线性控制系统的动态分析(恢复).ppt

31 引言,第3章 线性控制系统的动态分析,32 线性定常系统状态方程的求解,33 线性时变连续系统状态方程的求解,34线性离散时间系统状态方程的求解,35 MATLAB在线性控制系统动态分析中的应用,31 引言,状态空间分析法是现代控制理论的主要分析方法，其直接将系统的微分方程或差分方程化为描述系统输入、输出与内部状态关系的动态数学模型状态方程，运用矩阵方法求解状态方程，直接确定其动态响应，研究系统状态方程的解法及分析解的性质是现代控制理论的主要任务之一。,本章重点:讨论状态转移矩阵的定义、性质和计算方法，并在此基础上导出状态方程的求解公式。连续系统状态方程的离散化，即建立连续系统的离散系统状态方程。,(1)若A为标量有：,初始时刻 t0=0,则,32 线性定常系统状态方程的求解,(2)若A为方阵，,322状态转移矩阵的性质及其计算方法,一、状态转移矩阵的基本定义,对于线性定常连续系统，当初始时刻t0=0时，满足如下矩阵微分方程和初始条件：,(3-1),解 为线性定常连续系统 的状态转移矩阵。,则有：,二、几个特殊矩阵指数,(1)若 为对角矩阵,证:,由 定义知,则有：,则有：,则有：,(4)若 为,3.2.2.4 状态转移矩阵的计算方法,(1)定义法：,按照定义直接计算，适合于计算机实现。,(2)拉氏变换法：,有：,例3.2.2 用Laplace 变换法计算矩阵指数：,解：,则有：,(3)标准型法：,则有,个互异的特征值,解:1)特征值,例3.2.2 已知矩阵,试计算矩阵指数,2)计算特征向量：,3)构造变换阵P：,则有：,设 具有 个重特征值 则有,解:1)计算特征向量和广义特征向量。,例3.2.3 已知矩阵,试计算矩阵指数,得：,2)计算矩阵指数：,(4)化有限项法,根据：,1)特征根两两互异：,2)有 个重特征值,两端对 求1至 阶导数得：,解方程组可求得,例3.2.4 已知系统,试用化有限的方法求矩阵 的矩阵指数,解：矩阵 的特征方程为：,特征值,为,对于 有,对于 有,从而可联立求得：,因为-1是重根，故需补充方程：,由此可得：,323 线性定常系统非齐次状态方程的解,线性定常系统在输入信号u作用下的运动称为强迫运动，其可用式（352）所示的非齐次状态方程描述，即,下面求解非齐次状态方程式（352），以研究控制作用下系统强迫运动的规律。,（352）,一、直接求解法,非齐次状态方程,可改写为,两边左乘,由矩阵指数性质及导数运算法则,得,由矩阵指数性质及导数运算法则,两边在t0到t闭区间进行积分，得,即,两边左乘，由矩阵指数性质可得,则线性定常非齐次状态方程的解为,二、拉氏变换法,事实上，对初始时刻,的情况，也可应用拉普拉斯变,（360）,得,式（361）两边取拉普拉斯反变换得,对上述状态方程的求解式利用卷积分公式，则有,换法求解非齐次状态方程。对式（353）两边取拉普拉斯变换，并移项整理得,式（360）两边左乘,（361）,（362）,结果与直接求解法完全相同。,三、状态方程解的意义,系统的动态响应由两部分组成：一部分是由初始状态引起的系统自由运动，叫做零输入响应；,另一部分是由控制输入所产生的受控运动，叫做零状态响应。,33 线性时变连续系统状态方程的求解,严格说来，实际控制对象都是时变系统，其系统结构或参数随时间变化。如电机的温升导致电阻以及系统的数学模型变化；电子器件的老化使其特性也发生变化；火箭燃料的消耗导致其质量以及运动方程的参数的变化等。但是，由于时变系统的数学模型较复杂，且不易于系统分析、优化和控制，因此只要实际工程允许，都可将慢时变系统在一定范围内近似地作为定常系统处理。但对控制目标要求较高的高精度控制系统，需作为时变系统处理。,331 线性时变连续系统齐次状态方程的解,线性时变系统的结构参数随时间而变化，其一般形式的状态方程为时变非齐次状态方程，即,（363）,、,分别为nn、nr时变实值矩阵。若,式中，,输入控制u=0，式（363）则变为时变齐次状态方程，即,（364）,时变齐次状态方程式（364）的解为,为保证该齐次状态方程解的存在性和唯一性,在系统的时间定义域t0，tf内，A(t)的各元素为时间t的分段连续函数。,（365）,332 线性时变连续系统的状态转移矩阵,一、状态转移矩阵的求解,对于线性时变连续系统，状态转移矩阵,是如下矩阵微分方程和初始条件,的解，它是一个nn维的关于时间变量t和t0的矩阵函数。