联立方程模型估计.ppt

,计量经济学Econometrics主讲人：黄雷,联立方程模型的估计,单方程估计方法，又称有限信息法（limited information methods），指每次只估计模型系统中的一个方程，依次逐个估计；估计时仅考虑该方程给出的有限信息。系统估计方法，又称完全信息法（full information methods），指同时对全部方程进行估计，同时得到所有方程的参数估计量。估计时同时考虑全部方程给出的信息。从模型估计的性质来讲，系统估计方法优于单方程方法；从方法的复杂性来讲，单方程方法又优于系统估计方法。在实际中，单方程方法得到广泛的应用。,联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：单方程估计方法与系统估计方法。,单方程估计方法主要有普通最小二乘法（ordinary least squares,OLS）、间接最小二乘法（indirect least squares,ILS）、工具变量法（instrument variables）、两阶段最小二乘法（Two-stage least squares）等。1、普通最小二乘法：递归模型 OLS可以用来估计联立模型中的单个方程，但由于存在随机性变量等问题，该方法得到的估计结果往往是有偏的，非一致的，因此该方法在理论上是不适当的。但对一种特殊的联立模型递归型（recursive）联立方程，OLS法是适用的。,一联立方程模型的单方程估计方法,如果联立模型,(12.1.1),中的B具有如下特征：,即内生变量结构系数构成g阶三角阵，主对角线元素为1。该系统中，第一个方程的内生变量可由全部先决变量确定，将其代入第二个方程，与全部先决变量一道可确定第二个方程的内生变量，依次类推。这类模型称为递归模型。,递归模型是恰好识别的，每个方程均可作为独立方程处理。,前一方程的内生变量，对后一方程而言是先决变量，而后一方程的内生变量对前一方程没有影响，显示出一种单向的因果关系。只要各方程随机项互不相关，即,就可以用OLS法估计参数。参数估计是无偏有效的。,联立方程模型的结构式方程中包含有内生解释变量，不能直接采用OLS估计其参数。对于简化式方程，可以采用OLS直接估计其参数。间接最小二乘法：先对关于内生解释变量的简化式方程采用OLS估计简化式参数，得到简化式参数估计量，然后通过参数关系体系，计算得到结构式参数的估计量。间接最小二乘法只适用于恰好识别的结构方程的参数估计,2、恰好识别方程的估计：间接最小二乘法,例1：设有如下的农产品供需模型：,供给函数：,需求函数：,供需均衡量Q与价格P为内生变量，消费个人收入Y为前定变量。,供给函数恰好识别，需求函数不可识别。简化方程为,由于前定变量Y与随机项不相关，可用OLS法估计如下：,由参数关系体系，可得到供给方程参数的估计值：,即供给函数的ILS估计是：,为了比较，供给函数的OLS直接估计如下：,对于简化式模型应用普通最小二乘法得到的参数估计量：线性性、无偏性、有效性。通过参数关系体系计算得到结构式方程的结构参数估计量：在小样本下是有偏的，在大样本下是渐近无偏的。,（2）间接最小二乘法参数估计的统计性质,3、工具变量法（IV）,工具变量方法的基本思想：利用适当的工具变量去替代结构方程中作为解释变量的内生变量，以减少解释变量与随机项的相关性，从而可以用OLS法估计参数。在联立方程模型的估计中，工具变量法的具体作法如下：（1）选取合适的工具变量 设模型：有g个内生变量Y1,Y2,Yg，k个前定变量X1,X2,Xk 第i个被估计方程：有gi个内生变量和ki个前定变量。工具变量的选择：就是要求在被估方程所排除的（k-ki）个前定变量中去寻找与被替代的（gi-1）个内生变量在经济意义上高度相关的前定变量。这样，它与随机项不相关，与其他前定变量的相关性也很小。注意：工具变量的个数应与所替代的内生变量的个数相等。为了使每个结构参数有确定的解，对结构方程所含的ki个前定变量，以它们自身为工具变量。,（2）分别用每个工具变量乘结构方程，并对样本容量的n个观察值求和，得到方程个数与未知结构参数个数一样的一组线性方程组。