线性代数课件03.向量空间.ppt

,第三章,向量空间Rn,3.5 欧氏空间Rn,3.3 向量组的秩,3.2 一个n元向量组的线性相关性,3.1 向量及其线性组合,3.4 向量空间,-2-,3.1 向量及其线性组合,三维空间的向量:有向线段。,建立标准直角坐标系后，,它由一点 P 或一个三元数组(x,y,z)唯一确定。,我们还定义了向量的加法(即平行四边形法则)和向量的数乘两种运算。,-3-,建立坐标系的目的就是把向量的运算转化为数(坐标)的运算.,由于解线性方程组等实际的需要，我们要把三维空间中的向量进行推广(把几何向量代数化)。直接把 n 元的数组叫做(代数中的)向量，向量加法与数乘运算的定义直接平移三维向量坐标的运算。,-4-,定义,n 个数组成的有序数组,称为一个 n 维行向量或 n 维列向量,其中 称为该行(列)向量的第 i 个分量.行向量与列向量统称为向量.分量全是实数(复数)的向量称为实(复)向量,n 维实(复)向量的全体记为.以后如无特殊说明,向量均指实向量.约定:所书写的向量如无特殊说明均指列向量,而行向量用列向量的转置表示.向量的加法运算和数乘运算同矩阵的这两种运算一样.,或,-5-,由若干个同维数的列(行)向量组成的集合称为一个向量组.如无特殊说明,向量组总是指含有限个向量的向量组.,例如:mn 的矩阵 A 全体列向量是含 n 个 m 维列向量的向量组,简称 A 的列组;全体行向量是含 m 个 n 维的行向量组,简称 A 的行组.,再如:解的全体是一个含无穷多个 n 维列向量的向量组.,定义,-6-,观察如图三维空间中的向量,必有,再观察下面方程组增广矩阵的行组,有如下关系,这说明第(4)和第(5)个方程都是多余的,可以去掉.,-7-,向量是矩阵的特例，向量的相等、加、减、数乘运算对应于矩阵的相应运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。,在Rn中的向量满足以下8条规律：,其中 a、b、g 都是n维向量，k、l为实数。,向量的线性运算,-8-,解,，求,使,-9-,对于向量组,表达式,则称向量 可由向量组 A 线性表示.,通常写成,称为向量组 A 的一个线性组合.又如果 是向量组 A 的一个线性组合,即存在数 使,向量的线性表示,-10-,1零向量可由任一组向量线性表示。,中每个向量都可由向量组本身,2向量组,线性表示，,注意,3任一n元向量,都可由n元单位向量组,线性表示，即,-11-,n元线性方程组,可以用向量形式表示为,(1),其中,对应齐次方程组(2)可用向量形式表示为,，,线性方程组的向量表示,-12-,向量 可由向量组 线性表示,存在数 使,另外,如果解唯一,则表示方法是唯一的.如果,(按定义),(转换为方程组),(用矩阵的秩),方程组,-13-,解,记,不能由 A 线性表示;能由 A 唯一表示;能由 A 有无穷多种表示,并求所有表示方法.,设向量组 A:,具体解方程组过程略。,时,方程组无解,不能由 A 表示.,时,方程组有唯一解,可由 A 唯一表示.,-14-,时,方程组有无穷多解,可由 A 无穷多种表示.,通解为,所有表示方法:,其中 k 为任意实数.,即,第三章,3.5 欧氏空间,3.3 向量组的秩,3.2 一个n元向量组的线性相关性,3.1 向量及其线性组合,3.4 向量空间,向量空间Rn,-16-,3.2 一个n元向量组的线性相关性,看看三维空间中的向量(如图),这三个向量任何一个都不能由其它两个,向量线性表示,说明它们是异面的.,这三个向量在一个平面内(共面).,-17-,我们把上面这种向量之间的最基本的关系予以推广,并换一种叫法.,定义,线性相关与线性表示之间的关系,(证明略),-18-,等价定义,则称该向量组线性相关.