自动控制技术项目教程(高职高专).ppt

第2章 自动控制系统的数学模型,2.1数学模型简介2.2典型环节的传递函数和功能框图2.3自动控制系统的框图,制作:贺力克 陈 义,书名：自动控制技术项目教程ISBN：978-7-111-41087-4作者：贺力克 邱丽芳出版社：机械工业出版社本书配有电子课件,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,1.建立系统微分方程的一般步骤 建立系统微分方程的一般步骤如下：（1）全面了解系统的工作原理、结构组成和支持系统运动的物理规律，确定系统的输入量和输出量。（2）一般从系统的输入端开始，根据各元件或环节所遵循的物理规律，依次列写它们的微分方程。,2.1.1 系统的微分方程,2.1 数学模型简介,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,例2-1直流电动机的微分方程。1.直流电动机(Direct-Current Motor)各物理量间的关系。直流电动机有两个独立的电路:一个是电枢(Armature)回路，有关物理量的角标用表示，为直观起见，现将电枢的电阻和漏磁电感单独画出；另一个电路便是励磁回路,有关物理量的角标用表示。直流电动机的电路图如图2-1所示。,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,直流电动机各物理量间的基本关系式如下：电枢电路：电磁转矩：运动方程：反电动势：,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,图2-1 直流电动机电路图,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,若以,及,代入式（2-3）有,式中，,称为转速惯量，,式(2-3)还可写成,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,2.确定输入量与输出量以电枢电压 为输入量,电动机转速 为输出量来列写电动机的微分方程,而将负载转矩 作为电动机的外界扰动量。3.消去中间变量，并将微分方程整理成标准形式按照前面叙述的步骤将微分方程整理成标准形式,就可得到以 为输入量，以 为输出量，以 为扰动量的直流电动机的微分方程：,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,式中为电动机的机电时间常数为电枢回路的电磁时间常数,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,4.对微分方程进行分析与简化由式(2-5)可见,电动机的转速和电动机本身的固有参数、有关,和电枢电压 有关,还和负载转矩 以及负载转矩对时间的变化率 有关。若不考虑电动机的负载转矩，即设，于是式(2-5)可简化成 考虑到直流电机电枢漏感 一般较小，可假设，则Ta=0 若，则式(2-8)可简化为,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,2.1.2 传递函数,1.传递函数的定义 传递函数是在用拉氏变换求解微分方程的过程中引申出来的概念。微分方程这一数学模型不仅计算麻烦，并且它所表示的输入、输出关系复杂而不明显。但是，经过拉氏变换的微分方程却是一个代数方程，可以进行代数运算，从而可以用简单的比值关系描述系统的输入、输出关系。据此，建立了传递函数这一数学模型。,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,传递函数的定义为：在初始条件为零时，输出量的拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。即,传递函数G(s)=,输出量的拉氏变换,输入量的拉氏变换,(2-10),自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,2.