解此方程组，可得结构参数的估计值。,例2：设联立方程模型中，被估计方程形如,Y1,Y2是作为解释变量的内生变量。运用工具变量法，在k-1个前定变量中，选取X2,X3作为Y1,Y2的工具变量，以X1作为自已的工具变量。用X2,X3,X1分别乘被估计方程，并对样本观察值求和：,由于,可得拟正规方程：,解此方程组，可得,工具变量法的局限性：,如果被估计的结构方程是恰好识别的，即满足k-ki=gi-1，那么，该方程中排除的前定变量的数目恰好等于方程中作为解释变量的内生变量数目，工具变量的选法唯一，拟正规方程有唯一解，即结构参数的IV估计唯一。如果被估结构方程是过度识别的，即有k-kigi-1，那么，工具变量的选择就比较麻烦，且参数估计结果有一定的任意性。因为每从k-ki个没有包含在方程之中的先决变量中选出gi-1个变量作为工具变量，就得到一组参数估计值，共计可能有 种不同的参数估计值。,所以，一般认为，这种工具变量方法只适用于恰好识别的结构方程的估计。,工具变量法参数估计量，一般情况下：a、在小样本下是有偏的，但在大样本下是渐近无偏的。b、如果选取的工具变量与方程随机误差项完全不相关，那么其参数估计量是无偏性估计量。,IV参数估计量及其统计特性,3.二阶段最小二乘法(2SLS),工具变量方法和间接最小二乘法一般只适用于联立方程模型中恰好识别的结构方程的估计。但是，在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方程很少出现，一般情况下结构方程都是过度识别的。二阶段最小二乘法(Two Stage Least Squares)是一种既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结构方程的单方程估计方法，由Theil和Basmann分别于1953年和1957年各自独立提出，是一种应用最普遍的方法。,1）二阶段最小二乘法的基本思想,二阶段最小二乘法在理论上可以认为是间接最小二乘法与工具变量法的结合与推广，其基本思想是：首先利用OLS法估计简化式方程，得到内生变量的估计值；然后，以内生变量的估计值为工具变量，对结构式方程应用OLS法，得到结构参数估计值。,设被估计方程形如：,方程中作为解释变量的内生变量共有g1-1个Y2,Yg1，且随机项1满足OLS基本假定。一般情况下，由于Y2,Yg1往往又是Y1的函数，从而使Y2,Yg1与1相关，即被估计方程出现随机解释变量的问题而无法直接采用OLS法。,(12.1.2),第一步:通过OLS法求出Y2,Yg1的全部简化式方程：,i=2,3,g1,或,i=2,3,g1(12.1.3),显然，作为前定变量的线性组合，i与i无关。,第二步：将（）代入（）式,相当于以i作为工具变量。得,其中，,仍然满足OLS法所要求和零均值、,同方差、不序列相关的基本假定。,(12.1.4),同时，由于是所有前定变量的线性组合而与Y1无关，因此与1无关，从而i也与1*无关。于是（12.1.4）式可用OLS法估计，得到结构参数估计值。,2）二阶段最小二乘法有如下特点：,在应用二阶段最小二乘法的整个过程中，并没有涉及结构方程中内生解释变量和先决解释变量的数目，所以二阶段最小二乘法的应用与方程的识别状态无关，既适用于恰好识别的结构方程，又适用于过度识别的结构方程。从选择工具变量的角度，i作为Yi的工具变量比较合适。这是因为：（1）i是简化式估计量，是全体前定变量的线性组合，因此既排除了与被估方程随机项的相关性，又毫无遗漏地使用了所有前定变量的信息；（2）Yi以自身的估计i为前定变量，可以认为两者是高度相关的。,2SLS估计需要较大的样本容量。尤其当模型包括很多前定变量时，如果样本容量小于前定变量数目，则很难保证在第一阶段内正确求出内生变量的简化式。当第一阶段估计式的判定系数很高，譬如大于0.8，用2SLS估计的结果与ILS法估计的结果相近，如果第一阶段估计的判定系数值很低，表明i作为Yi的工具变量的代表性差，2SLS的估计结果实际上是没有意义的。