线段的垂直平分线(东直门中学王伟).pptx
三角形,第2章,线段的垂直平分线,2.3,如图,人字形屋顶的框架中,点A 与点A关于线段CD 所在的直线l对称,问线段CD 所在的直线l 与线段AA有什么关系?,我发现AD=AD,lAA.,我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到如图,已知点A与点关于直线l对称,如果沿直线l折叠,则点A与点重合,AD=AD,1=2=90,即直线l既平分线段AA,又垂直线段AA,我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线(perpendicular bisector).,线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴.,如图,在线段AB 的垂直平分线l上任取一点P,连接PA,PB,线段PA,PB之间有什么关系?,作关于直线l的轴反射(即沿直线l对折),由于l是线段AB 的垂直平分线,因此点A与点B重合.从而线段PA与线段PB重合,于是PA=PB.,P,A,(B),已知:CDAB于O,AO=BO,点P在CD上,连结PA,PB.求证:PA=PB.,证明:CDAB POA=POB在POA和POB中PO=POPOA=POBAO=BOPOA POB(SAS)PA=PB,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.,几何语言:,CDAB,AO=BOPA=PB,我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等,反过来,如果已知一点P到线段AB 两端的距离PA与PB相等,那么点P在线段AB的垂直平分线上吗?,(1)当点P在线段AB上时,因为PA=PB,所以点P为线段AB的中点,显然此时点P在线段AB的垂直平分线上.,(2)当点P在线段AB外时,如图,因为PA=PB,所以PAB是等腰三角形.过顶点P 作PCAB,垂足为点C,从而底边AB上的高PC也是底边AB上的中线.即PCAB,且AC=BC.,因此直线PC是线段AB的垂直平分线,此时点P也在线段AB的垂直平分线上.,到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.,几何语言:,PA=PB点P在线段AB的垂直平分线上,举例,例1 已知:如图,在ABC中,AB,BC 的垂直平分线相交于点O,连接OA,OB,OC.求证:点O在AC的垂直平分线上.,举例,证明 点O在线段AB的垂直平分线上,OA=OB.同理OB=OC.OA=OC.点O在AC的垂直平分线上.,已知:如图,点C,D 是线段AB 外的两点,且AC=BC,AD=BD,AB与CD相交于点O.求证:AO=BO.,证明:AC=BC 点C在线段AB的垂直平分线上 AD=BD 点D在线段AB的垂直平分线上 CD是线段AB的垂直平分线 AO=BO,例2 ABC中,ABAC,A的平分线与BC的垂直平分线DM相交于D,过D作DEAB于E,作DFAC于F.求证:BE=CF.,举例,证明:连接BD和CDDM垂直平分BCBD=CDD是BAC平分线上的点,且DEAB,DFACDE=DF,BDE和CFD是Rt在RtBDE和RtCFD中BD=CDDE=DFRtBDERtCFD(HL)BE=CF,举例,1.线段的垂直平分线的性质是什么?,2.线段的垂直平分线的判定是什么?,结 束,栗源镇中学姓名:邓志坚,