自动控制课件第2章控制系统的数学模型.ppt

线性系统的数学模型,控制系统数学模型概述,一、为什么要建立控制系统的数学模型？,1、是定量分析、计算机仿真、系统设计的需要2、是寻找一个较好的控制规律的需要,五、经典控制理论中控制系统模型描述方法 1、微分方程 2、传递函数,四、实际工程应用中建立模型的一般步骤 1、把各部件尽可能地作线性化处理；2、建立线性化的系统模型（近似模型）；3、求系统的近似特性；4、建立更复杂的模型，得到更精确的特性。,六、建立控制系统数学模型的一般方法 1、机理分析法 2、实验辩识法 学习本课程，不必过分追求数学论证上的严密性，但一定要注意数学结论的准确性与物理概念的明晰性。,第2章 控制系统的数学模型,本章主要内容与重点控制系统的时域数学模型控制系统的复域数学模型控制系统的结构图,本章主要内容,本章重点,本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识。包括线性定常系统微分方程的建立、非线性系统的线性化方法、传递函数概念与应用、方框图及其等效变换、梅逊公式的应用等。,通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握建立线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅逊公式的应用。,要电路分析或设计自动控制系统，首先需建立系统的数学模型。所谓数学模型，就是描述系统各变量之间相互关系的数学表达式。如时域中的微分方程 控制系统数学模型形式较多，时域中常用的有微分方程、差分方程；复数域中有传递函数、结构图；频域中有频率特性。,2-1 控制系统的时域数学模型 本节着重研究线性、定常、集总参数控制系统的微分方程建立和求解。1.线性元件的微分方程电气元件组成的系统（电路系统）,L,C,R,由基尔霍夫定律有：,i(t),这是一个二阶线性微分方程，也是RLC串联电路的时域数学模型。,弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统,求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动方程。设系统已处于平衡状态，相对于初始状态的位移、速度、加速度分别为：,根据牛顿第二定律有：,为阻尼系数，是阻尼力；是弹簧弹力。整理得其数学模型为：,比较 R-L-C电路运动方程与 S-M-D机械系统运动方程,可以发现，不同类型的元件或系统可具有形式相同的数学模型。这些系统统称为相似系统。相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系。,1、建立的目的：确定被控制量与给定输入或扰动之间的关系，为分析和设计创造条件。,2、建立输入输出时间函数描述的方法分析系统的工作原理，作合理的假设；确定系统的输入量和输出量（必要时需考虑扰动量），并根据需要引入一些中间变量；根据物理或化学定律例写描述系统运动的方程；（常用定律：基尔霍夫定律、牛顿定律、热力学定律、能量守恒定律）消去中间变量求出描述系统输入输出关系的微分方程，即元件的数学模型。,建立线性系统的输入输出时间描述函数,2.控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图，直接确定系统中各个基本部件（元件）；（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应；（3）消去中间变量,整理，合并得出系统的输出量（被控量）和输入量（参据量+扰动）之间的微分方程。,速度控制系统的微分方程,-k2,负载,-k1,系统输出 系统输入参考量,控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机,运放1,运放2,功放,直流电动机,减速器（齿轮系）,测速发电机,消去中间变量,令以下的参数为：,整理得控制系统数学模型（微分方程）为：,3.线性系统的性质：具有可加性：均匀性（齐次性）：,4.线性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解 自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）变换域求解法：Laplace 变换方法,拉氏变换法求解线性微分方程步骤：考虑初始条件，对微分方程每一项进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式；对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,5.