否则,如果设,如何用数学式子表达,以便理论推导向量组的相关性?,定义1,-19-,存在不全为零的数 使,(按定义),(转化为方程组),齐次方程组,(用矩阵的秩),把向量组排成矩阵，如果矩阵的秩等于向量的个数就线性无关，否则如果矩阵的秩小于向量的个数就线性相关。,证明向量组线性相关性的基本方法,（向量方程）,-20-,线性相关.,线性无关.,例1,-21-,例2,设向量 可由线性无关的向量组,线性表示,证明表法是唯一的.,证 设有两种表示方法,由 线性无关,-22-,证明向量组 线性无关.,证,(1)式成为,(2),(2)式左乘,同理推出,例3,-23-,(参见P.99101),(1)“部分相关,则整体相关.等价地”,观察知 相关,从而 相关.,相关.,书P.98例2,-24-,(2)“个数大于维数必相关”,A 的列组是 4 个 3 维向量,必相关.,P.101推论1,如：,-25-,则 可由 A 唯一表示.,这由,有唯一解.,为以后引用方便,给它起个名子叫唯一表示定理.,P.99 定理,-26-,写成矩阵乘积:,从而,(4)向量 组 B 可由向量组 A 表示,则,(后者的 A,B是矩阵),存在矩阵 C 使得 B=AC,为以后引用方便,给它起个名子叫表示不等式.,也体现在P.108 性质3,-27-,(5)如果一个向量组能由向量个数比它少的向量组表示,则必相关（Steinitz定理）.,表示,又 mn,由表示不等式,从而 B 必相关.,P.107 引理1,-28-,(6)“短的无关,则长的也无关.等价地”,是无关的.,也是无关的.,P.101推论3,再如：,-29-,(7)含有n个向量的n元向量组线性相关（无关）,P.101推论2,由它构成的n阶矩阵的行列式,t 取何值时,下列向量组线性相关?,解,记,当 t=5 时,上面向量组线性相关.,例4,-30-,A,B 为非零矩阵且 AB=O,则,(A)A 的列组线性相关,B 的行组线性相关(B)A 的列组线性相关,B 的列组线性相关(C)A 的行组线性相关,B 的行组线性相关(D)A 的行组线性相关,B 的列组线性相关,设 说明 Ax=0 或 AX=O 有非零解,故r(A)n,从而 A 的列组相关;考虑转置,同样的道理,矩阵 列组即 B 的行组相关.,另,r(A)+r(B)n,r(A)0,r(B)0,得 r(A)n 和 r(B)n,从而 A 的列组线性相关,B 的行组线性相关.,例5,解,-31-,设 线性无关,问 满足什么条件,分析:这是一个向量组表示另一向量组的问题,就是矩阵乘法的关系。P.104,则,例6,-32-,设,(要讨论上面方程组何时有非零解),(由),-33-,线性相关,-34-,另证:,由于 是列满秩矩阵,故,-35-,例7,重要结论,设向量组 能由向量组,线性表示为,且A组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是,证法一(适用于一般的线性空间)设,-36-,上面方程组只有零解,即,由 线性无关,上式成立的充要条件是,-37-,证法二,由 线性无关,-38-,证明：,例8,第三章,向量组的线性相关性,3.5 欧氏空间,3.3 向量组的秩,3.2 一个n元向量组的线性相关性,3.1 向量及其线性组合,3.4 向量空间,-40-,3.3 向量组的秩,对于给定的向量组(可以含无穷多向量),如何把握向量之间的线性关系?(即哪些向量可由另外一些向量线性表示)，它们的本质不变量是什么？,希望:在一个向量组中能找到个数最少的一些向量,而其余的向量都可由这些向量线性表示.,由P.102 例7，我们来研究向量组之间的关系,-41-,如果向量组 中的每个向量都可由向量组 线性表示,则称向量组 B可由向量组 A 线性表示。