传递函数的一般表达式 如果系统的输入量为r(t)，输出量为c(t)，并由下列微分方程描述:,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换,有 ansnC(s)+an-1sn-1C(s)+a1sC(s)+a0C(s)=bmsmR(s)+bm-1sm-1R(s)+b1sR(s)+b0R(s)即(ansn+an-1sn-1+a1s+a0)C(s)=(bmsm+bm-1sm-1+b1s+b0)R(s),自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,根据传递函数的定义有,(2-11),自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,3.传递函数的性质 传递函数有以下性质：(1)唯一性 传递函数是由微分方程变换得来的，它和微分方程之间存在着一一对应关系。对于一个确定的系统（输出量与输入量都已确定），它的微分方程是唯一的，所以，其传递函数也是唯一的。,自动控制技术项目教程高职高专 ppt 课件,(2)传递函数是复变量s(s=+j)的有理分式，s是复数，而分式中的各项系数an,an-1,a1,a0,以及bm,bm-1,b1,b0都是实数，它们是由组成系统的元件的参数构成的。,有理性,(3)传递函数是一种运算函数。由G(s)=C(s)/R(s)可得C(s)=G(s)R(s)，此式表明，若已知一个系统的传递函数G(s)，则对任何一个输入量r(t)，只要以R(s)乘以G(s)，即可得到输出量的象函数C(s)，再经拉氏反变换，就可求得输出量c(t)。,运算性,(4)动态特性 传递函数的分母是它所对应系统微分方程的特征方程的多项式，即传递函数的分母是特征方程（Characteristic Equation）ansn+an-1sn-1+a1s+a0=0 等号左边的部分。而以后的分析表明：特征方程的根反映了系统动态过程的性质，所以由传递函数可以研究系统的动态特性。特征方程的阶次n即为系统的阶次。,（5）数学模型 传递函数是一种数学模型，因此对不同的物理模型，它们可以有相同的传递函数。反之，对同一个物理模型(系统和元件)，若选取不同的输入量和输出量，则传递函数将是不同的。,2.1.3 系 统 框 图（结构图）,框图（Block Diagram）又称结构图，它是传递函数的一种图形描述方式，它可以形象地描述自动控制系统中各单元之间和各作用量之间的相互联系，具有简明直观、运算方便的优点，所以框图在分析自动控制系统中获得了广泛的应用。框图由信号线、引出点、比较点和功能框等部分组成，它们的图形如图 2 所示。,图 2-框图的图形符号,1.功能框（Block Diagram）如图 2-(a)所示，框左边向内箭头为输入量（拉氏式），框右边向外箭头为输出量（拉氏式），框内为系统中一个相对独立的单元的传递函数G(s)。它们间的关系为C(s)=G(s)R(s)。,2.信号线（Signal Line）信号线表示信号流通的途径和方向，流通方向用箭头表示。在系统的前向通路中，箭头指向右方，信号由左向右流通。因此输入信号在最左端，输出信号在最右端。而在反馈回路中则相反，箭头由右指向左方，参见图 2-。,图 2-典型自动控制系统框图,3.引出点(Pickoff Point)如图 2(b)所示，引出点(又称分点)表示信号由该点取出，从同一信号线上取出的信号，其大小和性质完全相同。4.比较点（Comparing Point）比较点如图 2(c)所示。比较点又称和点（Summing Point），其输出量为各输入量的代数和。因此在信号输入处要注明它们的极性。,图 2-为一典型自动控制系统的框图。它通常包括前向通路和反馈回路（主反馈回路和局部反馈回路）、引出点和比较点、功能框中均为传递函数。图中，各种变量均标以大写英文字母的拉氏式，如输入量R(s)、输出量C(s)、扰动量D（s）、反馈量B(s)和偏差量E(s)等。,2.2 典型环节的传递函数和功能框图,1.比例环节(Proportional Element)（1）微分方程 c(t)=Kr(t)（2）传递函数（3）实例 常见的比例环节，如电子放大器、齿轮减速器、杠杆机构、弹簧、电阻、质量、电位器等，见图 2-。,比例环节框图及响应曲线(a）比例环节框图；(b）比例环节单位阶跃响应,图 2-4 比例环节的实例,2.