非线性元件微分方程的线性化,实际的物理元件都存在一定的非线性，例如,弹簧弹性系数 K 实际是位移的函数，并非常值；电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关，并非常值；电动机本身的摩擦、死区等非线性因素会使运动方程复杂化而成为非线性方程。,小偏差线性化法（切线法）将非线性函数在平衡点附近展开成泰勒级数，再去掉高次项便得到线性函数。,A为平衡状态工作点对应：当有,在平衡状态A点运用泰勒级数展开为:,设连续变化的非线性函数为,具有两个自变量的非线性函数的线性化,增量线性方程：,当增量很小时，略去高次幂：,2-2 控制系统的复数域数学模型传递函数,时域中的数学模型 微分方程,特点：微分方程直观，准确；但不适于高阶系统；系统结构或参数变化时，需重新编写和求解微分方程，不便于系统的分析设计。复数域数学模型 传递函数特点：传递函数不仅表征系统动态特性，还可以研究系统结构或参数变化对性能的影响，使分析和设计工作大为简化。,传递函数是经典控制理论中最基本和最重要的数学模型。频率法、根轨迹法就是以传递函数为基础的。1、传递函数的定义与性质定义：线性系统在零状态时，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，记为G（s）。设线性定常系统由n阶线性定常微分方程描述：,在零初始条件下，由传递函数的定义得：,例1：试求：P6 RLC 串联无源网络的传递函数：,零初始条件下，对方程两边进行拉氏变换：,传递函数的性质（1）传递函数是复变量s 的有理真分式函数，具有复变函数的所有性质，mn,且所有系数均为实数。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关也不反映系统内部的任何信息。,G(s),2、传递函数的零点与极点 传递函数写成因式分解形式（根轨迹法使用）：,（3）传递函数与微分方程可相互转换。（4）传递函数 的Laplace反变换是系统的脉冲响应。,s,dt,d,称为传递系数或根轨迹增益；称为传递函数零点；称为传递函数极点。,传递函数写成因子连乘积的形式（频率法使用）：,一次因子对应实数零极点，二次因子对应共轭复数零极点，和 称为时间常数。,称为传递系数或增益,这种表示方法在频域中应用较多。,传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动（即零状态响应）中也会包含这些自由运动的模态。,3、传递函数极点和零点对输出的影响,自由运动的模态是,当输入函数即,其零状态响应：,前两项具有与输入函数相同的模态；后两项包含了由极点决定的自由运动模态，这是系统“固有”部分，但其系数与输入函数有关，故可认为这两项是受输入函数激发而形成的。,传递函数的零点不形成自由运动的模态，但影响各模态在响应中所占的比重，例如极点相同、零点不同的传递函数分别为：,输入单位阶跃信号 时，其零状态响应分别为：,各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于极点之间的距离和零点相对于极点的距离，以及零原点之间距离。极点相同，的零点 接近原点，距两极点距离都比较远，故两个模态所占比重大；的零点 距原点较远且与两极点均相距较近，故两个模态所占比重较小。,4、典型环节的数学模型,什么是典型环节?不同的物理系统是由许多元部件按不同结构和不同运动原理构成的。但抛开具体的结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性可以划分成为数不多的几种典型的数学模型，称为典型环节。,常见典型环节:比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和迟后环节。,比例环节（放大环节）,特点：输入量输出量之间的关系为固定比例关系，时域方程为,传递函数：K为比例系数或传递系数。,惯性环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列微分方程,传递函数：,时间常数,比例系数,单位阶跃响应：,在单位阶跃输入信号的作用下，惯性环节的输出是非周期的指数函数，故惯性环节也叫非周期环节。,常见物理系统：测温用的热电偶、发电机等。,积分环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,传递函数：,单位阶跃响应：,微分环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,传递函数：,纯微分一阶微分二阶微分,对应积分对应惯性对应振荡,常见物理系统：RC串、并联电路,可看成纯微分环节和惯性环节的串联组合，可看为纯微分。,实际上是一个比例环节和微分环节的并联组合。