,3）二阶段最小二乘估计量的统计性质 采用二阶段最小二乘法得到结构方程的结构参数估计量：在小样本下是有偏的，在大样本下是渐近无偏的。,4.对于恰好识别的结构方程，三种方法是等价的,上述三种单方程估计方法都适用于恰好识别的结构方程，对于同一个结构方程，选择不同的方法，应该得到相同的参数估计量。从理论上说，三种结果都是用不同的工具变量方法估计得到的，区别仅在于工具变量选取不同。工具变量法和间接最小二乘法的参数估计量，它们选取了同样一组变量X作为被估计结构方程中解释变量的工具变量，只是次序不同。工具变量法用结构方程中未包含的先决变量作为内生解释变量的工具变量，用被估结构方程中包含的先决变量作为自己的工具变量；间接最小二乘法则将先决变量X按自己的顺序作为被估方程内生解释变量与先决变量的工具变量，这就使得被估计结构方程中包含的先决变量也选择了其它先决变量作为工具变量，而不是自身。,可以证明，这两种不同的选取只影响正规方程组中方程的次序，并不影响方程组的解。所以狭义工具变量法和间接最小二乘法的参数估计量是等价的。,比较二阶段最小二乘法和间接最小二乘法的参数估计量：间接最小二乘法选取X作为结构方程中解释变量(Y0,X0)的工具变量，二阶段最小二乘法选取X的线性组合作为结构方程中内生解释变量Y0的工具变量，选取X0作为自己的工具变量。尽管这样使得关于二者参数估计量的正规方程组是不同的，但后者可以由前者经过初等线性变换得到。而根据代数知识，初等线性变换不影响方程组的解。所以二阶段最小二乘法和间接最小二乘法的参数估计量是等价的。结论：对于恰好识别的结构方程，狭义工具变量法、间接最小二乘法和二阶段最小二乘法三种方法等价。,5.简单宏观经济模型实例演示,下面建立一个包含3个方程的中国宏观经济模型，主要借此进行方法上的演示。3个内生变量，国内生产总值Y、居民消费总额C和投资总额I；3个先决变量，政府消费（将净出口也包含其中，为了实现数据的平衡）G、前期居民消费总额Ct-1和常数项。完备的结构式模型为：,t=1978,1979,1996,容易判断，消费方程是恰好识别的方程，投资方程是过度识别的方程，因此，模型是可以识别的。,1）用狭义的工具变量法估计消费方程,选取消费方程中未包含的先决变量作为内生解释变量的工具变量，得到结构参数的工具变量法估计量：,2）用间接最小二乘法估计消费方程,消费方程中包含的内生变量的简化式方程为：,参数关系体系为：,用OLS估计简化式方程，得到简化式参数估计量为：,由参数关系体系计算得到结构参数间接最小二乘估计值：,3）用两阶段最小二乘法估计消费方程,两阶段最小二乘法的第一阶段是用OLS估计内生解释变量的简化式方程，得到：,据此计算t，替换结构方程中的Yt，第二阶段再用OLS估计变换了的结构式方程，得到消费方程的两阶段最小二乘参数估计量：,比较上述消费方程的3种估计结果，证明这3种方法对于恰好识别的结构方程是等价的。估计量的差别只是很小的计算误差。,4）用两阶段最小二乘法估计投资方程,投资方程是过度识别的结构方程，只能用两阶段最小二乘法估计。估计过程与上述两阶段最小二乘法估计消费方程的过程相同。得到投资方程的参数估计量为：,至此，我们完成了该模型系统的估计。,二、联立方程模型的系统估计方法,联立方程计量经济学模型的系统估计方法是相对于单方程估计方法而言。单方程方法每次只对一个结构方程进行估计，利用了有限信息，对于没有包含在所估计结构方程中的变量的样本数据信息，只是部分地利用了，而对于方程之间的关系信息（联立模型结构信息），则完全没有利用。系统估计方法，正是针对单方程方法的问题提出来的，它同时估计全部结构方程，利用了模型系统的全部信息。因此系统估计方法的参数估计量具有良好的统计特性。也正因为此，系统估计方法也相当复杂。本节主要介绍三阶段最小二乘法（3SLS）。,二阶段最小二乘法（2SLS）是假定联立模型各结构方程的随机项是序列不相关的，即E(ij)=0(ij)。,但在联立方程模型中，各个方程的扰动项，可能与其他方程的扰动项相关。这时应考虑引入广义最小二乘法（GLS），以克服各方程之间随机项相关造成的估计偏误。