算法案例(辗转相除法和更相减损术).ppt

算 法 案 例,(第一课时),1、求两个正整数的最大公约数,（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数,2、求8251和6105的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,所以，49和63的最大公约数为7,辗转相除法,又名“欧几里德算法”（Euclidean algorithm）乃求两数之最大公因数算法。它是已知最古老的算法,其可追溯至前300年。它首次出现于欧几里德的几何原本中，而在中国则可以追溯至东汉出现的九章算术。它并不需要把二数作质因数分解,欧几里德,辗转相除法（欧几里得算法）,观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。,第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么呢？,思考：从上述的过程你体会到了什么？,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例2 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m=n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m=n,n=r,r=0?,是,否,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,九章算术更相减损术,算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,例3 用更相减损术求98与63的最大公约数,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217141477,所以，98和63的最大公约数等于7,练习：,课本P45练习第1题,