线性代数(人大版)第12讲.ppt
2023/11/16,线性代数,1,线性代数第12讲,2023/11/16,线性代数,2,定理3.5 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关,则整个向量组线性相关.,2023/11/16,线性代数,3,证:设向量组a1,a2,as中有r个(rs)向量的部分组线性相关,不妨设a1,a2,ar线性相关,则存在不全为零的数k1,k2,kr使k1a1+k2a2+krar=o成立.因而存在一组不全为零的数k1,k2,kr,0,0,0使k1a1+k2a2+krar+0ar+1+0as=o成立.即a1,a2,as线性相关.,2023/11/16,线性代数,4,此定理也可如下叙述:线性无关的向量组中任何部分组皆线性无关.例6.含有零向量的向量组线性相关.因零向量线性相关,由定理3.5可知,该向量组也线性相关.,2023/11/16,线性代数,5,(三)关于线性组合与线性相关的定理定理3.6 向量组a1,a2,as(s2)线性相关的充分必要条件是:其中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性组合.,2023/11/16,线性代数,6,证:必要性因为a1,a2,as线性相关,故存在一组不全为零的数k1,k2,ks使k1a1+k2a2+ksas=o成立.不妨假设k10,于是,即a1是a1,a2,as的线性组合.,2023/11/16,线性代数,7,充分性如果a1,a2,as中至少有一个向量是其余s-1个向量的线性组合,不妨设a1=k2a2+k3a3+ksas因此存在一组不全为零的数-1,k2,k3,ks使(-1)a1+k2a2+ksas=o成立,即a1,a2,as线性相关.,2023/11/16,线性代数,8,例如,设有向量组a1=(1,-1,1,0),a2=(1,0,1,0),a3=(0,1,0,0),因为a1-a2+a3=o,故a1,a2,a3线性相关.由a1-a2+a3=o可得a1=a2-a3,a2=a1+a3,a3=-a1+a2,2023/11/16,线性代数,9,2023/11/16,线性代数,10,定理3.7 如果向量组a1,a2,as,b线性相关,而a1,a2,as线性无关,则向量b可由向量组a1,a2,as线性表示且表示法唯一.,2023/11/16,线性代数,11,证:先证b可由a1,a2,as线性表示.因a1,a2,as,b线性相关,因而存在一组不全为零的数k1,k2,ks及k,使k1a1+k2a2+ksas+kb=o成立.必有k0,否则,上式成为 k1a1+k2a2+ksas=o 且k1,k2,ks不全为零,这与a1,a2,as线性无关矛盾.因此k0.故,即b是a1,a2,as的线性组合.,2023/11/16,线性代数,12,再证表示法唯一.如果b=h1a1+h2a2+hsas且b=l1a1+l2a2+lsas则有(h1-l1)a1+(h2-l2)a2+(hs-ls)as=o成立.由a1,a2,as线性无关可知(h1-l1)=(h2-l2)=(hs-ls)=0即h1=l1,h2=l2,hs=ls,所以表示法是唯一的.,2023/11/16,线性代数,13,例如,任意一向量a=(a1,a2,an)可由初始单位向量组e1,e2,en唯一地线性表示.即a=a1e1+a2e2+anen,2023/11/16,线性代数,14,设有两个向量组a1,a2,as(A)及b1,b2,bt(B)如果组(A)中每一向量都可由组(B)线性表示,则称向量组(A)可由向量组(B)线性表示.,2023/11/16,线性代数,15,定理3.8 如果向量组(A)可由向量组(B)线性表示,而向量组(B)又可由向量组(C)线性表示,则向量组(A)也可由向量组(C)线性表示.证:设向量组a1,a2,as(A)b1,b2,bt(B)g1,g2,gp(C)如果 ai=bi1b1+bi2b2+bitbt(i=1,2,s)bk=ck1g1+ck2g2+ckpgp(k=1,2,t)将代入得,2023/11/16,线性代数,16,ai=bi1(c11g1+c12g2+c1pgp)+bi2(c21g1+c22g2+c2pgp)+bit(ct1g1+ct2g2+ctpgp)(i=1,2,s)整理后得ai=(bi1c11+bi2c21+bitct1)g1+(bi1c12+bi2c22+bitct2)g2+(bi1c1p+bi2c2p+bitctp)gp(i=1,2,s)即向量组(A)可由(C)线性表示.,2023/11/16,线性代数,17,定理3.9 设有两个向量组a1,a2,as(A)b1,b2,bt(B)向量组(B)可由向量组(A)线性表示.如果st,则向量组(B)线性相关.,2023/11/16,线性代数,18,证:由定理条件知bj=a1ja1+a2ja2+asjas(j=1,2,t)如果有一组数k1,k2,kt使k1b1+k2b2+ktbt=o成立.我们需要证明k1,k2,kt可以不全为零.把代入得k1(a11a1+a21a2+as1as)+k2(a12a1+a22a2+as2as)+kt(a1ta1+a2ta2+astas)=o整理后得,2023/11/16,线性代数,19,(a11k1+a12k2+a1tkt)a1+(a21k1+a22k2+a2tkt)a2+(as1k1+as2k2+astkt)at=o因为st,故齐次线性方程组,有非零解.,2023/11/16,线性代数,20,因此可取k1,k2,kt为上述齐次线性方程组的非零解.这个非零解可使成立,因而可使成立,即有不全为零的一组数k1,k2,kt使成立.