线性控制系统的动态分析.ppt
,状态转移矩阵线性定常系统状态方程的求解线性时变连续系统状态方程的求解 线性离散时间系统状态方程的求解,一、状态转移矩阵1、状态转移矩阵的基本定义 对于线性定常连续系统，当初时刻 时，满足如下矩阵微分方程和初始条件：解 为线性定常连续系统 的状态转移矩阵。特点：1）概念易于推广 2）更好地刻画系统状态运动变化的规律,2、状态转移矩阵的计算方法级数展开法 拉普拉斯变换法 齐次状态方程 两边取拉普拉斯变换：,得：为初始时刻的初始状态。约当规范型法（1）方阵A的n个特征值互异，A可以对角化,得：P是由A的特征向量 来构造（2）方阵A有n重特征值时，A不能变换为对角线标准型，只能使相似变换后的矩阵 为约当标准型J，即,为方阵A的重特征值，且,则 赛尔维斯特内插法 1）凯莱-哈密顿定理 A的特征方程：凯莱-哈密顿定理指出，矩阵A满足其自身的特征方程，即,2）最小多项式 定义n n维矩阵A的最小多项式为最小阶次的多项式 即 使 则 最小多项式的求解步骤：a.根据伴随矩阵，写出 作为分解多项式的各元素。b.确定各元素的最高公约式，选取 的 最高阶次系数为1，若不存在公约式，则 c.根据公式得到,3）赛尔维斯特内插法 基本思想：化 为A的有限项，然后通过求待定时间函数获得 的方法。设A的最小多项式阶数为m，则通过求解行列式（3-1）得到。此外，也可采用如下等价方法：将（3-1）按最后一行展开，得到：（3-2）,通过求解下列方程组 可确定出，进而代入式（3-2）即可求得 二、线性定常系统状态方程的求解 1、线性定常系统齐次状态方程的解 齐次状态方程是研究系统本身的自由运动，不考虑输入项。齐次状态描述,解得方程的解为：将 称为状态转移矩阵，并记为 当初始状态给定后，状态转移矩阵包含了自由运动的全部 信息。2、线性定常系统非齐次状态方程的解 状态描述方程，即：求解非齐次状态方程是为了研究输入作用下系统强迫运动的规律，下面介绍求解的几种方法：,1）直接求解法 将非齐次方程改写为：作如下变换：积分两边左乘 得：,若 则对应的初始状态方程的解为：2）拉普拉斯变换法 对式（3-3）求拉普拉斯变换，并移项整理,利用卷积分公式有 3）状态方程解得意义 线性定常系统有两部分叠加而成，它们分别是系统初始状态的初始运动和由输入引起的系统的强迫运动，其中强迫运动的值为输入函数与矩阵函数的卷积。通过选择适当的输入控制信号来达到期望的状态变化规律。,三、线性时变连续系统状态方程的求解 严格地说，实际控制对象都是时变系统，其系统结构或参数随时间变化。由于时变系统的数学模型复杂，不易于分析，优化和控制，在实际工程准许的情况下，可将慢时变系统作定常系统处理。对高精度控制系统需作时变系统处理。1、线性时变连续系统齐次状态方程的解 时变齐次状态方程为：式（3-4）的解为：表示了系统自由运动的特性，代表初始状态的转移，转移特性完全由 决定。,2、线性时变连续系统的状态转移矩阵 1、状态转移矩阵的求解 线性时变连续系统的状态转移矩阵 是下列微分方程和初始条件的的解 对（3-6）在时间域内进行积分有：,将 按式 展开，这样继续迭代下去并将各展开式代入 中：时变系统矩阵 与 满足矩阵乘法的可交换条件时，状态转移矩阵可表示为,可交换的充分必要条件是：3、线性时变连续系统非齐次状态方程的解 状态描述方程为：该非齐次状态方程的解为,比较线性定常连续系统与线性时变连续系统状态方程的解的表示形式 定常系统：时变系统：1）解的结构和形式相同，都是零输入和零状态响应的线性叠加。2）在 为时不变时，时变系统的 即为定常系统的。,四、线性离散时间系统状态方程的求解,图 3-1 连续系统离散化的实现,1、线性连续系统状态方程的离散化,线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采样方式保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型。1、线性定常连续系统的离散化 1）精确离散化 连续系统的状态方程的求解公式如下:考虑在采样时刻 和 时刻之间的状态响应，,于是,线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采样方式保持方式下,由系统的连续状态空间模型来导出等价的离散状态空间模型。1、线性定常连续系统的离散化 1）精确离散化 连续系统的状态方程的求解公式如下:考虑在采样时刻 和 时刻之间的状态响应，,于是,考虑到u(t)在采样周期内保持不变的假定,所以有 对上式作变量代换令,则上式可记为比较,可知两式对任意的 和 成立的条件为,将上式与线性定常离散系统的状态方程,上式即为精确离散化的计算式。2）近似离散化 所谓线性定常连续系统状态方程的近似离散化方法是指在采样周期较小,且对离散化的精度要求不高的情况下,用状态变量的差商代替微商来求得近似的差分方程。当采样周期较小时，有 代入连续系统的状态方程，有,与线性定常离散系统状态空间模型的状态方程比较，得近似离散化的计算公式：将上述近似离散法和精确离散法比较知,由于I+AT和BT分别是eAT和eAtdtB的Taylor展开式中的一次近似,因此近似离散化方法其实是取精确离散化方法的相应计算式的一次Taylor近似展开式。一般说来,采样周期T越小,则离散化精度越高。考虑实际的误差等因素，T不宜过小。,2、线性时变连续系统的离散化线性时变连续系统状态空间模型的离散化,实际上是指在指定的采样周期T下,将连续系统的状态方程变换成线性时变离散系统的如下状态方程:线性时变连续系统的状态方程的离散化,就是利用时变系统的状态轨迹求解公式来进行离散化。,连续系统状态方程的解可表示为:现在只考虑在采样时刻 和 时刻之间的状态响应 u(t)在采样周期内保持不变,所以有,比较下述两式可得线性时变连续系统离散化模型各矩阵如下,3、线性离散系统状态方程的解 1）线性定常离散系统状态方程的解由迭代法得：,递推法,状态方程：，G、H是定常矩阵。,给定 时的 初始状态x(0)，及任意时刻 u(k),由此得：,Z变换法,离散系统的状态方程：,对上式两边进行Z变换：,对上式两边进行Z反变换,对上式两边进行Z反变换,小结：,两种方法的解的结构是一致，均为初始状态的影响和初始时刻后输入的影响。,Z变换的方法Z的反变换后的结果与递推法的求解结果是一致的。,