为了求得状态转移矩阵,的表达式，可在时间域内,（367）,对该矩阵微分方程积分，即有,然后按此法继续迭代下去，并将各展开式代入式（367），可得,（369）,（368）,可得一个由无穷项之和组成的状态转移矩阵,即,（370）,当时变的系统矩阵A(t)满足如下条件,时，时变系统的状态转移矩阵的解可以表示为,的指数形式。,（371）,（372）,二、状态转移矩阵的性质,时变系统的状态转移矩阵的性质如下。1传递性,（379）,2可逆性,（380）,333 线性时变连续系统非齐次状态方程的解,当具有外加输入作用时，其状态方程为如下非齐次状态方程：,该状态方程在初始状态,下的解，也就是由初始状态,和输入作用,所引起的系统状态的运动轨迹。,为分段连续时，该非齐次状态方程的解为,（383）,当系统的状态空间模型中输出方程为,时。系统的输出为,比较线性定常连续系统与线性时变连续系统状态方程的解的表示形式：,定常系统,时变系统,第一项为初始状态的影响；第二项为初始时刻后输入的影响，为脉冲响应函数与输入的卷积。,与线性定常连续系统的状态方程和输出方程的解比较可知，线性时变连续系统与线性定常连续系统的解的结构和形式相同，都为状态的零输入响应和零状态响应的和。线性定常连续系统的状态方程和输出方程的解可视为线性时变连续系统相应的解的一种特殊形式。在A(t)为时不变时，时变系统的状态转移矩阵 即为定常系统的状态转移矩阵。由此可以看出引入状态转移矩阵的重要性。只有引入状态转移矩阵，才能使时变系统和定常系统的求解公式建立统一的形式。,34线性离散时间系统状态方程的求解,离散系统的工作状态可以分为以下两种情况。整个系统工作于单一的离散状态：对于这种系统其状态变量、输入变量和输出变量全部是离散量，如现在的全数字化设备、计算机集成制造系统等；,系统工作在连续和离散两种状态的混合状态：对于这种系统，其状态变量、输入变量和输出变量既有连续时间型的模拟量，又有离散时间型的离散量，如连续被控对象的采样控制系统就属于这种情况。,341线性连续系统状态方程的离散化,线性连续系统的时间离散化问题的数学实质，就是在一定的采样方式和保持方式下，由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型，并建立起两者的各系数矩阵之间的关系式。,为使连续系统的离散化过程是一个等价变换过程，必须满足如下条件和假设：在离散化之后，系统在各采样时刻的状态变量、输入变量和输出变量的值保持不变。保持器为零阶的，即加到系统输入端的输入信号u(t)在采样周期内不变，且等于前一采样时刻的瞬时值，故有,采样周期T的选择满足申农(Shannon)采样定理，即采样频率 大于2倍的连续信号 的上限频率。满足上述条件和假设，即可推导出连续系统的离散化的状态空间模型。,一、线性定常连续系统的离散化,利用状态方程的求解公式以保证状态在采样时刻连续状态方程和离散化状态方程有相同的解来进行离散化,连续系统的状态方程的求解公式如下：,取,，,假定 在采样周期内保持不变,令,则上式可记为,对任意的,和,成立的条件为,2近似离散化方法,在采样周期较小，且对离散化的精度要求不高的情况下，用状态变量的差商代替微商来求得近似的差分方程。,近似离散化的计算公式：,一般说来，采样周期T越小，则离散化精度越高。,二、线性时变连续系统的离散化,线性时变连续系统的状态方程的离散化，就是利用时变系统的状态轨迹求解公式来进行离散化。,线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下,【例315】试写出下列线性时变连续系统的离散化系统的状态方程。,解：由例3-9，该系统的转移矩阵函数为,因此，由上述离散化计算公式，可分别计算,将上述计算所得的,代入，则求得离散化状态方程如下,342 线性离散系统状态方程的解,一、线性定常离散系统状态方程的解,1递推法,考虑离散时间系统：,则有：,状态转移矩阵的性质：,离散系统状态转移方程：,或：,2.Z变换法,考虑离散时间系统：,取Z变换得：,取Z反变换得：,由解的唯一性可得：,例3.4.1,考虑离散时间系统：,其中：,试求 时系统的状态解。,解法1（递推法）,由此递推下去，可得到状态的离散时间的解。,.,解法2：（Z变换法）,用Z变换法，先计算 则有：,则有：,因 所以,Z反变换得：,3.5 MATLAB在线性系统动态分析中的应用,3.5.1应用MATLAB计算线性定常系统的矩阵指数(状态转移矩阵)3.5.2应用MATLAB 求定常系统时间响应 3.5.3应用MATLAB 变连续状态空间模型为离散状态空间模型,3.5.1应用MATLAB计算矩阵指数 1.