计算方法3.3-3.5复化求积公式.ppt
第三节 复化求积公式,背景：由于 的Newton-Cotes公式不稳定，一般不宜使用；而在较大的积分区间上采用低阶的Newton-Cotes公式进行计算，精度又比较低。,把积分区间分成若干相等的子区间（分段），在每个子区间上使用低阶求积公式，最后把结果加起来。,定步长积分法,称 为复化梯形公式，下标n表示将区间n等分。,称 为复化Simpson公式，下标n表示将区间n等分。,类似地，我们有复化Simpson公式的余项：,（N=2，三点插值）,3 复化Cotes公式,（N=4，五点插值）,（梯形公式、Simpson公式、Cotes公式）,例3.1,解：由复化梯形公式的截断误差，有,.,.,.,.,.,.,.,第4节 变步长复化求积法,逐次分半算法,变步长积分法,.,绿 蓝 红（由粗到细逐次减半）,误差的这种估计法称为事后估计（或后天估计）,.,.,.,.,.,第5节 龙贝格（Romberg）求积法-逐次分半加速收敛算法,提出问题：能否通过求积公式的截断误差，构造出一个新的序列，它逼近I的阶更高？或者如何提高收敛速度以节省计算量？,.,.,“修正”的想法！,这说明用梯形法二分前后的两个积分值Tn与T2n的线性组合的结果得到复化辛普森法求积公式,复化梯形公式,复化辛普森公式,.,.,复化Simpson公式,复化Cotes公式,Romberg公式,.,1）同一行每个公式都是节点数目相同的求积公式；2）同一列求积公式的代数精度相同；3）表中对角线上相邻元素之差小于允许误差时，停止计算。,加速公式,在变步长的过程中运用加速公式，就能将粗糙的梯形值Tn逐步加工成精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值Cn和龙贝格值Rn.,第6节 高斯（Gauss）求积公式,在构造Newton-Cotes公式时，限定用积分区间a,b的等分点作为求积节点(等距划分)，这样做虽简化了问题的处理过程，但同时也限制了精度。,提出问题：,1),2),为了使问题具有一般性，我们主要考虑如下带权积分：,问(1)最高可达多少？(2)如何构造这样的公式？,插值型求积公式,(*),求积公式含有2n+2个待定参数xk、Ak(k0,1,n)若用待定系数法确定它们,则最好需要2n+2个独立的条件,根据代数精度的定义,令 f(x)=1,x,x2,x2n+1，代入上面求积公式,得到非线性方程组若解存在(?可证),求解.从而求积公式的代数精度从n次提高到2n+1次.这类求积公式称为高斯（Gauss）求积公式.,将节点 x0 xn 以及系数 A0 An 都作为待定系数。令 f(x)=1,x,x2,x2n+1 代入上面公式求解（解存在！），得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。,定义6.1.,分析上面的公式，易见,问题6.,方法一,令公式对于f(x)=1,x,x2,x3，准确成立，则有,两点Gauss公式,第一步,第二步,1）3）,2）4）,1）,2）,3）,4）,代入1）、2）,第三步,称上面的公式为两点Gauss求积公式。,注释：从上面的例子，可看到求解非线性方程组较复杂，通常n2就很难求解故一般不通过解方程来求待定 系数xk 及 Ak(k0,1,n),从分析高斯点的特性着手，来构造Gauss 求积公式.,怎么办？,即,方法二,由于前面的求积公式是插值型的，故至少具有1次代数精度，从而有,另一方面，易见,于是,故要使,只需,据正交多项式的性质可知,从几何直观上看，是寻找两点，使通过该两点的直线在-1,1上围成的面积与f(x)在该区间上围成的面积相等！,解之，得,上面所得到的求积公式称为Gauss-Legendre求积公式.,一般积分区间a,b上的两点Gauss-Legendre求积公式:,例：用两点高斯公式求 的近似值。,解：,定理6.1.节点xk(k=0,1,n)为Gauss点,一、一般的高斯(Gauss)求积公式,关键在于求高斯点.,这就是高斯(Gauss)点所应满足的条件!,换一句话说，在a,b上带权(x)的n+1次正交多项式的零点就是求积公式的Gauss点.,有了高斯点xk，再使用如下线性方程组,可解得Ak.,二、高斯求积公式的余项,/*设H为f 的过x0 xn的插值多项式*/,/*只要H 的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/,插值多项式的余项,Q：什么样的插值多项式在 x0 xn 上有 2n+1 阶？,A：Hermite 多项式！,满足,二、高斯求积公式的稳定性与收敛性,定理6.2.Gauss求积公式的系数都是正的，且,定理6.3.设f(x)Ca,b，则Gauss求积公式是收敛的，即,三、常用的高斯求积公式,Gauss-Legendre求积公式：,其中,直接计算上式比较困难。我们可得到更简便的系数公式：,由于Ak与f(x)无关，我们可取：,2n次多项式,注意到积分端点 1 可能是积分的奇点，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。,Gauss-Chebyshev求积公式：,其中,于是,上式的分子：,于是,上式的分母：,
