系统建模-最小二乘法.ppt

第二章 系统建模,2.2 系统建模概述,1 建模的重要性,“勾股定理”由于上升到“数学抽象/数学描述/数学模型”的具有普遍意义的理论高度，得以在工程力学、电磁学等许多领域所广泛应用，从而对科学与技术的发展产生了不可估量的影响。,勾股定理与数学模型,2.2 系统建模概述,电磁波的发现与数学模型,麦克斯韦（1831-1879）通过对前人成果的继承、归纳与推演而建立的“Maxwell方程组”，把电磁学提升到“数学抽象/数学模型”的理论高度。后来产生的电话、电报、无线电通讯、等成果都是它结出的“硕果”。,几点结论,把世间的现象/问题上升到“数学抽象/数学模型”的理论高度是现代科学发现与技术创新的基础。,“实验、归纳、推演”是建立系统“数学模型”的重要手段/方法/途径。,“数学模型”是人们对自然世界的一种抽象理解，它与自然世界/现象/问题具有“性能相似”的特点，人们可利用“数学模型”来研究/分析自然世界的问题与现象，以达到认识世界与改造世界的目的。,2.2 系统建模概述,目的要明确,方法要得当,结果要验证,同一个系统，不同的研究目的，所建立的模型也不同。,归纳推演类比移植,机理建模实验建模综合建模,逻辑方法,建模方法,验证所建立的模型能够“真实反映”实际系统,2 建模三要素,目的、方法和验证,2.2 系统建模概述,2.2 系统建模概述,系统建模过程示意图,2.3 系统建模方法,1 机理模型法,采用由一般到特殊的推理演绎方法，对已知结构，参数的物理系统运用相应的物理定律或定理，经过合理分析简化而建立起来的描述系统各物理量动、静态变化性能的数学模型。,例：直流电机,例 直流电动机,1.明确输入与输出：,输入ua 和ML，输出w,2.列写原始微分方程：,3.消除中间变量，并整理：,电机的反电势ed反电势常数kd电磁力矩M电磁力矩常数km,得,1.列写微分方程：,2.Laplace变换：,例：传递函数模型,3.局部传递函数框图：,4.系统传递函数框图：,2 实验建模法,采用由特殊到一般的逻辑、归纳方法，根据一定数量的在系统运行过程中实测、观察的物理数据，运用统计规律、系统辨识等理论合理估计出反应实际系统各物理量相互制约关系的数学模型。,2.3 系统建模方法,通过实验方法测得某系统的开环频率响应，来建立该系统的开环传递函数模型,(1)频率特性法,2.3 系统建模方法,(1)由已知数据绘制该系统开环频率响应bode图,(2)用20dB/dec及其倍数的折线逼近幅频特性，得到两个转折频率,相应的惯性环节时间常数为,(3)由低频幅频特性可知,2.3 系统建模方法,(4)由高频段相频特性知，该系统存在纯滞后环节，为非最小相位系统，系统的开环传递函数应为以下形式,(5)确定纯滞后时间值,再查图中,(6)最终求得该系统的开环传递函数模型G(s)为,(2)系统辨识法,2.3 系统建模方法,系统辨识法依据测量到的输入与输出数据来建立静态与动态系统的数学模型.,“数据、假设模型、准则”是系统辨识建模过程中的“三要素”。,2.3 系统建模方法,实验数据的平滑处理插值与逼近,所谓“插值”，就是求取两测量点之间“函数值”的计算方法，常用的有“线性插值”和“三次样条插值”。,线性插值,三样条插值,线性插值所建立的数学描述/模型在插值点上是“非光滑的”。三次样条插值可以较完美地逼近理想的数学描述/模型，其代价是计算量与存储空间的增加。,插值法及主要特性：,插值函数必须过所有插值数据点；,通常适用于数据点不是特别多的情形；,插值函数的应用主要局限于插值区间内部；,误差一般只考虑插值区间内的局部点；,插值函数必须过所有插值数据点；,插值函数的应用主要局限于插值区间内部；,知识回顾,插值区间外近似函数的表达式怎么求？,数据点特别多时，什么函数近似方法更有效呢？,问题1.,问题2.,数据拟合的最小二乘法,已知函数y=f(x)的数据点(xi,yi)(i=0,m)，,在函数空间=span0(x),1(x),n(x)中，,选择函数,(j为待定系数),使(x)到(xi,yi)(i=0,m)的距离最小。,一、数据拟合概述,不要求拟合函数(x)过所有数据点；,要求拟合函数(x)到插值数据点(xi,yi)(i=0,m)的整体距离最小；,拟合函数整体表现数据的趋势和规律，更利于结果在插值区间外的扩展和延伸；,一、数据拟合概述,一、数据拟合概述,拟合函数类的选择；,拟合函数(x)到插值数据点(xi,yi)(i=0,m)的距离的度量方式；,根据实际问题的性质，选择合适的拟合函数类；,通常可取的函数类有多项式类、三角函数类、指数函数类、幂函数类、样条函数类等；,常用的是不超过 n 次的多项式类；特别地，当n=1时，称为线性拟合或直线拟合；,拟合函数到插值数据点距离的度量方式不 同，得到不同的数据拟合方法；,已知函数y=f(x)的数据点(xi,yi)(i=0,m)，,1.