所以,向量组(B)线性相关.,2023/11/16,线性代数,21,这个定理的另一种说法是:向量组(B)(共有t个),可由向量组(A)(共有s个)线性表示.如果向量组(B)线性无关,则ts.,2023/11/16,线性代数,22,推论 向量组(A)(共有t个向量)与(B)(共有s个向量)可以互相线性表示,如果(A),(B)都是线性无关的,则s=t.证:(A)线性无关且可由(B)线性表示,则st;(B)线性无关且可由(A)线性表示,则ts.于是s=t.,2023/11/16,线性代数,23,(四)向量组的秩设有向量组a1,a2,as,只要组中的向量不全为零向量,则至少有一个向量不为零向量,因而它至少有一个向量的部分组线性无关;再考察两个向量的部分组;如果有两个向量的部分组线性无关,则往下考察三个向量的部分组;依此类推.最后总能达到向量组中有r(s)个向量的部分组线性无关,而没有多于r(s)个向量的部分组线性无关,即向量组中r个向量的向量组线性无关的话,则是最大的线性无关的部分组.,2023/11/16,线性代数,24,2023/11/16,线性代数,25,向量组的极大无关组可能不止一个,但由定义可知,其向量的个数是相同的.例如,二维向量组a1=(0,1),a2=(1,0),a3=(1,1),a4=(0,2).因为任何3个二维向量的向量组必线性相关,又a1,a2线性无关,故a1,a2是a1,a2,a3,a4的一个极大无关组,同样a2,a3也是一个极大无关组.,2023/11/16,线性代数,26,2023/11/16,线性代数,27,2023/11/16,线性代数,28,2023/11/16,线性代数,29,定义3.8 向量组a1,a2,as的极大无关组所含向量的个数,称为向量组的秩,记为r(a1,a2,as)规定,全由零向量组成的向量组的秩为零.上例中二维向量组二维向量组a1=(0,1),a2=(1,0),a3=(1,1),a4=(0,2).,其秩r(a1,a2,a3,a4)=2.,2023/11/16,线性代数,30,为了叙述简化,我们把矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩;矩阵A的列向量组的秩称为矩阵A的列秩.定理3.11 A为mn矩阵,r(A)=r的充分必要条件是:A的列(行)秩为r.,2023/11/16,线性代数,31,证:必要性设A=(aij)mn,如果r(A)=r,则存在A的r阶子式不为零,不妨设,令,2023/11/16,线性代数,32,则由定义2.12知r(A1)=r,又由定理3.4的另一说法知,A1的r个列向量线性无关,即A中有r个列向量线性无关.再证明A的任何r+1个列向量线性相关.用反证法,假设A中有r+1个列向量线性无关,不妨设,为A的r+1个线性无关的列向量组成的矩阵,2023/11/16,线性代数,33,则由定理3.4的另一说法知r(A2)=r+1,由矩阵的秩的定义知,A2有r+1阶子式不为零,即A有r+1阶子式不为零,这与r(A)=r矛盾.因此A的任何r+1个列向量均线性相关.于是知A的列秩为r.,2023/11/16,线性代数,34,充分性如果A的列秩为r,不妨设A的前r列为A的列向量组的一个极大无关组.设,2023/11/16,线性代数,35,由定理3.4的另一说法,知r(A1)=r,故A1中有r阶子式不为零.再证A中任何r+1阶子式全为零.用反证法.假设A中有一个r+1阶子式不为零,不妨设,2023/11/16,线性代数,36,令,则r(A2)=r+1,即A2的r+2个列向量线性无关,亦即A的前r+1个列向量线性无关,这与A的列秩为r矛盾,故A的所有r+1阶子式均为零,于是r(A)=r,即r(A)等于A的列秩.,2023/11/16,线性代数,37,推论 矩阵A的行秩与列秩相等.因为行秩,列秩均等于r(A),2023/11/16,线性代数,38,2023/11/16,线性代数,39,2023/11/16,线性代数,40,类似地,如果对矩阵A仅施以初等列变换化为矩阵A,则A的行向量组与A的行向量组间有相同的线性关系(证明略).简言之,矩阵的初等行(列)变换不改变其列(行)向量间的线性关系.,2023/11/16,线性代数,41,例1.求向量组a1=(2,4,2),a2=(1,1,0),a3=(2,3,1),a4=(3,5,2)的一个极大无关组,并把其余向量用该极大无关组线性表示.解:对矩阵A=(a1T a2T a3T a4T)仅施以初等行变换:,2023/11/16,线性代数,42,2023/11/16,线性代数,43,由最后一个矩阵可知:a1,a2为一个极大无关组,且,2023/11/16,线性代数,44,例2.证明:如果向量组a1,a2,as与向量组b1,b2,bt可以互相线性表示,则r(a1,a2,as)=r(b1,b2,bt),r(a1,a2,as)=r(b1,b2,bt),2023/11/16,线性代数,45,例3.设Amn及Bns为两个矩阵,证明:A与B的乘积的秩不大于A的秩和B的秩,即r(AB)min(r(A),r(B)证:设A=(aij)mn=(a1,a2,an)B=(bij)nsAB=C=(cij)ms=(g1 g2 gs)即,2023/11/16,线性代数,46,因此有gj=b1ja1+b2ja2+bnjan(j=1,2,s),即AB的列向量组g1,g2,gs可由A的列向量组a1,a2,an线性表示,故g1,g2,gs的极大无关组可由a1,a2,an的极大无关组线性表示,由定理3.9及定理3.11有:r(AB)r(A).,2023/11/16,线性代数,47,类似方法:设,可以证明:r(AB)r(B)因此,r(AB)min(r(A),r(B),2023/11/16,线性代数,48,作业 习题三(A)第169页开始第15题学号小于2004021125的同学交作业,