,振荡环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,单位阶跃响应：令K=1,传递函数：,时间常数,阻尼系数（阻尼比）,令：,振荡环节的单位响应是有阻尼的正弦曲线。振荡程度与阻尼比有关，阻尼比越小，则振荡越强；阻尼比为零时，出现等幅振荡；阻尼比越大，则震荡衰减越快。,常见物理系统：弹簧阻尼系统,机械旋转系统,RLC电路,纯滞后环节,特点：输入量输出量之间的关系满足下列方程,传递函数：,单位阶跃响应：延迟单位脉冲函数,典型元部件的传递函数,电位器 一种线位移或角位移变换为电压量的装置单个线绕式圆环电位器（角位移型）空载时的传递函数,是电刷单位角位移对应的输出电压，称电位器传递系数，E是电位器电源电压，是电位器最大工作角.,测速发电机 测量角速度并转换为电压量的装置，一般有交流和直流两种。*永磁式直流测速发电机：,或,在电枢两端输出与转子角速度成正比的直流电压,交流测速发电机 在定子上有两个互相垂直放置的线圈激磁线圈：输入频率一定、电压一定输出线圈：产生与角速度成比例的交流电压,电枢控制直流伺服电动机：,无源网络 用途：在控制系统中引入无源网络作为校正元件，无源网络通常由电阻、电容、电感组成。可用两种方法求取无源网络的传递函数：1.列写微分方程，零状态条件下进行拉氏变换，从而得 到输出量与输入量之间的传递函数。2.用复阻抗方法直接求出无源网络的传递函数。电阻：R 电容：1/CS 电感：LS,2-3 控制系统的结构图及简化方法,结构方框图：,控制系统的结构图：方框图+传递函数 结构图是一种数学模型，描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。,系统结构图的组成与绘制系统结构图是由许多对信号进行单向运算的方框和一些信号流向线组成。一般有四个基本单元组成,称为结构图四要素：（1）信号线；（2）引出点（或测量点）；（3）方框（或环节）；（4）比较点（或信号综合点）。,1.信号线 带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，直线旁标记信号的时间函数或象函数。,2.信号引出点（线）/测量点 表示信号引出或测量的位置和传递方向。同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。,3.函数方框(环节)表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。函数方块具有运算功能，方框输出量等于输入量与传递函数乘积。,4.求和点（比较点、综合点）1)用符号“”及相应的信号箭头表示；2)箭头前方的“+”或“-”表示加上此信号或减去此信号，“+”可省略不写。,注意量纲和符号!,相邻求和点可以互换、合并、分解。代数运算的交换律、结合律和分配律。,求和点可以有多个输入，但输出是唯一的!,绘制系统结构图时，首先考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框表示；然后根据各元部件信号流向，用信号线依次将各方框连接便得到系统结构图。系统结构图实质是系统原理框图与数学方程两者结合，既补充了原理图所缺少的定量描述，又避免了纯数学的抽象运算。从结构图上可以用方框进行数学运算，也可以直观了解各元部件的相互关系及其在系统中所起的作用；更重要的是从系统结构图可以方便地求得系统的传递函数。系统结构图也是控制系统的一种数学模型。,系统结构图的建立方法步骤：1）用典型环节取代系统中的具体元件，并将各环节的传递函数填入方框图内；将信号的拉氏变换标在信号线附近。2）按照系统中信号传递的顺序，依次将各环节的动态结构图连接起来，便构成系统的结构图。,龙门刨床转速控制系统的结构图系统输出 系统输入参考量,控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机,运放1,运放2,功放,直流电动机,上式含有两种输入，由线性系统的可加性性质，分别求出各个输入单独作用时的输出量，然后相加，即为系统总输出。,时,时,减速器（齿轮系）,测速发电机,把上述结构图中具有相同变量的信号线连起来，便可得到整个龙门刨床速度控制系统的结构图。,转速控制系统结构图,无源网络的结构图,结构图的等效变换和简化,任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。,等效变换的原则：变换前后的变量之间关系保持不变（1）串联等效,几个环节串联，总的传递函数等于每个环节的传递函数的乘积。,例：隔离放大器串联的RC电路,同向环节并联的传递函数等于所有并联的环节传递函数之和。