空间曲面及其方程多元函数.ppt
2023/11/16,1,高等数学多媒体课件,华南农业大学理学院数学系,牛顿（Newton）,莱布尼兹（Leibniz）,2023/11/16,2,第六章 多元函数微积分,第一部分 空间解析几何,第二部分 多元函数微分学,第三部分 二重积分,2023/11/16,3,主 要 内 容,第一节 空间曲面及其方程 多元函数,第二节 偏导数 全微分,第三节 复合函数和隐函数的偏导数,第四节 二元函数的极值,第五节 二重积分,第六节 二重积分的应用,第七节 经济应用,2023/11/16,4,第一节 空间曲面及其方程 多元函数,第六章,四、多元函数,一、空间直角坐标系,二、空间曲面与方程的概念,三、常见的空间曲面及其方程,五、二元函数的极限与连续性,2023/11/16,5,一、空间直角坐标系,由三条互相垂直的数轴按右手规则,组成一个空间直角坐标系.,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),过空间一定点 o,坐标面,卦限(八个),zox面,1.空间直角坐标系的基本概念,2023/11/16,6,向径,坐标轴上的点 P,Q,R;,坐标面上的点 A,B,C,点 M,特殊点的坐标:,有序数组,(称为点 M 的坐标),原点 O(0,0,0);,在直角坐标系下,2023/11/16,7,坐标轴:,坐标面:,2023/11/16,8,2.空间中两点之间的距离,于是空间两点间的距离公式为：,特别地,2023/11/16,9,证:,即,为等腰三角形.,的三角形是等腰三角形.,为顶点,例1 求证以,2023/11/16,10,3、向量及其运算,表示法:,向量的模:,向量的大小,向量:,(又称矢量).,既有大小,又有方向的量称为向量,向径(矢径):,自由向量:,与起点无关的向量.,起点为原点的向量.,单位向量:,模为 1 的向量,零向量:,模为 0 的向量,有向线段 M1 M2,或 a,2023/11/16,11,规定:零向量与任何向量平行;,记作,因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称,两向量共线.,若 k(3)个向量经平移可移到同一平面上,则称此 k,个向量共面.,2023/11/16,12,(1)向量的加法,三角形法则:,平行四边形法则:,运算规律:,交换律,结合律,三角形法则可推广到多个向量相加.,2023/11/16,13,2023/11/16,14,三角不等式,(2)向量的减法,2023/11/16,15,是一个数,规定:,可见,总之:,运算律:,结合律,分配律,因此,(3)数与向量的乘积,2023/11/16,16,设 a 为非零向量,则,(为唯一实数),取,且,再证数 的唯一性.,则,取正号,反向时取负号,定理1,2023/11/16,17,则,例1 设 M 为,解:,2023/11/16,18,在空间直角坐标系下,设点 M,则,沿三个坐标轴方向的分向量.,的坐标为,(4)向量的坐标表示,2023/11/16,19,(5)利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,2023/11/16,20,在AB直线上求一点 M,使,解:设 M 的坐标为,如图所示,及实数,得,即,例3 已知两点,2023/11/16,21,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点,于是得,中点公式:,说明:由,2023/11/16,22,内容小结,2.向量的概念及其线性运算,1.空间直角坐标系,3.利用坐标变量作向量的线性运算,2023/11/16,23,二、空间曲面与方程的概念,求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的,化简得,即,说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.,引例:,1:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,2:不在此平面上的点的坐标不满足此方程.,解:设轨迹上的动点为,轨迹方程.,2023/11/16,24,如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:,(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;,则 F(x,y,z)=0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.,两个基本问题:,(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.,(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状,(必要时需作图).,定义1,2023/11/16,25,故所求方程为,方程.,特别,当M0在原点时,球面方程为,解:设轨迹上动点为,即,依题意,距离为 R 的轨迹,表示上(下)球面.,例1 求动点到定点,2023/11/16,26,解:配方得,此方程表示:,说明:,如下形式的三元二次方程(A 0),都可通过配方研究它的图形.,的曲面.,表示怎样,半径为,的球面.,球心为,例2 研究方程,2023/11/16,27,解,整理得,2023/11/16,28,三、空间常见的空间曲面及其方程,常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转面和二次曲面等.空间曲线，特别是直线，在空间解析几何中非常重要.