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    线性代数课件1-1-2n阶行列式的定义.ppt

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    线性代数课件1-1-2n阶行列式的定义.ppt

    第一章 行列式,一.二(三)阶行列式,二.排列与逆序,三.n 阶行列式的定义,四.行列式的性质,五.行列式按行(列)展开,六.Cramer 法则,行列式概念的形成,行列式的基本性质及计算方法,(定义),利用行列式求解线性方程组,本章安排,本章主要讨论以上三个问题。,首先来看行列式概念的形成,问题的提出:,分析二、三元线性方程组求解过程,二阶、三阶行列式的概念,引出,第一节 二阶与三阶行列式,1.二阶行列式,二元线性方程组:,由消元法,得,得,同理,得,于是,当,时,方程组有唯一解,为便于记忆,采用记号,称,为二阶行列式,其中,数,称为二阶行列式元素,为行标,表明元素位于第 行,为列标,表明元素位于第 列,注:,(1)二阶行列式 算出来是一个数。,(2)运算方法:对角线法则,主对角线上元素之积 副对角线上元素之积,因此,上述二元线性方程组的解可表示为,综上,令,则,,称 D 为方程组的系数行列式。,例1:,解方程组,解:,因为,所以,2.三阶行列式,类似地,为讨论三元线性方程组,记,称为三阶行列式,其中,数,称为元素,为行标,,为列标。,注:,(1)三阶行列式 算出来也是一个数。,(2)运算方法:对角线法则,例:,对于三元线性方程组,若其系数行列式,可以验证,方程组有唯一解:,其中:,第二节 n阶行列式的的定义,定义1:,由自然数1,2,n 组成的一个有序数组 称为一个 n 级排列。,例如:,12345 54321,51234 42135,53214 53124,都是数1,2,3,4,5的排列。,回忆:n个数的不同排列共有 个。,n!,自然排列:,按数的大小次序,由小到大排列:,思考:,n级排列中,自然排列只有一种,除此之外,任一n级排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。,12345.n,一、排列,定义2,1)在一个排列中,若某个较大的数排在某个较小的 数前面,就称这两个数构成一个逆序。,2)一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的,奇排列:,逆序数为奇数的排列。,偶排列:,逆序数为偶数的排列。,逆序数,,定义3,计算排列的逆序数的方法:,法 1:,n个数的任一n级排列,先看数1,看有多少个比1大的数排在1前面,记为,再看有多少个比2大的数排在2前面,记为,继续下去,最后至数n,前面比n大的数显然没有,,则此排列的逆序数为,例1,是偶排列。,是奇排列。,法 2:,n 级排列,的逆序数,法3:,例2:,求排列 3,2,5,1,4 的逆序数。,解:,(法1),(法2),(法3),例3:,求排列 4,5,3,1,6,2 的逆序数。,考虑,在 1,2,3 的全排列中,有 个偶排列:,有 个奇排列:,123,231,312,132,213,321,3,3,一般说来,在n个数码的全排列中,奇偶排列各占一半,定义4:,把一个排列中的任意两个数交换位置,其余数码不动,叫做对该排列作一次对换,简称对换。,将相邻的两个数对换,称为相邻对换。,定理1:,对换改变排列的奇偶性。,证明思路:,先证相邻两数的对换,再证一般对换。,定理2:,时,n个数的所有排列中,奇偶排列各占,一半,各为,个。,证明:,设n个数的排列中,,奇排列有 p 个,偶排列有 q 个,,则 pqn!,对 p 个奇排列,施行同一对换,,则由定理1得到 p 个偶排列。(而且是p个不同的偶排列),因为总共有 q 个偶排列,所以,同理,所以,二.3阶行列式的规律,观察三阶行列式,寻找规律:,1.三阶行列式是 3!项的代数和。,2.每一项都是取自不同行、不同列的 3 个元素的乘积。,3.(每项的符号规律),其任一项可写成:,其中,是123的一个排列,当,是偶排列时,项,取正号,当,是奇排列时,项,取负号,根据二、三阶行列式的构造规律,我们来定义 n 阶行列式,定义5:,n 阶行列式,指的是n!项的代数和,,其中每一项都是取自不同行、不同列的 n 个元素的乘积,,其一般项为,这里,是12n的一个排列,当,是偶排列时,项前面带正号,当,是奇排列时,项前面带负号,三.n 阶行列式的定义,即,其中,表示对所有n元排列取和,注:,(1)当n=1时,一阶行列式,此处,不是a的绝对值,,例如行列式,定义表明,计算n阶行列式,首先必须作出所有的可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积,把这些乘积的元素的第一个下标(行标)按自然顺序排列,然后看第二个下标(列标)所成的奇偶性来决定这一项的符号。,例4,写出四阶行列式中含有因子,的项。,例5,若,为四阶行列式的项,试确定i与k,使前两项带正号,后一项带负号。,例7,计算四阶行列式,例6,计算行列式,四个特殊行列式,(1),上三角形行列式(主对角线下侧元素都为0),(2),下三角形行列式(主对角线上侧元素都为0),(3),(显然),(4),定理3,在行列式中,的符号等于,证明:,由行列式定义可知,确定项,的符号,,需要把各元素的次序进行调动,使其行标成自然排列。,为此,我们先来研究若交换项(1)中某两个元素的位置时,其行标和列标排列的奇偶性如何变化。,对换任意两元素,相当于项(1)的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换。,设对换前行标排列的逆序数为s,列标排列的逆序数为t。,设经过一次对换后行标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,由定理,对换改变排列的奇偶性,所以,,是奇数,也是奇数,所以,是偶数,,即,是偶数,,所以,与,同时为奇数或同时为偶数。,即,交换项(1)中任意两个元素的位置后,其行标和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。,另一方面,经过若干次对换项(1)中元素的次序,总可以 把项(1)变为,所以,得证。,由此,得行列式的等价定义,作 业,习题一:1;4(1)(2)(4);7(1),

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