积分环节(Integral Element),(2-15）,（T为积分时间常数）,（1）微分方程（2）传递函数（3）实例 积分环节的特点是它的输出量为输入量对时间的积累。因此，凡是输出量对输入量有储存和积累特点的元件一般都含有积分环节。例如水箱的水位与水流量，烘箱的温度与热流量(或功率)，机械运动中的转速与转矩，位移与速度，速度与加速度，电容的电量与电流等等。积分环节也是自动控制系统中遇到的最多的环节之一。,积分环节框图及响应曲线(a）积分环节框图；(b）积分环节单位阶跃响应,图 2-5 积分环节的实例,3.理想微分环节(Derivative Element)（1）微分方程（2）传递函数（3）实例 理想微分环节的输出量与输入量间的关系恰好与积分环节相反，传递函数互为倒数。,(2-19),为微分时间常数。,图2-6 理想微分环节a)功能框 b)阶跃响应 c)实例,微分环节框图及响应曲线(a）微分环节框图；(b）微分环节单位阶跃响应,c(t)的单位阶跃响应曲线如上图(b)中的c(t)所示，c(t)是理想微分环节的单位阶跃响应曲线，其在t=0的时刻，输出c(t)从0，再从0。实际上微分特性总是含有惯性的，实际微分环节的微分方程为,其传递函数为,则单位阶跃响应,c(t)的输出量变化曲线如上图(b)所示。,4.惯性环节(Inertial Element)（1）微分方程（2）传递函数（3）实例,式中，T为惯性环节的时间常数。,图 27 惯性环节框图及响应曲线(a）惯性环节框图；(b）惯性环节单位阶跃响应,通常含有一个储能元件和一个耗能元件的部件，就可能构成一个惯性环节。惯性环节常见的惯性环节如图 2-8所示。,图 2 8 惯性环节实例,【实例1】电阻、电感电路，如图28a所示。由基尔霍夫定律可得电路微分方程：对上式进行拉氏变换,并整理后可得,【实例2】电阻、电容电路，如图28C所示。由图可见，以 代入上式，进行拉氏变换，并整理后可得,2.2.5 比例微分环节(Proportional Derivetive Element)1微分方程2传递函数与功能框 式中,为微分时间常数。比例微分环节的传递函数恰与惯性环节相反，互为倒数。比例微分环节的功能框如图29a所示。3动态响应 比例微分环节的阶跃响应为比例与微分环节的阶跃响应的叠 加，如图29b所示。,图29 比例加微分环节a)功能框 b)阶跃响应 c)实例,6.振荡环节(Oscillating Element)（1）微分方程（2）传递函数,(2-19),式中,T为振荡环节的时间常数；为振荡环节的阻尼比（又称阻尼系数）。,式中，,(2-20),振荡环节框图及单位阶跃响应曲线(a）振荡环节框图；(b）振荡环节单位阶跃响应,在自动控制系统中，若包含着两种不同形式的储能单元，这两种单元的能量又能相互交换，在能量的储存和交换的过程中，就可能出现振荡而构成振荡环节。,【例】图2-6为一RLC串联电路。若以电源电压作为输入电压，以电容器两端电压作为输出电压，求此电路的传递函数。并分析此为振荡电路的条件。,图 2-6 RLC串联电路,【解】由基尔霍夫定律有 而流过电容的电流 代入上式，并整理成标准形式。其微分方程为,其传递函数为,令T2=LC,则T=,得,为无阻尼自然振荡频率。,为系统的阻尼比。,又令,得,当，即R=0时，其阶跃响应为等幅振荡。当，即 时，其阶跃响 应为减幅振荡。而当，即 时，其阶跃响应 为非周期过程，不具有振荡性质。当 时，为单调上升曲线，并不振荡。,2.3 自动控制系统的框图,2.3.1 系统框图的画法 首先是列出系统各个环节的微分方程，然后进行拉氏变换，根据各量间的相互关系，确定该环节的输入量和输出量，得出对应的传递函数，再由传递函数画出各环节的功能框。在各环节功能框的基础上，首先确定系统的给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节，直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量间的关系。然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。这样就可以得到整个控制系统的框图。,下面通过直流电动机来说明系统框图的画法：列出直流电动机各个环节的微分方程参见式-式，然后由微分方程拉氏变换式传递函数功能框。