最小二乘法定义,在函数空间=span 0(x),1(x),n(x)中，,求函数(aj*为待定系数)，,使拟合函数S*(x)与所有数据点的误差向量*的,分量平方和 最小；,二、最小二乘法定义,二、最小二乘法定义,如何求最小二乘解 S*(x)呢？,问题：,二、最小二乘法定义,2.最小二乘法示例,S*(x)=a*+b*x,S*(x)=x(a*+b*x),-(1),-(2),满足,在函数空间中，若函数,则称函数S*(x)为最小二乘问题的最小二乘解,三、最小二乘解,等价于求一组拟合系数 ai*|i=0,1,n，使得,1.拟合系数,因此求最小二乘解 的问题，,因S(x)与拟合系数 ai*|i=0,1,n一一对应,满足插值条件,将求最小二乘解问题转化为求拟合系数问题,转化一,三、最小二乘解,2.拟合系数与极值点,为拟合系数 ai|i=0,1,n 的二次函数，,三、最小二乘解,定义多元二次函数,则最小二乘解 的,拟合系数 ai*|i=0,1,n,为多元函数 的极小值点；,三、最小二乘解,就转化为求多元函数 的,因此求最小二乘解 的问题，,极值点 的问题；,将求拟合系数问题转化为函数的极值点问题,转化二,三、最小二乘解,3.法方程组,因极值点是驻点，所以极值点一定满足,整理,三、最小二乘解,是关于 的线性方程组，称为法方程组,-(3),按 整理,将函数的极值点问题转化为方程组解的问题,转化三,三、最小二乘解,4.法方程组的解,引入记号,三、最小二乘解,三、最小二乘解,则法方程组(3)可表示成矩阵形式,且法方程组的系数矩阵是对称的。,三、最小二乘解,由于 为函数类的基底，,相应的拟合函数 即为最小二乘解。,所以法方程组的系数矩阵非奇异，,因此法方程组有唯一解：,只需要求解法方程组，然后将解代入S*(x)即可。,因此：,三、最小二乘解,5.最小二乘法求解过程,散点图,拟合类,的基底,拟合函数(x),最小二乘解*(x),解法方程组,法方程组,数据点,手工预处理过程,最小二乘法的实现步骤,由数据表中的数值，点画出未知函数的粗略图形散点图；,依据散点图，确定拟合函数类及的基底；,根据最小二乘原理，确定拟合函数中的未知参数；具体步骤如下：,最小二乘法的实现步骤,(xi,yi),i=1,2,m,(a 0,b 0),例:,求拟合下列数据的最小二乘解,x=.24.65.95 1.24 1.73 2.01 2.23 2.52 2.77 2.99y=.23-.26-1.1-.45.27.10-.29.24.56 1,解:,从数据的散点图可以看出,因此假设拟合函数与基函数分别为,6.7941-5.3475 63.2589-5.3475 5.1084-49.008663.2589-49.0086 1002.5,1.6163-2.382726.7728,计算得法方程组的系数矩阵及常数项向量为,用Gauss列主元消去法,得,-1.0410-1.2613 0.030735,离散,三、最小二乘解,6.特别强调,最小二乘法是一种近似函数方法；,过程：,最小二乘解主要体现原函数的趋势和走向，以找出原函数的规律，在更大的范围得到较好的近似函数；,连续,离散,本节主要知识连连看,最小二乘法,数据点,组合系数ai*(i=0,1,n),法方程组,二次函数的极值点,解法方程组得：ai*(i=0,1,n),回代,2.3 系统建模方法,例：求 之间水的定压比热变化的数学模型问题,2.3 系统建模方法,例：求 之间水的定压比热变化的数学模型问题,2.3 系统建模方法,试用三次多项式,用最小二乘法求系数A0,A1,A2,A3.把数据代入到三次多项式后得到的平方和最小.,方程组的法方程,求解出上式的未知数,得所给数据的最小二乘拟合三次多项式为,2.3 系统建模方法,2.3 系统建模方法,最小二乘法的特点：,a.原理易于理解（不需要数理统计方面的知识；b.应用广泛（动态/静态系统，线性/非线性系统的辨识；c.所得的“估计值”具有条件最优的统计特性。,误差约为0.0017,3 综合建模法,2.3 系统建模方法,当对控制的内部结构和特性有部分了解，但又难以完全用机理模型的方法表述出来，这是需要结合一定的实验方法确定另外一部分不甚了解的结构特性，或是通过实际测定来求取模型参数。这种方法是机理模型法和统计模型法的结合，故称为混合模型法。,水轮发电机系统建模,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,例题,对于非线性系统,求取系统的阶跃响应.