应用MATLAB 符号数学工具箱求矩阵指数闭合解析式,【例 1】已知,应用MATLAB求,%MATLAB Program 2_1a,syms s t%定义基本符号变量s 和t,A=4,0,0;0,3,1;0,1,3;,FS=inv(s*eye(3)-A);%求预解矩阵,eAt=ilaplace(FS,s,t);%求,eAt=simplify(eAt)%化简 的表达式,解 MATLAB Program 2_1a给出了基于拉普拉斯变换求 的MATLAB 程序。,2.应用数值矩阵的指数运算函数expm（）求 对应于（为某一常数）的值,MATLAB Program 2_2给出了调用expm（）求例 中矩阵A的矩阵指数 对应于 的值 的MATLAB 程序。,%MATLAB Program 2_2,A=4,0,0;0,3,1;0,1,3;,T=0.1;,eAT=expm(A*T),3.应用MATLAB 符号数学工具箱求离散系统状态转移矩阵解析式,【例 2】已知离散系统状态方程为,应用MATLAB求其状态转移矩阵 的解析式,解 上例中已采用四种方法求出了系统的，MATLAB Program 2_3给出了基于Z变换求 的MATLAB 程序。,%MATLAB Program 2_3,syms z k%定义基本符号变量z和k,G=0,1;-0.2,-0.9;,Fz=(inv(z*eye(2)-G)*z;%求,Fk=iztrans(Fz,z,k)%调用Z反变换指令求,Fk=simple(Fk)%将符号运算结果表达式转换为最简形式,与例前例求解结果一致，MATLAB Program 2_3 程序运行结果如下：,Fk=5*(-2/5)k-4*(-1/2)k,10*(-2/5)k-10*(-1/2)k-2*(-2/5)k+2*(-1/2)k,-4*(-2/5)k+5*(-1/2)k,3.5.2 应用MATLAB 求定常系统时间响应,1.状态方程的数值解,常微分方程数值解一般使用逐步积分的方法实现，RungeKutta法是应用最多的一种微分方程数值解法。MATLAB提供的ode23（）、ode45（）是分别采用2/3阶、4/5阶RungeKutta法的常微分方程数值求解的函数，一般ode45（）较ode23（）运算速度快，两者调用格式相同，即,其中,xfun为由m函数定义的一阶微分方程组的m函数名，该m函数必须以状态向量x的一阶导数为输出。若原方程为高阶微分方程，应通过第1章的“实现”方法将其转换为一阶微分方程组，即状态空间表达式；,t0和tf分别为积分的起始和终止时间，单位为秒；x0为状态向量的初始值；t和x均为返回值，其中t为离散时间列向量；x为解向量构成的矩阵，其第j列为第j个状态变量与t相对应的解向量，j=1,2,n。,【例3】已知系统状态空间表达式为,设x(0)=0，试求u(t)=1(t)为单位阶跃函数时系统时间响应的数值解。,解 MATLAB Program 2_4a建立了描述系统状态方程的m函数ode_example.m。,%MATLAB Program 2_4a,%ode_example.m,function sx=ode_example(t,x)%sx为状态列向量x的导数,sx(1,1)=-10*x(1)-35*x(2)-50*x(3)-24*x(4)+1;%sx应按状态方程编写,sx(2,1)=x(1);%sx是与x同维的列向量,sx(3,1)=x(2);,sx(4,1)=x(3);,将MATLAB Program 2_4a保存为名为ode_example.m的m文件，且将保存ode_example.m的路径设置成当前路径。,MATLAB Program 2_4b为调用求解函数求状态方程和输出响应数值解的程序，图2-4所示为状态方程和输出响应数值解曲线。,%MATLAB Program 2_4b,x0=0;0;0;0;%设置初值条件t0=0;tf=6;tspan=t0,tf%设置积分起始和终止时间t,x=ode45(ode_example,tspan,x0);%调用求解函数求状态方程数值解y=24*x(:,4);%据输出方程求输出响应的数值解subplot(1,2,1),plot(t,x(:,1),k,t,x(:,2),-.r,t,x(:,3),:b,t,x(:,4),-k)%绘状态方程数值解曲线gtext(x1)gtext(x2)gtext(x3)gtext(x4)subplot(1,2,2)plot(t,y,k)%绘输出响应数值解曲线gtext(y),图3-4状态方程和输出响应数值解曲线,2状态方程的解析解,MATLAB Symbolic Math Toolbox提供的dsolve（）为求常微分方程解析解的指令，其调用格式为,S=dsolve（eqn1，eqn2，）,其中，eqn1,eqn2,为输入参数，其为描述常微分方程、初始条件及独立变量的字符表达式。