,有解,(改写为矩阵),(转换为矩阵方程),(用矩阵的秩),设B由A表示如下：,定义1,向量组的等价,-42-,如果向量组 与向量组 可以相互表示,则称这两个向量组等价.,向量组 A 与向量组 B 等价,向量组的等价关系是不是等价关系?矩阵的等价与矩阵的行、列向量组等价有何关系？,(用矩阵的秩),设矩阵A经过有限次初等行（列）,变换为B，则A，B的行（列）向量组等价。,-43-,证明：,注：,-44-,在 中,能表示所有的3维向量,而且个数是最少的.因为,如果有 也能表示所有的向量,那么 也能表示,这与 线性无关矛盾(Steinitz).,这样 就可以作为 的坐标系.,极大无关组，向量组的秩,-45-,假设向量组 A 的部分组 A0 是所找的,即A0是A中所含向量个数最少的又能表示A中所有向量的向量组.首先 A0 要是线性无关的.否则,A0中至少有一个向量可由其余的向量表示,说明 A0 中向量个数不是最少的;其次 A0 中无关向量个数还要是最多的.否则,如果还有无关的部分组B0 所含向量个数比 A0 多,那么因B0可由A0 表示,B0 必相关,这就矛盾了.我们把A中满足上面两个条件的向量组叫做A的一个最大无关组，容易证明(稍后)最大无关组一定可以表示A中所有向量且表法是唯一的。,-46-,(1)线性无关,(2)A 中任意 r+1 个向量(如果有的话)都线性相关.,定义2,如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足,则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.,(2)A 中任一向量都可由 A0 表示.,定义,(1)线性无关,如果在向量组 A 中找到 r 个向量 满足,则称向量组 A0 是向量组 A 的一个最大无关组.,P.106,P.107,-47-,向量组 A 的最大无关组所含向量的个数 r(显然是唯一的)称为向量组 A 的秩.仍记为 r(A).只含零向量的向量组无最大无关组,规定其秩为0.,定义3,-48-,求向量组,的一个最大无关组和该向量组的秩.,同理,等也是最大无关组.,易求得,说明 A 中有一个 2 阶子式不为零.如取前两列前两行:,那么,从而 线性无关.,再看 A 的任意三列,因为,所以任意三列都是线性相关的.根据定义 就是一个最大无关组,-49-,阅读极大无关组秩的基本性质P.107-108，回答(以下向量组可无限),(1)最大无关组所含向量个数不会超过多少？最大无关组一定存在吗？(2)最大无关组唯一吗?它含向量个数唯一吗？(3)如果向量组的秩为 r,则其任一 r 个线性无关的向量都是其最大无关组吗?(4)向量组与其任一最大无关组等价吗?(5)向量组的任意两个最大无关组等价吗?(6)等价向量组的秩相等吗?(7)相互等价的向量组中所含向量个数最少的是哪个向量组？,-50-,极大无关组的求法,求向量组,的一个最大无关组并把其余向量用该最大无关组表出.,接例1,已求得一个最大无关组为,要求 用 表出,这相当于要解方程组,-51-,-52-,求向量,一个最大无关组,并把其余,向量用该最大无关组表出.,矩阵的秩=?,线性无关吗?,是最大无关组吗?,阅读书P.例3,-53-,-54-,是右边的最大无关组,是左边的最大无关组,总结,矩阵的行初等变换不改变矩阵的列向量组的线性关系。,引理2,-55-,注:以前我们把向量组与它们排成矩阵的符号混用，而且把它们的秩的符号也混用正是由于三秩相等这个原因。但对于无限向量组符号就不能混用了。