其中,系数 分别是 的函数,其值随 的变化为,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,的值为,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,的值为,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,的值为,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,的值为,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,对于 分别建立子系统.,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,2023年11月16日星期四,基于MATLAB/SIMULINK的系统建模与仿真,Simulink仿真实例,Outline,2.1 控制系统的数学模型,2.2 系统建模概述,2.3 系统建模方法,2.4 模型验证,2.6 问题与探究,2.5 系统建模实例,2.4 模型验证,在仿真实验过程中，其结果的有效性取决于“系统模型”的可靠性；因此，模型验证是一项十分重要的工作，它应该贯穿于“系统建模仿真实验”这一过程中，直到仿真实验取得满意的结果。,1 模型验证的内容,验证“系统模型”能否准确地描述实际系统的性能与行为；检验基于“系统模型”的仿真实验结果与实际系统的近似程度。,2 模型验证中应该注意的问题,模型验证工作是一个过程。模型验证工作具有模糊性。模型的全面验证往往不可能或者是难于实现的。,2.4 模型验证,3 模型验证的基本方法,(1)基于机理建模的必要条件法,(2)基于实验建模的数理统计法,通过对实际系统所存在的各种特性/规律/现象（人通过推演/经验可认识到的系统的必要性质/条件）进行“仿真模拟/仿真实验”，通过仿真结果与“必要条件”的吻合程度来验证系统模型的可信性/有效性。,通过考察在相同输入条件下，系统模型与实际系统的输出结果在一致性/最大概率性/最小方差性等“数理统计”方面的情况来综合判断其可信性与准确性。,2.4 模型验证,例：新生儿童营养保健问题是医学领域的一个长期探讨的问题；定期体重测定并保证新生儿迅速生长所需的足够营养是一项重要保健工作，每周纪录一新生儿的体重，采用的数字是连续三天体重的平均值。下面给出了20个周的体重值(单位：千克)。,采用分段线性化模型自激励门限自回归模型(Self-Exciting Threshold Auto-Regressive model,简称SETAR)来描述该系统，,2.4 模型验证,利用分段模型对新生儿体重进行预报，并与实际数值相比较,从直方图中可以明显看出，新生儿体重预测值与实际值相差很小，最大差值为0.375kg，从而可以证明我们所建立模型的合理性，以及在一定误差范围内数据预测的正确性。,2.4 模型验证,(3)实物模型验证法,对于“机电系统”、“化工过程系统”以及“工程力学”等一类可依据“相似原理”建立“实物模型”的仿真研究问题，应用“实物（或半实物）仿真技术”可以在可能的条件下实现最高精度的“模型验证”。,1：100比例的三峡水利排沙子系统实物模型,Outline,2.1 控制系统的数学模型,2.2 系统建模概述,2.3 系统建模方法,2.4 模型验证,2.6 问题与探究,2.5 系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,2.5.2 龙门起重机运动控制问题,2.5.3 水箱液位控制问题,2.5.4 燃煤热水锅炉控制问题,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,控制理论中，把独轮自行车问题归结为一阶倒立摆控制问题，此外，诸如机器人行走过程中的平衡控制，火箭发射中的垂直度控制，卫星飞行中的姿态控制，海上钻井平台的稳定控制，飞机的安全着陆控制等均涉及到“倒立摆的控制问题。,1 问题的提出,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,单一刚性铰链，两自由度动力学问题,独轮自行车实物仿真模型,2 建模机理,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,小车的质量为m0,倒立摆的质量为m，摆长为2l，摆的偏角为，小车的位移为x，作用在小车上水平方向的力为F,O1为摆杆的质心。