在的现象也非常适用。所以研究用微分方程的形式进行系统模型描述就成为进行系统仿真的一个重要部分，特别是在连续系统的模型表示方法中，微分方程的表示形式更容易被计算机接受，更有利于进行计算机求解和运算。连续系统建模实例1：自由落体运动分析：研究一个物体在空中自由降落时下落的速度，如果取加速度。则根据牛顿定律可以写出这个物体的运动方程,初始条件为：时，,建模：如果取物体下落时的高度及其导数作为状态变量，则在前述条件下系统的状态方程为：,令，则上述方程表示为：,实际上从微分方程组可以直接求得系统的解(解析解),而从另一方面来讲，如果考虑物体下落时空气的阻力，和不同高度时重力加速度 是高度的 函数，则物体的运动方程有写为,是物体的质量。此时系统的状态方程为,或标准的状态方程形式,连续系统建模实例2：炮弹运动轨迹的研究 分析：当炮弹以初速 和与水平方向成 夹角发射时，其运动的轨迹如图所示。,设任意时刻，炮弹飞行位置坐标，速度，速度方向与水平方向的夹角，则根据牛顿运动定律，炮弹的运动方程可以写为,即炮弹运行的加速度为,为炮弹飞行时遇到的空气阻力,所以,将其分解为沿轴、方向的加速度 和，则,式中:为空气密度；为炮弹的横截面积；为炮弹几何形状有关的阻力系数。为炮弹的重力，。从另外一方面讲，炮弹的运动速度还可以写成,为水平方向的单位矢量；为竖直方向的单位矢量。分别为炮弹的矢量速度和标量速度。对上式两边求导数得：,(1),对上式做水平方向和竖直方向的分解,方程的初始条件为：时，经过适当的变换可以变成标准的状态方程形式,(2),比较(1)和(2)式，则运动方程可以写成如下形式：,e.离散事件系统模型 与连续系统相一致，离散事件系统建模过程中，也有几种与建模相关的重要元素。实体：临时性实体与永久性实体；事件：系统状态发生变化的行为；活动：两个相邻的事件间引起系统状态变化的过程；进程：描述实体在系统中历经的整个过程；仿真时钟：仿真时钟是用于设置仿真的时间变量。,3 系统建模的方法论,1.系统数学模型的作用 无论是纯科学领域或是工程实践方面的研究，系统模型的作用体现在两个方面，即提高人们对事物的认识水平，增强人们处理事物或对事物的决策能力。系统的模型为人们提供了一个准确的、易于理解的形式。因此，当将系统的信息用模型的形式传递给他人时，可以减少误解。系统模型可以辅助人们思考，当系统模型被综合成公理或定律时，使人们对类似的系统更容易理解，并启发人们进行有意义的试验。管理、控制和设计是人们对系统进行干预的三个不同的层次，利用系统模型可以对系统有更好的理解和把握，确定管理的目标和大致的行为方向，决定控制水平或选择设计方案，提高对系统干预的成功把握，即提高决策和干预能力。,2.系统建模的依据 建模必须依据与系统有关的信息，主要有三类信息源：a.建模目的 事实上，一个系统模型只能对所研究的系统给出一个非常有限的映象。另一方面，一个系统中有多个研究目的，从而造成系统的描述不唯一。建模目的对模型的形式有很大的影响。在不同的建模目的下，同一个行为有时可定义为系统的内部作用，有时又可以定义为系统边界上的输入变量。同样，如果仅需了解系统与外界的相互作用关系，那么可以建立一个以输入为主的系统外部行为模型。而若希望了解系统的内在活动规律，就要设法建立一个描述系统输入集合、状态集合及输出集合之间关系的内部结构状态模型。由此可以看出，建立系统模型的目的是建模过程的主要信息来源之一。,b.先验知识 很多实际系统的内容是已经被前人研究过的，而且一些部分经过长期的研究已经集累了丰富的知识并形成了一个科学分支。在这个分支中已经发现了许多原理、定理和常用的模型。前人研究的成果可以作为后人解决问题的起点。因此在系统建模过程中可以从与系统有关的已有知识出发，提高建模的速度和正确性。如果相同或相关的过程已经为其他建模者为了类似的目的而仅需过分析，而且证明结论是正确的，那么就没有必要重复这部分工作，可以将这些先验知识作为建模的信息来源。,c.实验数据 建模过程的信息来源，也可通过对系统进行实验和观测获得。在系统建模过程中，仅有先验知识是不够的。先验知识，尤其是与系统相关学科中的原理和定理是带有普遍性的，而实际系统除了适应普遍的原理之外，还有其特殊性。既使是两个相同的系统，在不同的环境条件下，所表现出的特性也不会完全一样。因此对实际系统的实验和测量是掌握系统自身特性的重要手段。通过实验可以获得一定数量的实验数据，这些实验数据是建立系统模型的又一个重要来源。,3.系统模型的可信性 模型的可信度就是指模型的真实程度。