线性代数3.2相似矩阵与矩阵可对角化的条件.ppt

如果存在一个 阶,可逆矩阵，,本节研究这样的问题。,3.2 相似矩阵与矩阵对角化的条件,对角矩阵是矩阵中最简单的一种.,给定矩阵能否转化为,对角矩阵并保持原有性质？,一、相似矩阵及其性质,定义3.3,设,为两个 阶矩阵,使得,（3.2.1）,则称,与 相似，,记作.,例如,定义3.3 设A,B是n 阶矩阵,例如,一、相似矩阵及其性质,如果存在n阶可逆矩阵P,成立,则称矩阵A与B相似,使得,记为,则。,设，,例1,使得,对,解：,存在,可逆矩阵，,所以。,可以有,附注1：,对于可逆矩阵，,于是。,是对角矩阵？。,附注2：,1）与矩阵A相似的矩阵不是唯一的，,也不都全,是对角矩阵；,2）可以构造许多矩阵与A相似，,哪些可以得到,和传递性.,如果，,即,相似是矩阵间的一种重要关系，,是等价关系,即相似矩阵具有,反身性、,对称性,反身性；,那么；,对称性,那么。,传递性,如果，,（3）,（1）,（2）,由,事实上，,由,得到；,得到；,得到。,由,若,还有许多性质：,附注3：,除上述等价性质外，,则.,推论1,（反之未必！）,推论2,若,则，,即相似的矩阵,有相同的秩.,有。,推论3,若,则,具有相同的可逆性，,可逆时,具有相同的特征值。,定理3.7,设，,则矩阵,具有相同的特征多项式，,证明：,这表明矩阵 具有相同的特征多项式，,从而具有相同的特征值。,设,其中 为正整数。,定理3.8,设，,则,有,证明：,对任意为正整数，,所以,3）.,推论4,则,1）;,2）;,条件是,就称 可以对角化.,为 阶矩阵,若 可以相似于一个对角阵,二、矩阵可对角化的条件,可以证明下面矩阵可对角化的充分必要条件。,定义,设,对角阵,称为 的相似,标准形,矩阵。,例如,例1中矩阵是有相似标准形的，,并非所有矩阵都有相似标准形存在。,但以后将会看到,事实上，,个线性无关的特征向量.,证明：略.,定理3.9,阶矩阵,相似于,阶对角阵,的充分必要,有,可以对角化.,推论,阶矩阵,如果有 个不同的特征值,则 可以对角化.,即如果 的特征多项式无重根,则,证明：略.,定理3.10,设,是 的所有不同的特征值,而 的属于特征值,的线性无关的特征向量的个数为,(),则,可以对角化的充要条件,是.,可以对角化的充要条件是,注1),设,是 的所有不同的特征值,则,是唯一确定的.,注2）设,可以对角化,则,主对角线上的,元素就是所有的特征值,(重根按重数计算),它除了,主对角线上元素的排列顺序外,三、矩阵可对角化范例,例2 对上节例4，,，,特征值,（二重），,属于 的线性无关特征向量为，,属于8的特征向量为,根据定理4.1知,该矩阵可以对角化。,，,取,。,则,根据定理4.1知该矩阵不可对角化。,例3 对上节例5，,特征值,（二重）,属于1的线性无关特征向量为,属于2的特征向量为,应满足的条件。,例4 设矩阵,可相似于一个对角矩阵，,试讨论,解：,矩阵 的特征多项式为,特征值为，,（二重），,系数矩阵的秩为1。,由 可相似于一个对角矩阵知,属于1的线性无关特征向量,应有两个。,于是，,对应齐次线性方程组,由,应满足的条件。,知必有，,这是所给矩阵,可相似于一个对角矩阵,形如,的矩阵都是可对角化矩阵。,模仿本例，,所满足的条件。,可讨论其它矩阵,在对角化矩阵假设下,基础解系。,并求。,例5 判断矩阵,是否可相似于一个对角矩阵，,（二重）。,解：,矩阵 的特征多项式为,特征值为，,对于，,解齐次线性方程组，,得到,对于，,解齐次线性方程组，,得到基础解系。,于是得到三个线性无关的特征向量,，,因此它可以相似一个对角矩阵。,且有,从而有,这里不作详细介绍。,并不是所有矩阵都可以对角化，,但可以准对角化。,这就是若当典范形问题,其中 是复数.,定义,形式为,的矩阵,称为若当矩阵块,其一般形状如,由若干个若当块,组成的准对角阵,称为若当矩阵,四、矩阵的若当典范形简介*,