自动控制系统的频域分析new.ppt

第5章 自动控制系统的频域分析,建立自动控制系统数学模型的目的，就是为了对自动控制系统进行分析。在经典控制理论中，对系统的分析方法主要有两种：时域分析法(由时域响应及传递函数出发去进行分析)频率特性法(由频域响应及传递函数出发去进行分析),频率特性法的基本概念频率特性的图形表示方法典型环节的对数频率特性系统开环对数频率特性,则：为系统的幅频特性，它是指输出正弦响应信号的最大值与输入正弦激励信号最大值之间的比值；称 为系统的相频特性，它是指输出正弦信号的初相位与输入正弦信号初相位之差（相位差）。,定义：所谓频率特性就是指正弦激励下线性系统的正弦稳态响应。并且从其稳态分量表达式中，我们知道：对于线性电路而言，其输出的稳态响应是一个与输入激励同频率的正弦函数信号，只不过经过系统传送后，相对于输入激励的幅值和初相位而言，它的幅值（大小）和初相位（起即位置）发生了一定的变化而已。若令：,在自动控制原理与系统中，我们所研究的是当输入正弦激励信号的角频率从0变化过程中，其输出的正弦稳态响应信号的幅值与初相位随输入正弦周期信号频率的改变而随之变化的函数关系。,当我们选择足够多的频率点后，通过幅值与频率，相位与频率之间一一对应的关系，我们最后可以绘制出如图所示的幅频率特性曲线与相频率特性曲线。并由此曲线来分析该电路的性质。,结论：这是一个低通滤波电路,频率特性的计算公式：,如果将C（j）写成相量的形式，则有：,输出稳态响应的幅值,输出稳态响应的初相位,由此可见，在自动控制系统中，我们同样只要知道系统传递函数G（s），就可以求出它的频率特性：幅值频率特性：相位频率特性：,通过以上分析，我们不难发现：所谓系统的频域特性就是指系统对不同频率的正弦输入信号的响应特性集合。对线性系统而言，若其输入信号为正弦量，则其稳态输出（即频域响应）也将是与输入同频率的正弦量，只不过其输出的幅值和相位一般不同于输入量，而这种输出幅度与相位变化往往与系统本身的的参数、特性以及输入信号的频率有关。因此，频率特性从本质上讲就是分析在各种不同频率的正弦信号作用下，系统稳态输出所反映出来的正弦波信号的幅值、相位所产生的变化趋势。,*系统的闭环频域性能指标,谐振峰值Ar谐振频率r带宽b,p,BW,r,Mr,5.2 频率特性的图形表示法,前面，我们曾提到频域分析法是一种用图形方式对自动控制系统进行分析的方法。这种方法的最大特点就是将系统的频率特性用曲线这样的图形表示出来。常见的频 率特性曲线有以下两种：奈奎斯特（Nyquist)曲线对数频率特性伯德图（Bode）,奈奎斯特（Nyquist)曲线,奈奎斯特（Nyquist)曲线简称奈氏曲线，是由美国物理学家奈奎斯特首创。它是将系统的频率特性绘制在极坐标上的图形表示方法，并在该图形表示方法的基础上提出了著名的奈奎斯特稳定性判据。由于频率特性是一个复数，所以和其它复数一样，频率特性除了可以用直角坐标进行表示之外，它还可以用极坐标的方式进行表示，即：也即用频率特性的幅值模，和频率特性的相位差幅角来进行表示。,因此奈氏曲线所绘制的就是：当从0变化时，根据频率特性的极坐标表达式：，去算出每取一个特定的值时，所得到的频率特性的模（幅值）和幅角（相位差），然后将它们的值标记在复平面（直角坐标系）上，再将这些标记点用光滑的曲线连接起来，最终所得到的曲线就是奈氏曲线。,*一阶RC电路奈氏曲线的绘制过程,在绘制幅相频率特性曲线时，先选取几个特殊点（如=0，=1/T，等）求得对应的A与，然后再有选择地选取若干个与数值点对应的A与，再按由0的顺序,逐点绘制出曲线图形。如一阶RC电路,当R=1，C=0.001时,其奈氏曲线的绘制方法与步骤。,第一步：求出系统的幅频及相频特性表达式：,因为一阶RC电路的频率特性为：,所以有：,幅频特性：,相频特性：,第二步：选取几个特殊的点：,取=0，则可计算出：,取=1/T=1/0.001，则可计算出：,取，则可计算出：,第三步：按由0的顺序，逐点、光滑地绘制出曲线图形,0,对数频率特性（Bode图）,对数频率曲线又称为Bode图，是由美国工程师伯德（）提出。它是将系统的频率特性取自然对数后，分别用两张图分别表示它的幅频特性与相频特性的一种图形表示方法。与奈氏图相比，Bode图具有绘制方便，直观，并能在没有计算机时，用直线的线段近似画出系统频率特性的幅值与相位等优点，但其缺点是仅能确定最小相位系统的绝对稳定及相对稳定性。,在实际应用中，对数频率特性中的幅频特性一般采用以10为底的常用对数表示。因此对数频率特性就可以被定义为：,对数幅频特性,对数相频特性,引入对数频率特性中幅频特性L()的好处在于：它可以将系统串联环节的幅值相乘转化为对数幅频特性中的幅值相加，这对图形的处理、分析以及计算都会带来很大方便。