今将直流电动机的各功能框列于表3-1中。如今以电动机电枢电压 作为输入量，以电动机的角位移为输出量。于是可由 开始，按照电动机的工作原理，由 依次组合各环节的功能框，然后再加上电势反馈功能框，如图212所示。在图212上，标出输入量、输出量、扰动量 及各中间参变量、和。这样，系统框图便完整地表达出来了。,图215 直流电动机的框图,2.3.2 系统框图的物理含义 系统框图是一种形象化的数学模型，它之所以重要，是因为它清晰而严谨地表达了系统内部各单元在系统中所处的地位与作用，表达了各单元之间的内在联系，可以使我们更直观地理解它所表达的物理含义。由图2-15可以清楚地看到：直流电动机包括一个由电磁电路构成的电磁惯性环节(它的惯性时间常数为)。一个因电流受磁场作用产生电磁转矩的比例环节。,在综合转矩(-)作用下使电机产生(旋转)角加速度的环节(转矩T对转速N构成一个积分环节)，表征了系统的机械惯性。此外，由图2-15还可见。若以作为输出量（被控量），则还需经过由 的转换，它也是一个积分环节。电枢在磁场中旋转时，会产生感生电动势E，它对给定电压(电枢电压)来说，构成了一个负反馈环节。因此，直流电动机本身就是一个负反馈自动调节系统。,下面就以负载转矩增加以例，来说明这个自动调节过程。,图2-16 当负载转矩增加时，电动机内部的自动调节过程,框图的变换与简化,框图的等效变换规则 变换后与变换前的输入量和输出量都保持不变,1.串联变换规则(Series Connection)当系统中有两个(或两个以上)环节串联时，其等效传递函数为各环节传递函数的乘积。即(2-21)对照图2-2a和b可见，变换前后的输入量与输出量都相等，因此a、b两图等效。,图2-17 框图串联变换,系统方框图的化简过程，一般可分为以下几步：(1)根据研究目的确定系统的输入和输出。输入、输出确定后，从输入至输出的通道就成为前向通道。(2)串联、并联、反馈连接的环节由等效环节代替。(3)把闭环系统简化成最基本的方框图形式，并求出其总的传递函数。,2.并联变换规则(Parallel Connection)当系统中有两个(或两个以上)环节并联时，其等效传递函数为各环节传递函数的代数和。即(2-37)对照图2-8a与b不难看出，变换前后的输入量与输出量都相等，因此a、b两图等效。,图2-18 框图并联变换,3、反馈联接变换规则,由图可见：由以上三个关系式，消去中间变量E(s)和B(s)，可得：或,(2-38),图2-19,反馈联接变换,式中 顺馈传递函数；反馈传递函数；闭环传递函数；闭环系统的开环传递函数。,上式即为反馈联接的等效传递函数，一般称它为闭环传递函数，以 表示。式中分母,中的加号，对应于负反馈；减号对应于正反馈。,图2-20 闭环系统的开环传递函数的意义,4、引出点和比较点的移动规则,移动规则的出发点是等效原则，即移动前后的输出量保持不变。移动前后框图的对照表2-1所示。,现以比较点前移为例来加以说明：未移动时：比较点前移后：两者输出量完全相同。,自动控制系统闭环传递函数的求取,典型系统的闭环传递函数和输出 自动控制系统的典型框图如图2-23所示。图中 为输入量，为输出量，为扰动量。1.在输入量 作用下的闭环传递函数和系统的输出若仅考虑输入量 的作用，则可暂略去扰动量。由图2-24可得输出量 对输入量的闭环传递函数 为(2-41)此时系统的输出量(拉氏式)为(2-42),图2-23 自动控制系统的典型框图,图2-24 仅考虑一个作用量的系统框图,2.在扰动量 作用下的闭环传递函数和系统的输出,若仅考虑扰动量 的作用，则可暂略去输入量，这时图2-23可变换成图2-24b的形式(在进行图形变换时，负反馈环节中的负号仍需保留)。这样输出量 对扰动量 的闭环传递函数 为：(2-43)此时系统输出量(拉氏式)为(2-44),3.在输入量和扰动量同时作用下，系统的总输出,由于假定此系统为线性系统，因此可以应用叠加原理：即当输入量和扰动量同时作用时，系统的输出可看成两个作用量分别作用的叠加。于是有(2-45)由以上分析可见，由于给定量和扰动量的作用点不同，即使在同一个系统，输出量对不同作用量的闭环传递函数如 和 一般是不相同的。,交叉反馈系统框图的化简及其闭环传递函数的求取,交叉反馈系统是一种较复杂的多环系统。