线性代数(同济五版)第五章第三节.ppt

第四节 对称矩阵的对角化,实对称方阵的特征值与特征向量,实对称矩阵的正交相似对角化,第五章 相似矩阵及二次型,一、实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,定理5 实对称矩阵的特征值一定为实数；,定理6 实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；,设1,2是实对称矩阵A的两个特征值,【证明】,是分别对应于1,2的特征向量，,=,因A对称，,且,即,故,即 与 正交.,定理7,设A为n阶实对称矩阵，,则必存在n 阶正交矩阵P,使得,其中 是A的n个特征值.,二、实对称矩阵的正交相似对角化,推论:设A为n阶实对称矩阵,是A的特征方程的r重根，则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r；从而对应特征值恰有r个线性无关的特征向量,1、求实对称矩阵A的全部特征值,即求解特征方程,的全部根；,事实上,做完这一步,就已经求出A的相似对角阵.,2、将每一个特征值分别代入,求出基础解系,将基础解系正交规范化；,3、做正交矩阵P;,4、,下面,给出对称阵A对角化的步骤,例1,设,求一个正交矩阵P,使P-1AP为对角阵.,解,(1)求特征值,故得特征值,(2)求出基础解系特征向量,当 时,由,得基础解系,当 时，由,得基础解系,将基础解系正交规范化；,将 正交化得,再将 单位化得,再将 单位化得,(3)做正交矩阵P,(4)对角阵,做题中注意几个问题,实对称阵的重特征值对应的特征向量有 多种取法，故这里的可逆矩阵不唯一。,由于实对称阵的不同特征值对应的特征向 量是相互正交的，在计算过程中应作为检 查的内容，看是否计算正确。,对于重特征值，需将其对应的两个线性无 关的特征向量进行正交，正交化后的向量 仍是特征向量。,例2,设矩阵A是3阶实对称阵，,A的特征值为 1,2,2,与,都是矩阵A的属于特征值2的特征向量.,求A的属于特征值1的特征向量，并求矩阵A.,解,设 为A的属于特征值1的特征向量.,由题意可知,与 均与 正交，,即=0,=0，,解得,第五节 二次型及其标准形,二次型的定义及其矩阵化二次型为标准形,第五章 相似矩阵及二次型,1、定义,注：,称为n元二次型，简称二次型.,即形如,一、二次型的定义及其矩阵,二次型的标准形ki为1、-1、0时为规范形.,2、二次型的矩阵表示,令,于是,可写成,记,则二次型可记作,说明：,例1 已知二次型,写出二次型的矩阵A，并求出二次型的秩.,解,则,R(A)=3，即二次型的秩为3.,初等行变换,二、化二次型为标准形,解,【例2】,对于二次型f=xTAx，主要问题是：寻求一个可逆的线性变换,将二次型f=xTAx化为标准形,即,用矩阵表示即为,也就是要使CTAC成为对角阵。,因此，我们的主要问题就是：,对于给定的实对称矩阵A，寻求可逆矩阵C，使CTAC成为对角阵.,对给定的n阶实对称矩阵A，必存在n 阶正交矩阵P,使得,设给定两个n阶方阵A和B，如果存在可逆矩阵C，使得,则称矩阵A与矩阵B合同，或A、B是合同矩阵.,说明：,(1)矩阵C必须可逆,1、定义,(4)随着C的不同，与矩阵A合同的矩阵也不相同，即合同矩阵不唯一,(2)合同矩阵有相同的秩。,(3)任意实对称矩阵都与对角阵合同。,结论,任给可逆矩阵 C,令 B=CTAC，若 A 为对称矩阵，,则 B 也为对称矩阵，且 R(B)=R(A).,定理8,推论,用正交变换法化二次型为标准形的基本步骤：,3、求对应于各个特征值的n个规范正交的特征向量.,4、求正交变换矩阵P(注意列向量的排列顺序,矩阵P不唯一）,1、写出二次型的矩阵；,【例3】,2、求A特征值,【解】,3、求3个标准正交的特征向量,得基础解系,单位化,得基础解系,将 正交化得,则,若化为规范形怎么处理？,实对称矩阵的特征值与特征向量的性质,实对称矩阵的正交相似对角化问题.,(1)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必相互正交；,（2）设A为n阶实对称矩阵,是A的特征方程的r重根，则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r；从而对应特征值恰有r个线性无关的特征向量.,n阶实对称矩阵A，必与对角阵,相似，其中 是A的n个特征值.,实对称矩阵A，不但存在可逆的相似变换矩阵P，且一定存在正交的相似变换矩阵P，使P-1 A P=.,本次课小结,