线性代数同济第五版.ppt

相似矩阵及二次型,第五章,1 向量的内积、长度及正交性,1.定义：,内积,一、内积的定义及性质,注：,2.内积的运算性质,（施瓦兹不等式）,1.定义：,令,2.性质：,二、向量的长度及性质,3.单位向量：,4.n维向量间的夹角,1.正交的概念,2.正交向量组的概念,三、正交向量组的概念及求法,证明：,3.正交向量组的性质,4.向量空间的正交基,5.规范正交基,如，,（）正交化：,（2）求规范正交基的方法,步骤：,取，,（）单位化：,取,施密特正交化 过程,解：,取,先正交化.,再单位化，,得规范正交向量组如下：,1.正交矩阵,（2）定理：,四、正交矩阵与正交变换,（1）定义：,注：,（3）性质：,正交变换保持向量的长度不变,若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,2.正交变换,（1）定义：,（2）性质：,例2 判别下列矩阵是否为正交阵,解：,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,所以它是正交矩阵,由于,解：,2 方阵的特征值与特征向量,注：,一、特征值与特征向量的概念,2.特征方程与特征多项式,3.特征值的性质,例1,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,小结：,二、特征值和特征向量的性质,注：,10 属于不同特征值的特征向量是线性无关的,30 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值,证:,再继续施行上述步骤 次，就得,（1）,（2）,例3 设A是 阶方阵，其特征多项式为：,解：,AT与A有相同的特征多项式，也有相同的特征值,1将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化,小结：,2 为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：,思考题：,思考题解答：,