线性代数第五章向量空间.ppt

向量空间,定义,基和维数,子空间,内积和标准正交基,向量空间的定义(表示),V是数域 P上n元向量的一个非空集合，若对V中向量的加法和数乘仍在V 中（运算封闭），且满足运算规律，则V为数域 P上的一个向量空间。,P上n元向量的全体,称为n元向量空间。,向量空间V中若向量组 为极大线性无关组，则称其为向量空间V的一组基,维数：基中所含向量的个数，,向量空间-基和维数,的基和维数：由n个n元向量组成的极大线性无关组。故基不唯一。,的两组基，向量 经基(I)线性表示为,向量空间-过渡矩阵,M称为基(I)到基(II)的过渡矩阵。（M可逆？）,的两组基，向量 在基(I)、(II)的坐标分别为,向量空间-过渡矩阵,1.设W是数域P上向量空间V的一个非空子集，若W关于V的两种运算也构成数域P上的向量空间，则称W为V的一个向量子空间（子空间）。,向量空间-子空间,2.向量空间 的一个非空子集W，若关于 加法和数乘封闭，W就是 的一个子空间。,3.，若系数矩阵在数域P上，则解向量全体 是 的一个子空间，且,欧几里得空间：定义了内积的向量空间。,向量空间-内积和标准正交基,内积：实数域 上的向量空间 中的任意两个向量称实数 为向量 的内积，记为,中任意向量，k为任意实数。,向量空间-内积和标准正交基,向量的长度：,单位向量：,单位化（标准化）：,欧氏空间中的向量：,两向量正交：,单位正交向量组：一组两两正交的单位向量。,标准正交基：由n个单位向量组组成的正交向量组,正交矩阵（n阶实矩阵）：,向量空间-内积和标准正交基,正交矩阵（n阶实矩阵）：,标准正交基：,向量空间-向量组等价,向量组等价：若两个向量组可以互相表示。,对于n维欧氏空间中任意一组基，都可以找到一组标准正交基，且两组基等价。,给定任意一组基，如何求出它的标准正交基？,向量空间-标准正交基,正交基,标准规范化的施密特方法,向量空间-作业,P139 6,P142 3(1),3(2),P147 6,7,