下面，我们对这些图形作简单介绍.,2023/11/16,29,1.平面及其方程,第六章,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,2023/11/16,30,一、平面的点法式方程,设一平面通过已知点,且垂直于非零向,称式为平面的点法式方程,求该平面的方程.,法向量.,量,则有,故,2023/11/16,31,2023/11/16,32,二、平面的一般方程,设有三元一次方程,以上两式相减,得平面的点法式方程,此方程称为平面的一般,任取一组满足上述方程的数,则,显然方程与此点法式方程等价,的平面,因此方程的图形是,法向量为,方程.,(General Equation of a Plane),2023/11/16,33,特殊情形,当 D=0 时,A x+B y+C z=0 表示,通过原点的平面;,当 A=0 时,B y+C z+D=0 的法向量,平面平行于 x 轴;,A x+C z+D=0 表示,A x+B y+D=0 表示,C z+D=0 表示,A x+D=0 表示,B y+D=0 表示,平行于 y 轴的平面;,平行于 z 轴的平面;,平行于 xoy 面 的平面;,平行于 yoz 面 的平面；,平行于 zox 面 的平面.,2023/11/16,34,解:,因平面通过 x 轴,设所求平面方程为,代入已知点,得,化简,得所求平面方程,例2 求通过 x 轴和点(4,3,1)的平面方程.,例3 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程.,2023/11/16,35,解设所求的平面的方程为,得所求方程为,平面的截距式方程,2023/11/16,36,内容小结,1.平面基本方程:,一般式,点法式,截距式,2023/11/16,37,2.直线,第六章,一、空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程,二、空间直线的参数方程,2023/11/16,38,因此其一般式方程,直线可视为两平面交线，,(不唯一),一、空间直线方程的一般方程,2023/11/16,39,(Symmetric Expression),1.对称式方程（点向式方程),故有,说明:某些分母为零时,其分子也理解为零.,设直线上的动点为,则,此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程),直线方程为,已知直线上一点,例如,当,和它的方向向量,二、空间直线方程的对称式方程和参数方程,2023/11/16,40,设,得参数式方程:,3.参数式方程,(Parametric Form),2023/11/16,41,例7 把直线L的一般方程,化为对称式方程和参数方程.,解,2023/11/16,42,即有,2023/11/16,43,因此，直线L的对称式方程为：,令,则得直线的参数方程为,2023/11/16,44,1.空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,2023/11/16,45,3、柱面,引例 分析方程,表示怎样,的坐标也满足方程,解:在 xoy 面上,表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆,故在空间,过此点作,柱面.,对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面,在圆C上任取一点,其上所有点的坐标都满足此方程,的曲面?,2023/11/16,46,平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成,的轨迹叫做柱面.,表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;,准线为xoy 面上的抛物线.,z 轴的椭圆柱面.,z 轴的平面.,表示母线平行于,(且 z 轴在平面上),表示母线平行于,C 叫做准线,l 叫做母线.,定义,2023/11/16,47,柱面,柱面,平行于 x 轴;,平行于 y 轴;,平行于 z 轴;,准线 xoz 面上的曲线 l3:H(z,x)=0.,母线,柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1:F(x,y)=0.,母线,准线 yoz 面上的曲线 l2:G(y,z)=0.,母线,一般地,在三维空间,2023/11/16,48,定义 一条平面曲线,4、旋转曲面,绕其平面上一条定直线旋转,一周,所形成的曲面叫做旋转曲面.,该定直线称为旋转,轴,旋转曲线叫做旋转曲面的母线.,例如:,2023/11/16,49,故旋转曲面方程为,当绕 z 轴旋转时,若点,给定 yoz 面上曲线 C:,则有,则有,该点转到,建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,2023/11/16,50,求旋转曲面方程时,平面曲线绕某坐标轴旋转,则该坐,标轴对应的变量不变,而曲线方程中另一变量写成,该变量与第三变量平方和的正负平方根.,思考：当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,2023/11/16,51,的圆锥面方程.,解:在yoz面上直线L 的方程为,绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,两边平方,例8 试建立顶点在原点,旋转轴为z 轴,半顶角为,2023/11/16,52,分别绕 x,轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.,解:绕 