行列式性质上课版.ppt

第二节 行列式性质,线性代数,根据行列式的定义计算行列式的数值,在一般情况下是较繁的,有时根本无法计算.为了简化行列式的计算,有必要来研究行列式的性质.,一、行列式的性质,行列式 称为行列式 的转置行列式.,记,将行列式D的行与列互换后得到的行列式,称为D的转置行列式，记为,性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质1表明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的,对列也同样成立.反之亦然。,性质1 行列式与它的转置行列式相等.,即,例如,推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行(列），有,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k，等于用数 k乘此行列式,记为：,思考：若 为n阶行列式，,推论2 行列式的某一行(列)的元素全为零,则此行列式为零。,推论1行列式的某一行（列）中所有元素 的公因子可以提到行列式符号的外面,推论3行列式中如果有两行（列）元素 成比例，则此行列式为零,证明,推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,解,性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,则D等于下列两个行列式之和：,例2 计算,解,例3 判断,是否成立？,解,性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,判断下列结论是否正确?,例4,注意不能将某一行(列)k倍后再加上另一行(列).,二、行列式按行（列）展开法则,1.余子式与代数余子式,行列式等于它的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和.即,2.行列式按行（列）展开法则,例5 计算行列式,解,按第一行展开，得,按第二行展开，得,例6 计算行列式,解,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,例7,求，其中 为元素 的代数余子式。,设,此题化为一个四阶行列式的计算.若此题直接计算四个代数余子式,则计算较繁且容易出错.,(有两行元素对应相同),解：由行列式按行（列）展开法则,某元素的余子式与代数余子式仅与该元素所在的位置有关，而与它本身及它所在的行列的其他元素的数值无关。,(于是得到第i行各元素的代数余子式的和的计算公式),若将行列式中第i行(列)的元素都令为1,则,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即:,例8 已知四阶行列式D的第一行元素依次是1，3，0，-2，第三行元素对应的代数余子式依次是8，k，-7，10，求k的值。,根据推论知：,解得,关于代数余子式的重要性质,三、应用举例,计算或证明行列式常用方法：,2.利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式。,1.利用定义。,3.利用行列式按行（列）展开法则降阶。,把元素a11处理成1；将第一行(列)分别乘以适当的数加于其它行(列)上,使第一列(行)除 外,其它元素都化为0;将第二列(行)除 外元素都化为0；继续下去，直至将主对角线下（上）的元素全化为0。,将行列式化为上(下)三角形行列式的方法,例1计算,解,例2 计算 阶行列式,解,将第 列都加到第一列得,该行列式的行和与列和都相等，此类行列式常将各列（行）加到第一列（行），再提取公因式，然后利用行列式性质化成三角形行列式计算。,练习：计算 阶行列式,例3,证明,证明,练习：计算 四 阶行列式,利用行列式按行（列）展开法则降阶的方法,利用按行（列）展开法则，常先用性质将行列式某一行（列）化为仅含一个非零元素，再按此行（列）展开，变成低一阶的行列式，如此继续，直至化为三阶或二阶行列式计算。,例4 计算行列式,解 按第一行展开得：,练习,例5 计算 阶行列式,解法1 按第1列展开,解法2 用定义,例6 计算 阶行列式,解 按第1行展开,原式为,证,用数学归纳法,假设 对n-1阶范德蒙行列式成立.对n阶行列式从第n行开始,后行减去前行的 倍,得,按第1列展开,并把每列的公因子 提出,有,n-1阶范德蒙德行列式,该式子共有多少个因式连乘?,当n大于1时,共有,个因式相乘.,利用范德蒙行列式计算行列式:,练习,计算行列式常用方法：(1)利用定义。(2)利用性质把行列式化为上(下)三角形行列式。(3)按行（列）展开法则降阶。(4)利用已知行列式结论如范德蒙行列式计算。,小结,行列式的性质及其推论,思考题1,思考题1解答,解,思考题 2,求第一行各元素的代数余子式之和,思考题2解答,解,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,该行列式称为爪型行列式,将第i列乘以 都加到第一列上,即可化为上三角行列式.,爪型(箭形）行列式的一般形式：,将第i列乘以 都加到第一列上,即可化为上三角行列式。,