它的基本形式如图2-25a所示(为简化起见，传递函数中的(s)省去)。由图a可见，该系统的两个回环的反馈通道是互相交叉的。对这类系统的化简，主要是运用引出点和比较点的移动来解除回路的交叉，使之成为一般的不交叉的多回路系统。在图a中，只要将引出点1后移，即可解除交叉，成为如图b所示的形式。由图b再引用求闭环传递函数的公式即可得到图c和图d，从而得到系统总的闭环传递函数(s),图2-25 交叉反馈系统的化简,以上虽然是一个典型的例子，但从中可以引伸出一般交叉反馈系统闭环传递函数的求取公式：,式中 n为反馈回环的个数。对非独立的(彼此均有交叉的)多回环系统，可以应用式(2-30)直接求取系统的闭环传递函数(s)。当系统含有彼此不相交叉的回环时，便不能应用这个公式，而只能采用移动比较点或引出点的方法。要改,直流电动机各物理量间的微分方程如下：电枢电路：电磁转矩：运动方程：反电动势：,以上虽然是一个典型的例子，但从中可以引伸出一般交叉反馈系统闭环传递函数的求取公式：式中 n为反馈回环的个数。,2.6 自动控制系统常用部件的传递函数,一、运算放大器 和常用调节器 图2-14为运算放大器的线路图。由于运算放大器的开环增益极大，输入阻抗也极大，所以把A点看成“虚地”，即。同时 及。于是有,由上式可得运放器的传递函数为,图2-14 运算放大器,【例1】比例积分调节器。,图5-4 比例积分调节,上式中,【例2】比例微分调节器。,图2-15 比例微分调节器,由图可知,将上两式代入式(3-32)有,二、直流电动机、直流伺服电动机和交流伺服电动机,系统框图的画法首先是列出系统各个环节的微分方程，然后进行拉氏变换，根据各量间的相互关系，确定该环节的输入量和输出量，得出对应的传递函数，再由传递函数画出各环节的功能框。在各环节功能框的基础上，首先确定系统的给定量(输入量)和输出量，然后从给定量开始，由左至右，根据相互作用的顺序，依次画出各个环节，直至得出所需要的输出量，并使它们符合各作用量间的关系。然后由内到外，画出各反馈环节，最后在图上标明输入量、输出量、扰动量和各中间参变量。这样就可以得到整个控制系统的框图。,图2-18 直流电动机的功能框图,习 题,2-1 定义传递函数时的前提条件是什么？为什么要附加这个条件？2-2 惯性环节在什么条件下可近似为比例环节?在什么条件下可近似为积分环节？2-3 一个比例积分环节和一个比例微分环节相连接能否简化为一个比例环节？,2-4 二阶系统是一个振荡环节，这种说法对吗？为什么？2-5 方框图等效变换的原则是什么？2-6 对一个确定的自动控制系统，它的微分方程、传递函数和系统方框图的形式都将是唯一的。这种说法对吗？为什么？2-2 应用交叉反馈系统的闭环传递函数公式(式(2-65)来求取系统闭环传递函数的前提条件是什么？2-8 试建立图 2-28所示电网络的动态微分方程，并求其传递函数。,图 2-28 习题 2-8图,2-12 解下列微分方程(已知c(0)=c(0)=0):,2-13 图 2-29为一自动控制系统的方框图，其中R(s)为给定量，N1(s)与N2(s)为两个扰动量。试求此系统在R(s)、N1(s)和N2(s)同时作用下的输出C(s)。,图 2-29 某自动控制系统方框图,2-14 图 2-30为一调速系统方框图，其中Ui(s)为给定量，U(s)为扰动量（电网电压波动）。求取转速对给定量的闭环传递函数N(s)/Ui(s)和转速对扰动量的闭环传递函数N(s)/U(s)，并说明为什么这两个传递函数有很大的差别。,图 2-30 某调速系统方框图,2-15 系统的动态结构图如图 2-31所示，要求：(1)求传递函数C(s)/R(s)和C(s)/N(s)；(2)若欲消除N(s)对C(s)的影响，求Gc(s)。2-16 试求取如图 2-32所示系统的输出量C(s)。2-12 如图 2-33所示，试求系统的传递函数C(s)/R(s)、C(s)/N(s)、E(s)/R(s)、E(s)/N(s)。2-18 如图 2-34所示，将方框图化简，并求出其传递函数。,图 2-31 习题 2-15图,图 2-32 自控系统方框图,图 2-33 习题 2-12图,图 2-34 自动控制系统的方框图,图 2-34 自动控制系统的方框图,