线性代数第五章第一节矩阵的特征值与特征向量.ppt

第五章,特征值、特征向量、矩阵的相似,第五章第一节,矩阵的特征值与特征向量,工程技术中的振动问题和稳定性，往往归结为一个方阵的特征值和特征向量的问题.特征值、特征向量的概念，不仅在理论上起着十分重要的作用，而且可以直接应用于许多实际问题。,定义 设A为复数域C上的n阶矩阵,如果存在数0C和非零的n维向量X0,使得AX0=0X0,就称0是矩阵A的特征值（eigenvalue）,X0是A的属于(或对应于)特征值0的特征向量（eigenvecter）.注意:特征值问题是对方阵而言的,本章的矩阵如不加说明,都是方阵.,AX0=0X0(1)特征向量一定是非零向量.(2)特征向量是属于某一个特征值的,它不能同时属于两个不同的特征值.(3)有了一个特征向量,就可以有无穷多个特征向量.,特征值和特征向量的性质性质1 若X1和X2都是A的属于特征值l0的特征向量,则X1+X2也是A的属于l0的特征向量(其中X1+X20),证明：,性质2 若X0是A的属于特征值l0的特征向量,则kX0也是A的属于l0的特征向量(其中数k0),证明：,性质3 若X0是A的属于特征值l0的特征向量,则,证明,如何求得矩阵A的特征值和特征向量呢?式子AX=lX(lE-A)X=0.由于X是非零向量,故齐次线性方程组(lE-A)X=0有非零解,而这等价于|E-A|=0.,定义 称,为A的特征多项式,它是以l为未知数的一元n次多项式,也记为f(l).称|lE-A|=0为A的特征方程.E-A称为A的特征矩阵。,性质4 X0是A的属于特征值l0的特征向量,性质5 l0是A的特征值,我们举例说明求特征值、特征向量的步骤.,特征值、特征向量的求法,例1 求矩阵A的特征值和特征向量,第一步：写出矩阵A的特征方程，求出全部特征值（注明重数）.,解,所以A的特征值为,当 时,解方程组.,由,二重特征值,得同解方程组（用消元法或直接对系数矩阵作初等变换均可）,解得基础解系,所以，对应于 的全部特征向量为,得同解方程,当 时，解方程组，,由,求得基础解系为,所以,对应于 的全部特征向量为,注意,(1)实矩阵的特征根不一定是实数，且复数 根是共轭出现的.,(2)一般n阶矩阵有n个特征根.包括实根和成对的共轭复根（均可能是一重或多重根）,属于实矩阵A的复特征根的特征向量也是复向量，求法与实特征向量并无不同。,例如，属于特征值 的特征向量为：,且 仍然是矩阵,分别对应于 的特征向量。,假定 是n阶矩阵 的n个特征值,则,关于特征值的一些性质,称为矩阵的迹（trace）,比较得：,由上式知，矩阵A为奇异矩阵的充分必要条件是A的特征值至少有一个为零.,例3,例4,课后思考题,解,思考题解答,方法一,方法二,方法三,设A2=A,则A的特征值只能是0或1.证明 设Ax=lx.l是A的特征值.则A2x=lAx=l2x.又有A2x=Ax=lx,故得lx=l2x,即(l-l2)x=0.由于x是非零向量,故l-l2=0,即l=0或l=1.,