模型的可信性分析是一个十分复杂的问题，它既取决于模型的种类，又取决于模型的构造过程。如果模型的主要信息来源是先验知识，则模型描述的可信性就取决于先验知识的可信度。如果模型的主要信息来源是实验数据，则可信性分析归结为模型行为与真实系统行为之间的比较。模型在系统目标方面的可信性也是非常重要的。一个模型只有在它用于原定的目标时才能体现出它的实际意义。从实践的观点出发，如果运用一个模型能够达到系统预期的目标，那么这个模型就是成功的。一个在实际上可信的模型应当满足所有可能的研究目的。建立如此的综合模型是困难的，可行的办法是分别建立满足各个目标的模型群。,4.系统建模的途径 a模型建立的途径 建模技术的运用在于利用不同的信息源构造满足系统目标的模型。根据模型信息源的不同，建模的途径主要有演绎法和归纳法两种。在具体情况下，建模的途径一般为：(1)对于内部结构和特性清楚的系统，即所谓的白盒系统，可以利用一些已知的基本定理，经过分析和演绎导出系统模型；(2)对于内部结构和特性不清楚或不很清楚的系统，即所谓的黑盒或灰盒系统，如果允许直接进行实验性观测，则可以假设模型并通过实验对假设的模型加以验证和修正；(3)对那些属于黑盒但又不允许直接实验观测的系统，则可以采用数据收集和统计归纳的方法来假设模型。,b变量、参数设计规则 一般情况下变量、参数的设计规则为：依据系统的研究目的，找出系统中所有与研究目的相关实体，找出所有这些实体的属性中与研究目的相关的所有属性(见图)，然后再通过一定的方法建立这些属性间的数理关系。实际上，系统建模就是建立这些属性间的数学关系。,4 系统辨识,a.系统辨识 建立系统数学模型有两种方法：理论方法和实践方法。理论的方法是从已知的定律、定理和原理出发，通过机理分析找出系统内在的运动规律，推导出系统中各种状态参数和外作用之间的解析关系-数学模型，这种方法称为理论建模。因为这种问题的基本规律是已知的，被称为“白箱”问题。实验方法是直接从系统运行和实验数据(系统的输入和系统的输出数据)，应用辨识的方法建立系统的数学模型，称为“辨识”建模。“辨识”的方法适用于系统的客观规律不清楚的情况，所以有时也称为“黑箱”问题。所谓辨识建模是根据一个准则，在给定的约束条件下，选择一个与给定数据拟合最好的数学模型。,实际上任何定律和定理的发现也是过去反复实验和观测获得的，因此辨识建模是科学研究最基本和最基础的研究方法。由系统特性和运动规律导出系统完整的状态方程组，仅需确定方程中的未知参数，这时系统辨识就简化为参数估计问题。总之通过测量系统在外部行为作用(输入)系统动态响应(输出)数据，按照一定的准则从这些试验数据建立反映系统本质属性的数学模型，并确定模型中的未知参数，就是系统辨识。,系统辨识的对象有两种状态：一种是开环系统，这时系统的输入不受系统输出的影响，系统输出仅反映系统输入和系统本身的特性；另一种是闭环系统，这种输入信号受输出信号的反馈作用，输出信号不仅反映系统的特性，也反映了反馈装置的特性，这时要求测得反馈装置的输出并分别建立系统和反馈装置的数学模型，会使问题更加复杂化。,系统辨识有两种方式，一种是离线辨识(事后处理)。先在实验时记录下所有的输入输出数据，实验后再进行处理。由于时间充裕，可以用较复杂的准确数学模型将数据分组，采用迭代法一组组地进行辨识。另一种是在线辨识，即在系统运行过程中边测量边辨识，通常采用递推算法逐点进行辨识，不断用新测量的数据修正当时的估计值。系统辩识和系统分析是互逆的两种过程。系统分析是已知系统所服从的基本规律、定律(数学模型)和外界对该系统的作用，确定系统对外作用的响应历程。系统辩识则是反过来，给定了系统的外作用和响应历程，要求确定描述系统特性的数学模型。系统辩识、系统分析和控制论的研究有着密切的关系：给定系统输入和系统数学模型，求解系统输出是系统分析；给定系统输出和系统数学模型，求解系统输入是系统控制；给定系统输入和输出，求解系统数学模型是系统辩识问题。,b.动力学系统辨识动力学是研究物体在外力作用下运动规律的学科；动力学系统是研究物体在外力作用下的运动规律和力学特性的力学系统。刚体力学、结构力学和飞行动力学是比较成熟的动力学学科。动力学理论应用于各技术领域就形成各类动力学分支，如燃气轮机动力学、热流体动力学、液压管路动力学等，分别研究各类动力学系统的动态特性。飞机、导弹、汽车、轮船和鱼雷在操纵力的外力作用下的航行品质和操纵性稳定性研究；液体在管路中的流动、振动和贮箱中的晃动研究；桥梁、建筑物等弹性体在外载荷下的振动研究；机械系统，如激振器、振动台的动态特性研究；人机系统中，人的振动特性和跟踪特性研究；热交换器的传热过程以及燃气轮机、喷气发动机的动态研究等，都可当成动力学系统研究其动态特性。