,（2）并联,（3）反馈,前向通道传递函数：输入端对应比较器输出 E(s)到输出端输出 C(s)所有传递函数的乘积，记为 G(s)反馈通道传递函数：输出 C(s)到 输入端比较器的反馈信号 B(s)之间的所有传递函数之乘积，记为 H(s)开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出 E(s)到输入端对应的比较器的反馈信号 B(s)之间所有传递函数的乘积，记为GK(s),GK(s)=G(s)H(s),1、基于方框图的运算规则,（4）比较点和引出点的移动,2、基于比较点的简化,3、基于引出点的简化,4、方框图简化法求系统的传递函数,（1）观察系统中是否存在相互交错的局部反馈回路；（2）确定系统中的输入输出量,把输入量到输出量的一 条线路列成方块图中的前向通道；（3）通过比较点和引出点的移动消除交错回路；（4）先求出并联环节和具有局部反馈环节的传递函 数，然后求出整个系统的传递函数。,简化过程：（1）G1(s)和G2(s)之间的比较点a后移,化简示例1,（2）交换比较点，合并串联环节,（3）合并并联、反馈环节,（4）合并串联环节,还可以将比较点b前移，大家也可以试一下。,化简示例2,简化过程：（1）将G3(s)和G4(s)之间的引出点后移到G4(s)的输出端,由G3(s)、G4(s)和H3(s)组成的内反馈回路计算等效传递函数：,（2）将G2(s)、G34(s)和H2(s)*1/G4(s)组成的内反馈回路简化，计算等效传递函数:,（3）将G1(s)、G23(s)和H1(s)组成的主反馈回路简化，计算系统的传递函数:,进行结构图等效变换时，变换前后应保持信号的等效性。,本例还有其他变换方法：如先将G4(s)后的引出点前移到G4(s)方框的引入端；或者将比较点移动到一起再加以合并。,化简示例3,化简示例4,2 相邻综合点可互换位置、可合并,结构图等效变换方法:,1 三种典型结构可直接用公式,3 相邻引出点可互换位置、可合并,注意事项：,1 不是典型结构不可直接用公式,2 引出点综合点相邻，不可互换位置,化简示例5,只有一条前向通道的多回路系统的闭环传递函数：,闭环系统输入量到输出量间的串联环节的传递函数即前向通路传递函数的乘积。,n 闭环系统所具有的反馈回路的总数m 前向通路数,i 各反馈回路的序号。正反馈-;负反馈+,闭环系统中各交错反馈或多环局部反馈的开环传递函数即每个反馈回路的传递函数的乘积。,5、公式法求系统的传递函数,（梅逊公式）,梅逊公式法直接求取传递函数示例,6、代数法求系统传递函数,信号流图起源于梅逊（S.J.MASON）利用图示法来描述一个和一组线性代数方程，是由节点和支路组成的一种信号传递网络。,2-4系统信号流图1、信号流图的组成要素及其术语,X2、X3、X2,X3、X4、X3,X51,2、信号代数运算法则,3、根据微分方程绘制信号流图,4、根据方框图绘制信号流图,方块图转换为信号流图示例1,方块图转换为信号流图示例2,Pk第k条前向通路的传递函数（通路增益）,G 系统总传递函数,流图特征式,所有不同回路的传递函数之和,每两个互不接触回路传递函数乘积之和,每三个互不接触回路传递函数乘积之和,任何m个互不接触回路传递函数乘积之和,5、信号流图梅逊公式,一个前向通道的情况,多个前向通道的情况,四个单独回路:af,bg,ch,ehgf两个回路互不接触:af和ch,e,1,a,b,c,d,f,g,h,C(s),R(s),前向通路两条:RabcdC 1=1；RedC 2=1-bg,1、系统传递函数 仅控制量作用下 仅扰动量作用下 控制量和扰动共同作用下2、系统误差传递函数 仅扰动量作用下 控制量和扰动共同作用下,2-5 控制系统传递函数,前向通道：R(s)到C(s)的信号传递通路,反馈通道：C(s)到B(s)的信号传递通路,系统闭环传递函数：反馈回路接通后，输出量与输 入量的比值。,单独处理线性叠加,系统对控制量R(s)的闭环传递函数,系统对扰动量N(s)的闭环传递函数,1、系统的传递函数,系统工作在开环状态，反馈通路断开。,系统开环传递函数：前向通道传递函数与反馈通道 传递函数的乘积。,(反馈信号B(s)和偏差信号 E(s)之间的传递函数),系统的开环传递数函数,假设扰动量N(s)=0,控制量R(S)作用,假设R(s)=0,扰动的影响将被抑制!,扰动量N(S)作用,控制量与扰动量同时作用,以误差信号E(s)为输出量，以控制量R(s)或扰动量R(s)为输入量的闭环传递函数。,2、系统误差传递函数,假设扰动量N(s)=0,控制量R(S)作用,假设R(s)=0,扰动量N(S)作用,控制量与扰动量同时作用,系统的闭环传递函数具有相同的特征多项式：,1+G1(s)G2(s)H(s),G1(s)G2(s)H(s)为系统的开环传递函数。,系统的固有特性与输入、输出的形式、位置均无关；同一个外作用加在系统不同的位置上，系统的响应不同，但不会改变系统的固有特性。,闭环传递函数的极点相同。,