,3 系统建模,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,1)摆杆绕其中心的转动方程为,2)摆杆重心的水平运动可能描述为,3 系统建模,系统建模实例,根据刚体绕定轴转动的动力学微分方程，转动惯量与加速度乘积等于作用于刚体主动力对该轴的代数和.,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,3)摆杆中心在垂直方向上的运动可描述为,4)小车水平方向运动可描述为,3 系统建模,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,精确模型：,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,因为摆杆为均匀细杆，其对于质心的转动惯量为,系统建模实例,若只考虑在工作点附近 附近,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,若给定一阶直线倒立摆系统的参数为：小车的质量=1kg；倒摆振子的质量m=1kg；倒摆长度2l=0.6m；重力加速度取g=10m/s2，则可得到进一步简化模型：,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,对上式进行拉氏变换可得系统的传递函数模型为,系统建模实例,2.5.1 独轮自行车实物仿真问题,系统状态为,系统建模实例,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,龙门吊车作为一种运载工具，广泛的用于现代工厂，安装工地和集装箱货场以及室内外仓库的装卸与运输作业。它在离地面很高的轨道上运行，具有占地面积小，省工省时的优点。,1 问题提出,系统建模实例,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,起重机系统的物理抽象模型,龙门吊车利用绳索一类的柔性体代替刚体工作，以使得吊车的结构轻便，工作效率高。但是，采用柔性体吊运也带来一些负面影响，吊车的摆动问题一直是困扰提高吊车装运效率的难题。,系统建模实例,小车的质量为m0,收到水平方向的外力F作用，重物的质量为m，绳索的长度为l。对重物的快速吊运与定位问题可以描述成：,系统建模实例,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,求小车在所受的外力F的作用下，使得小车能在最短的时间ts由A点运动到B点，且，为系统允许的最小摆角。,系统建模实例,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,2 建模机理,系统建模实例,龙门吊车运动问题为多刚体，多自由度，多约束的质点系的动力学问题。,对于约束质点系统动力学问题来说，拉格朗日给出了解决具有完整约束的质点系动力学问题的具有普遍意义的方程，称为拉格朗日方程。,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,小车在行走电机的水平拉力F1的作用下在水平轨道上运动，小车的质量为m0，重物的质量为m，绳索的长度为l，重物可在提升电机的提升力F2的作用之下进行升降运动；,小车与水平轨道的摩擦阻尼系数为D；重物摆动时的阻尼系数为，其他扰动可忽略。,3 系统建模,系统建模实例,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,小车和重物的位置,小车和重物的速度分量,3 系统建模,系统建模实例,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,系统拉格朗日方程为：,系统的动能：,系统建模实例,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,吊车系统的运动方程：,不考虑绳长的变化时，：,系统建模实例,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,4 模型简化,考虑到实际吊车运行过程中摆动角较小(不超过)，且平衡位置为,有如下近似，忽略摆动阻尼，则,系统建模实例,龙门吊车运动系统的动力学模型为非线性微分方程组。,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,4 模型简化,拉氏变换得,定摆长龙门吊车运动系统动态结构图,系统建模实例,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,4 模型简化,变形得,系统建模实例,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,假定,代入,系统建模实例,5 模型验证,得到,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,系统建模实例,5 