,动力学系统辩识是动力学系统研究的逆问题，它利用系统在试验和运行中测得的输入-输出数据，采用系统辩识技术，建立反映系统本质动态特性的数学模型，并辩识出模型中的待定系数。由于动力学系统遵循牛顿力学定律、质量守恒定律、能量守恒定律等基本物理定律，所以系统的基本数学模型(动力学方程组)是已知的，需要辩识的只是动力学方程组中的某些待定因素，诸如外作用、系统固有特性(固有频率、固有阻尼比、模态参数、结构参数)等，是典型的“灰箱问题”。动力学系统通常分两步进行：首先根据系统特性和力学基本定理，采用推理方式建立动力学方程组-状态方程组，这是理论建模阶段；然后利用系统试验或系统运行中测得的输入输出数据，辩识出动力学系统中的待定因素，包括建立外作用的数学模型(外作用与系统状态参数的定量关系式)，辩识出系统的模态参数和结构参数等，这是辩识建模阶段。,动力学系统建模过程由四部分组成：1.试验设计：设计试验方案以获取有关动力学系统本质特性的最大信息量和准确的试验数据；(1)输入-输出参数的选择：根据辨识目的和试验所处环境，选择试验所要测量的输入、输出数据以及用于测量的传感器类型和量程，使试验数据的峰值处于接近满量程工作状态而又不超过满量程，避免出现饱和运行状态和幅值过小的现象。(2)输入信号的设计：对于允许引入输入信号的动力学系统，输入信号的优化设计是一个重要的问题。(3)数据采样速率的确定：试验数据采用系统的采样数据直接影响辨识准度。采样速率太低，无法正确提供系统的动态特性而影响辨识准度；采样过高，对数据采样系统提出过高要求而且增加数据处理工作量。(4)试验时间的确定：试验时间的长短决定了提供信息量的多少，不能因试验时间过短而影响辨识结果的正确性。,2.模型辩识：确定动力学系统数学模型的结构形式；模型辨识是建模的关键。实践证明，如果模型结构形式选得不合适，那么不论采用什么样的参数估计方法也无法提高辨识准度。然而模型结构形式又是辨识过程最难以定量确定的。模型结构形式的选择在很大程度上取决于对系统物理特性的了解。对动力学系统辨识，系统应满足的基本定律(牛顿定律、质量、能量守恒定律)是已知的，待辨识的数学模型常常是系统中的外作用的数学模型或某子系统的数学模型。例如飞行器动力学系统辨识主要是建立气动力数学模型，汽车动力学系统辨识要求建立轮胎力数学模型等。模型辨识是根据动力学系统的特性，选出模型结构形式的候选模型集，然后根据一定的辨识准则，从候选的模型集中选出最优模型结构形式。如气动力非线性数学模型建模，根据气动力的物理学特性选定气动力是攻角和侧滑角的二元多项式函数形式，然后根据辨识准则和试验数据，从函数集中选出最优表达式。,3.参数估计：已知模型结构时，确定模型中的待定参数；模型辨识之后，数学模型的形式就被确定了，问题变成根据辨识准则函数和试验数据求取模型中的待定参数，也就是参数估计问题，这是系统辨识定量研究的核心阶段。参数估计包括辨识准则函数的确定和优化算法两部分，辨识准则将参数估计问题转化为求一个泛函极值问题。目前常用的辨识准则有最大似然准则、贝叶斯准则、最小方差准则等。经验证明，最大似然准则和牛顿拉夫逊算法在动力学系统辨识中最实用、有效，并得到广泛应用。由于输入输出数据中的常值偏差成分，在参数估计中无法消除其影响，数据中还有高频噪音、时间延迟等误差，为消除这些误差而使参数估计增加了很大计算量。通常在参数估计前先进行数据预处理和相容性检验，消除常值偏差、高频噪音、时间延迟等，以减少参数估计的计算工作量并提高辨识准度。,4.模型验证：验证辩识所得模型和参数的正确性。系统辨识的目的是建立反映系统本质属性的数学模型，但辨识过程各个步骤含有不少人为的主观因素(如候选模型集的确定)，在模型辨识和参数估计之后，应对辨识所得数学模型和估计所得参数值的正确性进行检验，以确定所得数学模型是否确实反映了系统的本质属性。目前常用的模型验证方法有：(1)利用不同试验数据集和不同候选模型集进行系统辨识，如果所得数学模型特性相近，那么所得数学模型是可信的。(2)利用不同试验数据，辨识出不同的数学模型，用所得数学模型计算另一组数据对应的辨识准则函数，如两者差距不大，说明该数学模型不是反映特定数据的属性，而是反映系统的共有特性，因此辨识结果是可信的。(3)如数学模型相对应的残差序列不是零均值白色噪音序列，说明该数学模型还有不尽完善之处。,