线性代数第1章行列式n阶行列式的定义.ppt

引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,一、全排列及其逆序数,第二节 n 阶行列式的定义(I),问题,定义,把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示.,由引例,同理,在一个排列 中，若数 则称这两个数组成一个逆序.,例如 排列32514 中，,定义,我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.,排列的逆序数,3 2 5 1 4,定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.,计算排列逆序数的方法,方法1,分别计算出排在 前面比它大的数码之和即分别算出 这 个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.,逆序数为奇数的排列称为奇排列;,逆序数为偶数的排列称为偶排列.,排列的奇偶性,分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法2,例1 求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;,2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,5的前面没有比5大的数,其逆序数为0;,1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3;,4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,二、对换,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,定理2.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,除 外，其它元素的逆序数不改变.,当 时，,经对换后 的逆序数不变，的逆序数减少1.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当 时，,现来对换 与,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,证明,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此,知推论成立.,2 排列具有奇偶性.,3 计算排列逆序数常用的方法有2 种.,1 个不同的元素的所有排列种数为,小结,4 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,思考题,分别用两种方法求排列16352487的逆序数.,思考题解答,解,用方法1,1 6 3 5 2 4 8 7,用方法2,由前向后求每个数的逆序数.,思考题,证明 在全部 阶排列中,奇偶排列各占一半.,思考题解答,将 个奇排列的前两个数对换,则这 个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以,故必有,