模型验证,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,变形得,系统建模实例,假定,代入,5 模型验证,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,系统建模实例,5 模型验证,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,系统建模实例,5 模型验证,2.5.2 龙门吊车运动控制问题,2.5.3 水箱液位控制问题,工业过程控制领域中，诸如电站锅炉气泡水位控制，化学反应釜液位控制，化工配料系统的液位控制等问题，均可等效为水箱液位控制问题。,1 问题提出,系统建模实例,H为液位高度,qin为流入水箱中液体的流量,qout为流出水箱液体的流量,qin与qout分别为进水阀和出水阀门的控制开度,S为水箱底面积.,2.5.3 水箱液位控制问题,(1)雷诺系数,(2)紊流,(3)层流,当液体的雷诺系数Re2000，流体的流态称为紊流。紊流表征了流体在传递中有能量损失，质点运动紊乱(有横向分量),通常条件下,容器与导管连接处的流态呈紊流状态.,当液体的雷诺系数Re2000，流体的流态称为层流。层流表征了流体在传递中能量损失很少，质点运动有序(沿轴向方向),通常条件下,长距离直管段中,在压力恒定情况下,流体呈层流状态.,其中v为液体流速，d为管道口径，r为液体黏度,雷诺系数反应了液体在管道中流动时的物理性能,2 建模机理,系统建模实例,2.5.3 水箱液位控制问题,其中Qin为层流，Qout为紊流,3 系统建模,系统建模实例,2.5.3 水箱液位控制问题,水箱出口处为紊流状态,将其在水箱的平衡点P(q0，h0)处线性化,4 模型简化,液容与液阻,系统建模实例,出口处液阻为,2.5.3 水箱液位控制问题,将水箱在平衡点附近的非线性系统简化为线性系统,由液阻的定义得,两边取拉氏变换,系统建模实例,2.5.4 燃煤热水锅炉控制问题,燃煤热水锅炉系统在工业生产与民用集中供热方面具有广泛的应用,1 问题提出,系统建模实例,2.5.4 燃煤热水锅炉控制问题,热力学系统将热量从一种物质传递到另一种物质。热传递的途径有三种，传导，对流和辐射。,热阻,热容,2 建模机理,热传递的三种途径：传导、对流、辐射。,系统建模实例,2.5.4 燃煤热水锅炉控制问题,设系统保温良好,根据热容热阻的定义,拉氏变换得,用户的模型为,a 分布参数问题,b 最佳燃烧控制问题,3 系统建模,4 存在问题,系统建模实例,Outline,2.1 控制系统的数学模型,2.2 系统建模概述,2.3 系统建模方法,2.4 模型验证,2.6 问题与探究,2.5 系统建模实例,2.6 问题与探究水轮发电机系统的线性化模型,1 问题提出,对于理想的水轮发电机系统(假设非线性模型处于 和，即水头稳定、流速不变的情况下，选择简单引水系统，刚性水击，不考虑沿程损失和局部损失)，有研究者给出了一种简单的水轮机发电机系统单输入单输出的线性模型。,水轮机发电功率,控制信号增量,选取典型时间常数：,水轮机惯性时间常数,执行器的时间常数,非最小相位系统,2.6 问题与探究水轮发电机系统的线性化模型,2 几点讨论,你能否根据第三节“混合建模法”中的内容，分析一下水轮发电机系统线性模型的有效性/准确性？并给出你的结论。你能否根据第三节“混合建模法”中的内容，说明式上述数学模型的是如何得到的？其近似条件是什么？,如果水轮机发电系统数学模型在MATLAB下进行仿真，我们可以得到右图所示的结果，从中可以看到：输出功率的增量在最终达到正的稳态值之前，起初有一个“负方向减小”的暂态过程；你能否解释一下其物理意义为何？并以此说明数学模型的有效性。,小结,本章主要讲述了系统建模的基本理论、基本方法与工程案例，现将主要内容归结如下：,系统的数学模型是我们进行数字仿真实验的基础；常用的数学模型有：微分方程、状态方程、传递函数三类形式；各种数学模型之间可在一定条件下相互转换之。,建立系统的数学模型是现代科学发现与技术创新的基石，“实验、归纳、推演”是建立系统数学模型的重要方法，“目的、方法、验证”是建模过程中的“三要素”。,“机理建模、实验建模、综合建模”是建立系统模型的基本方法。,小结,“模型验证”工作应始终贯穿于“系统建模”与“仿真实验”的过程中；针对不同的建模方法所得的数学模型，其模型验证的方法也有所不同。,不同领域的建模问题，需要应用相关的基础理论，“分析力学”、“流体力学”、“热力学”等理论是我们建立系统数学模型常用的基础理论，应该有所了解与掌握之。,“水轮发电机组”系统建模问题是典型的非最小相位系统综合建模案例，对该问题的深入探究，有助于我们领会系统建模的理论与方法，培养独立思考能力。,