以后的分析将表明:L()或其渐近线大多与lg成线性关系。因此，若以L()为纵轴，lg为横轴，则其图形将为直线，这可使频率特性的绘制过程大为简化。,对数频率特性的定义,伯德（Bode)图的坐标分度,伯德（Bode）图是对数幅频特性和对数相频的图形表示方式。它是在被称为半对数坐标纸上绘制完成的。它的横轴采用的是自变量并以lg为线性的非线性分度。其含义是：由于lg10=1，所以当按10倍进行变化时，其对应的lg就是线性的。故我们称这个变化的进程为10倍频程(Decade，记以 Dec)。幅频特性的纵轴采用以分贝（dB）为单位的线性对数坐标分度；相频特性的纵轴采用以度（deg）为单位的线性坐标分度。,三级半对数坐标,相频特性（单位度),幅频特性（单位分贝),角频率,角频率,一个lg单位,10倍频程(dec),在使用对数坐标时要特别注意以下两点：它的横轴是不均匀坐标，是由疏到密周期性变化排列的。但若以10倍频程来分，则它又是（对数）线性等分的。半对数坐标纸上的每一级所代表的含义就是所谓的10倍频程，即横轴每一个等分的频率变化相差10倍，如在上面所给的三级对数坐标纸上，第一个“1”处的起始频率若为0.1，则第二个“1”的起始频率则为1，第三个“1”处的起始频率则为10等等。,5.3典型环节的伯德（Bode）图,比例环节,传递函数：频率特性：对数频率特性:,伯德图,对数幅频特性 为水平直线，其高度为20lgK。若K1，则 为正值，其幅频特性线在横轴上方。若K=1，则=0dB，其幅频特性线与横坐标轴重合，所以幅频特性曲线的横坐标轴又称零分贝线。若K1，则 为负值，幅频特性线在横轴下方。对数相频特性 为与横坐标轴重合的水平直线。,比例环节放大倍数K变化，系统的L（）上下平移，但相频特性 不变。,积分环节,传递函数：频率特性：对数频率特性：,对数幅频特性,比例环节,理想积分环节,积分环节的对数频率特性是一条斜率为-20dB/dec斜线。积分环节的对数频率特性可视为由两个典型环节叠加而成：一个是比例环节，另一个是理想积分环节。所以，在=1处，积分环节与20lgK直线相交。积分环节的相频率特性是一条满足 的水平直线。,微分环节,传递函数：频率特性：对数频率特性：,对数幅频特性,比例环节,理想微分环节,微分环节的对数频率特性是一条斜率为+20dB/dec斜线。微分环节的对数频率特性可视为由两个典型环节叠加而成：一个是比例环节，另一个是理想微分环节。所以，在=1处，积分环节与 直线相交。积分环节的相频率特性是一条满足 的水平直线。,惯性环节,传递函数：频率特性：对数频率特性：,惯性环节的对数幅频特性曲线是一条曲线，若采用逐点描绘法将很繁琐。一般在工程上，我们常常采用分段直线逼近的近似绘制方法来绘制它的Bode图。即先作出惯性环节幅频特性L()的渐近线，然后再根据特殊点（如=1/T）的数值，在最大误差处进行修正，这样便可得到该环节较为精确的对数频率特性曲线。通常采用三个频率段的办法，方法如下：,第一步，我们先在Bode上找到特殊频率点：,第二步：低频段近似T1,当T1，也即1/T，这时可以认为（T)20，于是有：,第三步：高频段近似T1,当T1，也即1/T，这时由于T1，所以忽略1后有：,-20dB斜率的辅助线,第四步：交接频率T=1处的计算,当T=1，也即=1/T，这时有：,-3dB修正,-450修正,低频渐近线,高频渐近线,L(),0,-90,0,-45,-20,=1/T,1,10,-3,修正后的对数频率特性,第五步：对幅频及相频渐进线用相应的修正,比例微分环节,传递函数：频率特性：对数频率特性：,对照惯性环节和比例微分的频率特性，我们不难发现：两者仅相差一个负号。这意味着比例微分环节与惯性环节的图形将对称于横轴。,振荡环节,传递函数：频率特性：对数频率特性：,振荡环节的频率特性，不仅与有关，而且还与阻尼比有关。,控制系统的开环Bode图的绘制,系统开环Bode图的简便画法,由第四章的内容可知，图示系统的开环传递函数为：,则可知其对应的前向通道的开环频率特性一定为:,由此可见：串联环节总的对数幅频特性等于各环节对数幅频特性的和，其总的对数相频特性等于各环节对数相频特性的和。,由此可求出其对应的对数频率特性为:,例：已知系统的开环传递函数为：,试求取系统的开环对数频率特性曲线。,解：1）分析系统是由哪些典型环节串联组成，并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式。