,向量组的秩与矩阵秩的关系,三秩相等定理,-56-,P.110 例4,注：,第三章,向量组的线性相关性,3.5 欧氏空间,3.3 向量组的秩,3.2 一个n元向量组的线性相关性,3.1 向量及其线性组合,3.4 向量空间,-58-,3.4 向量空间,集合 对于加法及乘数两种运算封闭指,-59-,证明下列集合是向量空间,证,所以 构成了向量空间.,-60-,证,证明齐次方程组的解集,是一个向量空间.以后称为齐次方程组的解空间.,-61-,证明非齐次方程组的解集,不是向量空间.,证,设,而,S 对加法运算不封闭.,或,S 对数乘运算不封闭.,-62-,是向量空间.,证,-63-,定义,设 是一向量组,称,为由该向量组生成的(或张成的)向量空间.记为,-64-,设向量组 与向量组 等价,证明,同理,证,-65-,向量空间 V 的一个最大无关组,又称 V 的一个基(或坐标系).基所含向量的个数 r 又称为 V 的维数.记为 dim(V)=r.此时称 V 是 r 维的向量空间.,设有向量空间 及，若，就称 是的子空间,设 是由 维向量所组成的向量空间，则,定义,定义,-66-,设向量空间 V 的一个基为,则对 V 中的任一向量 可唯一地表示为,定义,数组 或向量 称为向量 在基 下的坐标.,的一个基显然就是向量组 的一个最大无关组，其维数就是该向量组的秩。,-67-,证明,都是 V 的基.dim(V)=?,并求向量,在这两个基下的坐标.,证,显然线性无关,又 V 中的任一向量,V 中任意两个线性无关的向量都是 V 的一个基,-68-,所以 在基 下的坐标为(3,5),为求 在基 下的坐标,需解方程组,求得坐标为(1,2).,-69-,第三章,向量组的线性相关性,3.5 欧氏空间,3.3 向量组的秩,3.2 一个n元向量组的线性相关性,3.1 向量及其线性组合,3.4 向量空间,-70-,n 维向量空间是三维向量空间的直接推广,但是只定义了线性运算,而三维空间中有向量夹角和长度的概念,它们构成了三维空间丰富的内容.,3.5 欧氏空间,我们希望把这两个概念推广到 n 维向量空间中.,在解析几何中,我们曾定义了向量的内积(数量积),建立标准的直角坐标系后,可用向量的坐标来计算内积,-71-,内积,一、内积的定义及性质,定义,令,-72-,性质,著名的Cauchy-Schwarz不等式,即,-73-,二、向量的长度及性质,定义,性质,(三角不等式用Cauchy-Schwarz不等式易证),-74-,单位向量,夹角.,三、单位向量和 n 维向量间的夹角,正交,-75-,四、正交向量组,若一个不含零向量的向量组 中的向量两两正交:,则称该向量组为正交向量组.又如果这些向量都是单位向量:,则称该向量组为规范正交向量组.若该向量组是一个向量空间 V 的基,又分别称为向量空间 V 的正交基和规范正交基.,-76-,例如:,是向量空间R3的一个规范正交基(通常称为自然基).,再如:,是下面向量空间V的一个规范正交基.,-77-,正交向量组必线性无关.,-78-,五、施密特正交化过程,设 是向量空间V的一个基(坐标系),如何在向量空间 V 中建立(规范)正交基(坐标系)?,找与 等价的正交向量组,-79-,设 线性无关,令,则 两两正交,且与 等价.,-80-,求 的一个规范正交基,并求向量,解 易知 线性无关,由施密特正交化过程,在该规范正交基下的坐标.,-81-,再单位化,当建立规范正交基后,求一个向量的坐标就特别方便,两边分别与 内积,-82-,-83-,六、正交矩阵,A 是正交矩阵,-84-,证(只证第三条),-85-,性质,(1)A是正交矩阵，则 和 都是正交矩阵；,(2)A，B都是正交矩阵，则AB也是正交矩阵；,(3)A是正交矩阵，则；,(4)P是正交矩阵，则，,即正交变换保持向量的长度不变。,