微分方程是必不可少的输入参数，多个方程或初始条件可在一个输入参数内联立输入，且以逗号分隔；若独立变量默认,则小写字母t为独立变量；若要定义其它独立变量，则由全部输入参数eqn1,eqn2,中的最后一个参数定义。,在输入参数中，描述常微分方程规定用字符D代表对独立变量的导数（因此，用户所定义的字符变量不应含有字符D），例如若t为独立变量，y为t的函数，则Dy代表dy/dt，D2y代表，D3y代表,；初始条件可采用形如y(a)=b或Dy(a)=b的字符（串）表达式给出。S为返回的存放符号微分方程解的构架数组。,3.基于状态空间模型的时域响应分析,MATLAB Control System Toolbox 提供了连续系统单位阶跃响应计算函数step()、单位脉冲响应计算函数impulse()、零输入响应计算函数initial()、任意输入（包括系统初始状态）响应计算函数lsim()，与此对应，dstep()、dimpulse()、dinitial()、dlsim()分别为计算离散系统单位阶跃响应、单位脉冲响应、零输入响应、任意输入（包括系统初始状态）响应的函数。,例如，若给定线性定常连续系统、离散系统分别如式（3-83）、式（3-84）所示，则,执行step(A，B，C，D)指令，可得一组单位阶跃响应曲线，每条曲线对应于式（3-83）所示连续系统的输入/输出组合即在某一输入端单独施加单位阶跃信号作用下的某一输出响应，时间向量t的范围自动设定；,执行step(A，B，C，D，t)指令与执行step(A，B，C，D)指令一样，可得一组单位阶跃响应曲线，但时间向量t是由用户设定的；,执行step(A，B，C，D，iu)指令，可得式（3-83）所示连续系统从第iu个输入到所有输出的单位阶跃响应曲线；,执行y,x,t=step(A，B，C，D，iu)指令，可得式（3-83）所示连续系统从第iu个输入到所有输出y及状态x的单位阶跃响应数据，且返回函数自动设定的时间向量t，但不绘制响应曲线；,执行dinitial(G，H，C，D，x0)指令可得式（3-84）所示离散系统每一个输出的零输入响应曲线，取样点数由函数自动设定；,执行lsim（A，B，C，D，u，t，x0）指令可针对系统初始状态x0和输入u绘制系统所有输出（全）响应曲线，其中t为用户设定的线性等间距的时间向量；对多输入系统,u为数值矩阵，其列数等于输入信号数，第j个输入信号对应于t的离散序列构成u的第j列，行数等于时间向量t的维数。,【例4】设双输入双输出系统状态空间表达式为,且设、，系统初始状态为零。,1)分别求、单独作用下系统的输出响应；2),求 和 共同作用下系统的输出响应。,解 1）MATLAB Program 2_6a为调用step（）函数求、单独作用下系统输出响应曲线的程序，图3-5为程序运行结果。,%MATLAB Program 2_6a,A=-1,-1;25,-2;B=1,1;0,2;C=1,0;0,1;D=0,0;0,0;step(A,B,C,D)grid,图3-5、单独作用下系统输出响应,2）MATLAB Program 2_6b为求 和 共同作用下系统输出响应的MATLAB程序，图3-6为程序运行结果。,%MATLAB Program 2_6b,A=-1,-1;25,-2;B=1,1;0,2;C=1,0;0,1;D=0,0;0,0;t=0:0.01:4;%生成时间向量t,LT=length(t);%求时间向量t的维数（长度）,u1=ones(1,LT);u2=ones(1,LT);%生成单位阶跃信号对应于向量t的离散 序列，u1和u2均为与向量t同维的向量,u=u1;u2;%u1和u2的转置分别构成u的第1和第2列,lsim(A,B,C,D,u,t),grid,图3-6 和 共同作用下系统输出响应,3.5.3 应用MATLAB 变连续状态空间模型为离散状态空间模型,MATLAB Control System Toolbox提供的c2d（）函数可简化线性定常连续状态方程离散化系数矩阵的求解，若要将式（3-83）所示的线性定常连续系统变换为（3-84）所示的离散系统，且设控制输入端采用零阶保持器，T为采样周期，其调用格式为,G，H=c2d(A,B,T),