x 轴旋转,绕 z 轴旋转,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,所成曲面方程为,所成曲面方程为,例9 求坐标面 xoz 上的双曲线,(旋转双叶双曲面）,(旋转单叶双曲面）,2023/11/16,53,5、二次曲面,三元二次方程,适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅,就几种常见标准型的特点进行介绍.,研究二次曲面特性的基本方法:截痕法,其基本类型有:,椭球面、抛物面、双曲面、锥面,的图形通常为二次曲面.,(二次项系数不全为 0),2023/11/16,54,椭圆,在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.,(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换,得到,见书 P202),(1)椭圆锥面,2023/11/16,55,(1)范围：,(2)与坐标面的交线：椭圆,(2)椭球面,2023/11/16,56,与,的交线为椭圆：,(4)当 ab 时为旋转椭球面;,同样,的截痕,及,也为椭圆.,当abc 时为球面.,(3)截痕:,为正数),2023/11/16,57,(3)抛物面,(1)椭圆抛物面,(2)双曲抛物面（鞍形曲面）,特别,当a=b时为绕 z 轴的旋转抛物面.,2023/11/16,58,(1)单叶双曲面(Hyperboloid of One Sheet),椭圆.,时,截痕为,(实轴平行于x 轴；,虚轴平行于z 轴）,平面,上的截痕情况:,双曲线:,(4)双曲面,2023/11/16,59,虚轴平行于x 轴）,时,截痕为,时,截痕为,(实轴平行于z 轴;,相交直线:,双曲线:,2023/11/16,60,双曲线,椭圆,注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:,双曲线,单叶双曲面:系数二项正,一项为负.,双叶双曲面:系数一项正,二项负.,图形,(2)双叶双曲面(Hyperboloid of Two Sheets),（a、b、c 是正数）,2023/11/16,61,内容小结,1.空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,如,曲线,绕 z 轴的旋转曲面:,柱面,如,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.,2023/11/16,62,三元二次方程,椭球面,抛物面:,椭圆抛物面,双曲抛物面,双曲面:,单叶双曲面,双叶双曲面,椭圆锥面:,2.二次曲面,2023/11/16,63,斜率为1的直线,平面解析几何中,空间解析几何中,方 程,平行于 y 轴的直线,平行于 yoz 面的平面,圆心在(0,0),半径为 3 的圆,以 z 轴为中心轴的圆柱面,平行于 z 轴的平面,思考与练习,1.指出下列方程的图形:,2023/11/16,64,2023/11/16,65,四、多元函数,第六章,一、区域,二、多元函数的定义,三、二元函数的几何意义,四、二元函数的极限与连续性,2023/11/16,66,1.区域,点集,称为点 P0 的 邻域.,例如,在平面上,(圆邻域),在空间中,(球邻域),说明：若不需要强调邻域半径,也可写成,点 P0 的去心邻域记为,2023/11/16,67,开区域,闭区域,例如，在平面上,2023/11/16,68,整个平面,点集,是开集，,是最大的开域,也是最大的闭域；,但非区域.,对区域 D,若存在正数 K,使一切点 PD 与某定点,A 的距离 AP K,则称 D 为有界域,界域.,否则称为无,2023/11/16,69,2、多元函数的定义,引例:,圆柱体的体积,定量理想气体的压强,三角形面积的海伦公式,2023/11/16,70,2023/11/16,71,3、二元函数的几何意义,图626,2023/11/16,72,定义域为,圆域,说明:,二元函数 z=f(x,y),(x,y)D,图形为中心在原点的上半球面.,的图形一般为空间曲面.,三元函数,定义域为,图形为,空间中的超曲面.,单位闭球,例如,二元函数,2023/11/16,73,4、二元函数的极限,二元函数的极限也叫做二重极限.,2023/11/16,74,若当点,趋于不同值或有的极限不存在，,解:设 P(x,y)沿直线 y=k x 趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.,则可以断定函数极限,则有,k 值不同极限不同!,在(0,0)点极限不存在.,以不同方式趋于,不存在.,函数,例1 讨论函数,2023/11/16,75,仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.,不同.,如果它们都存在,则三者相等.,例如,显然,与累次极限,但由例1 知它在(0,0)点二重极限不存在.,二重极限,2023/11/16,76,5、二元函数的连续性,函数不连续的点称为函数的间断点.,2023/11/16,77,在点(0,0)极限不存在,又如,函数,上间断.,故(0,0)为其间断点.,在圆周,结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.,例如,函数,2023/11/16,78,例13 求极限,解,例14 求极限,解,2023/11/16,79,在有界闭区域上的多元连续函数有如下性质:,2023/11/16,80,内容小结,一、区域,二、多元函数的定义,三、二元函数的几何意义,四、二元函数的极限与连续性,课外练习,习题61,