因此三阶段最小二乘法（Three-stage least squares）的第一、二阶段是2SLS法，第三阶段实际上是广义最小二乘法GLS的应用。,一、三阶段最小二乘（3SLS）法估计过程,第一阶段：用OLS法估计简化式方程，求出内生变量的估计式。设联立方程模型为 YB+X=N(12.2.1)其中，模型内生变量个数为g，前定变量个数为k，在第i个方程中，内生变量个数为gi，前定变量个数为ki。相应的简化式模型为 Y=X+E(12.2.2)运用OLS法，简化式模型的估计为,(12.2.3),将前定变量的样本观察值代入（）相应的方程中，得到内生变量的一组简化式估计值：,其中，,第二阶段：将所求内生变量的估计值代入结构方程（12.2.1）左端作为工具变量，对变换后的方程应用OLS，得到参数的2SLS估计量。并求每个结构方程随机扰动项的估计量残差,，以及的方差、协方差估计量,如对第i个结构方程的2SLS估计结果为：,t=1,2,n(12.2.4),残差为：,t=1,2,n(12.2.5),（）式可写为：,i=1,2,g（）,Yi：n1向量，由第i个方程因变量的n次样本观察值组成；Y0i：n(gi-1)矩阵，由第i个方程中作为解释变量的内生变量的简化式估计值组成；X0i：nki矩阵，由第i个方程所包含的前定变量的样本观察值组成；B0i：(gi-1)1向量，第i个方程的内生变量结构参数；0i：ki1列向量，第i个方程前定变量结构参数；：n1向量，第i个方程的随机扰动项,其中，,第三阶段：用广义最小二乘法（GLS）求结构参数的估计量,将整个2SLS方程组表示成一个矩阵形式的单一方程：,或者,(12.2.7),(12.2.8),对于(12.2.8),中的随机误差项，为了使问题适当简单，作如下假设：1、对于一个结构方程的随机误差项，在不同样本点之间，具有同方差性和序列不相关性。即,i=1,2,g,2、对于不同结构方程的随机误差项之间，具有且仅具有同期相关性。即,i,j=1,2,g；ij,于是，联立方程模型系统随机误差项方差协方差矩阵为,其中：表示“直积”，即用符号后面的矩阵去乘符号前面矩阵的每个元素。协方差矩阵是由(gg)个子矩阵组成，每个子矩阵都是一个主对角阵，且主对角线元素相同。如果放弃两条假设，每个子矩阵就不是一个主对角阵，且主对角线元素也不相同。,由于随机项不可观察，ii2与ij未知，但可根据残差给出它的估计值：,于是有的估计,用GLS法估计（）式,得结构参数向量的估计：,2、三阶段最小二乘法估计量的统计性质,3SLS估计量的统计性质主要有：如果联立方程模型系统中所有结构方程都是可以识别 的，并且非奇异，则3SLS估计量是一致性估计量。为了保证非奇异，必须将模型系统中的恒等式排除在外，不参加估计过程。因为恒等式的随机误差项为0，将使矩阵中出现0行和0列，使之成为奇异矩阵。对大样本来说，3SLS估计量比2SLS估计量更有效。将3SLS估计量和2SLS估计量的分布进行比较，并根据Gauss-Markov定理，即可清楚看到这点。如果是对角矩阵，即模型系统中不同结构方程的随机误差项之间无相关性，那么可以证明3SLS估计量与2SLS估计量是等价的。这反过来说明，3SLS方法主要优点是考虑了模型系统中不同结构方程的随机误差项之间的相关性。,例：克莱因（Klein）美国战争间模型是一个小型的宏观经济模型，结构方程如下：,消费函数：,投资函数：,劳动力需求函数：,国民收入：,利润：,资本存量：,其中：C为消费支出、I为投资支出、P为利润、Y为可支配收入、K为资本存量、WP为私营工资、WG为政府工资、G为政府支出、T为税金、t为时间。该联立模型共由6个方程组成，其中3个行为方程，3个定义方程。变量共有10个，其中6个内生变量（C、I、WP、Y、P、K），4个外生变量（WG、G、T、t）；前定变量共有7个（WG、G、T、t、P-1、T-1、K-1）。,容易判断该联立模型中消费函数、投资函数为过度识别，劳动力需要函数为恰好识别。该联立模型的一个样本数据列于表12-2-1。,分别用OLS，2SLS，3SLS方法对模型进行估计，结果列于表12-2-2,