,2）由小到大计算各环节的转折频率作惯性环节及一阶微环节的Bode图,由此系统的开环传递函数可知，该系统有三个具有转折频率的环节。它们是：,惯性环节：,，其转折频率为：,2）选定幅频特性的横坐标轴的比例尺（频率范围）。一般取最低频率为系统最低转折频率的1/10左右，而最高频率为系统最高转折频率的10倍左右。如有积分环节存在，则最低频率中一定要有=1存在。3）选定相频特性的纵坐标轴的比例尺（相角大小）。由于典型环节的相位变化是90度的倍数，所以一般最小单位为45度。在已知系统开环频率特性后，可以预估出系统的最大相移（即当时，系统各典型环节的相角之和。在本例中，我们可以估计出该系统开环对数相频特性的最大相移为-180度。故所选半对数标尺如下图所示。,4）计算系统的开环放大倍数绘制比例环节的Bode图,5）计算系统的积分环节个数v绘制比例环节的Bode图,按转折频率，由小到大，作出各惯性环节及比例微分环节的伯德图。,按转折频率分段，将所有环节的伯德图加在一起。,最小相位系统与非最小相位系统,若系统开环传递传递函数的极点和零点均在s复平面的左侧的系统称为最小相位系统。若传递函数的极点和(或)零点有在s复平面右侧的系统称为非最小相位系统。由上面的定义可知：最小相位系统是绝对稳定系统。最小相位系统的特点是：它的对数相频特性和对数幅频特性间存在着确定的对应关系，或者，对于最小相位系统，只需根据其对数幅频特性就能写出其传递函数。因此对于最小相位系统，我们一般可以只作出它的幅频特性即可。,【例4-7】已知控制系统的开环传递函数为,式中，T1、T2均为正值，且设T2=10T1。求它们的对数幅频特性与对数相频特性。解:由G1(s)、G2(s)、G3(s)有,(1)对数幅频特性,即：这三个开环传递函数具有相同的对数幅频特性。,(2)对数相频特性,（3）对数频率频特性曲线伯德图,由上图可见，离横轴“距离”最小，G1(s)为最小相位系统。,系统开环Bode图的简便画法,如果系统的开环传递函数是最小相位系统。则可直接分析系统是由哪些典型环节串联组成的，并将这些典型环节的传递函数都化成标准形式(分母常数项为1)，并计算各典型环节的转折频率。,一阶微分环节：,，其转折频率为：,惯性环节：,，其转折频率为：,惯性环节：,，其转折频率为：,根据比例环节的K值，计算20lgK。在选定半对数坐标纸的标尺后，作出比例环节的对数幅频特性。值得注意的是：选择作标尺度时，要首先确定系统的开环传递函数中是否有积分环节。如果有，则无论有几个积分环节，在坐标尺度上都应该有=1这个频率点存在。,如有积分环节存在，则在在半对数坐标纸上，找到横坐标为=1、纵坐标为L（）=20lgK的点，过该点作斜率为-20 dB/dec的斜线，其中 为积分环节的数目。这条斜线一直作到出现第一个转折频率为止。在本例中，由于只有一个积分环节，所以过（1，20lgK）点的斜线斜率为-20 dB/dec。,按所计算出来的各典型环节的转折频率，由低到高顺序作每个环节的伯德图，注意每个环节的伯德图都只作到下一个转折频率出现为止。并用以下原则来依次改变L（）下一条斜线的斜率；若转折频率之后是一个惯性环节，则转折频率后的斜线斜率减去20dB/dec；若转折频率之后是一个比例微分环节，则过转折频率后的斜线斜率增加20dB/dec；若转折频率之后是一个振荡环节，则过转折频率后的斜线斜率减去40dB/dec。,例：设最小相位系统的对数幅频特性如图所示，试确定其传递函数。,由图可知在=0.1之前，渐近线斜率为0，故此为一比例环节，有：,在=0.1之后，渐近线斜率为20dB，故此视为一一阶微分环节，且其转折频率为=0.1，因此有：,在=1处，渐近线斜率又为0。那么要在20dB斜率之后使Bode图斜率重新为0，则需要一个-20dB的斜率与之对消，即要不对1之前的图线产生影响，又要能在1之后对消20dB的斜率，因此可以肯定这里应有一个惯性环节，且其转折频率为=1，因此有：,0.1,30,40,20,10,在=3.5处，渐近线斜率又为-20dB。由于之前有一惯性环节与20dB的微分环节斜率对消，而今所产生-20dB的斜率应来自于一个转折频率为=3.5惯性环节。因此有：,在=35处，渐近线斜率为-40dB。由于之前以有一惯性环节产生了-20dB的，而今所产生-40dB的斜率应来自于另一个可产生-20dB的惯性环节与它的叠加，由于其转折频率=35。因此有：,在=100处，渐近线斜率为-60dB。由于之前以有一惯性环节产生了-40dB的，而今所产生-60dB的斜率应来自于另一个可产生-20dB的惯性环节与它的叠加，由于其转折频率=100。因此有：,综合以上分析，可知其最小相位系统的传递函数表达式为：,