线性代数相似矩阵与二次型第4节二次型及其标准型.ppt

1,一.二次型及其矩阵表示,1.二次型、二次型的矩阵、二次型的秩,1.二次型、二次型的矩阵、秩2.非退化线性变换3.矩阵的合同,称为二次型。（1）,2,（我们仅讨论实二次型）,实二次型：为实数。,复二次型：为复数。,例如：,都是二次型。,不是二次型。,3,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形（或法式）。,例如：,都为二次型；,为二次型的标准形。,4,取,则,则（1）式可以表示为,二次型用和号表示,5,6,令,则,其中 为对称矩阵。,二次型的矩阵表示,例如：二次型,7,在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一确定一个二次型这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,把对称矩阵 称为二次型 的矩阵,也把二次型 称为对称矩阵 的二次型,对称矩阵 的秩称为二次型 的秩,8,例1：求二次型 的矩阵,解：,解：,9,解：,10,例2：求对称矩阵 所对应的二次型。,解：,例3：已知二次型 的秩为2，求参数c。,解：,11,2.非退化线性变换（可逆线性变换）,系数矩阵,线性变换，记作（2）,则线性变换（2）可记作：,12,对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换,使二次型只含平方项.,即二次型,经过可逆线性变换,这种只含平方项的二次型，称为二次型的标准型,使得,13,3.矩阵的合同,经过非退化线性变换,可化为,则,14,因为,以上说明：,15,矩阵的合同：,所以，通过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.,矩阵合同的性质：,(1)反身性,(2)对称性,(3)传递性,16,注释：,2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）,“合同”定义中，矩阵A、B为一般方阵，但实际中，多针对对称矩阵考虑合同关系,任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同 与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵,