科学与工程计算两点边值问题.ppt

,科学与工程计算方法,主要内容 常微分数值计算方法简介 偏微分方程数值计算方法（差分法、有限元法、有限体积法）统计方法简介选讲内容 计算流体力学方法简介 计算电磁学方法简介,主要参考书 科学与工程计算方法 北京理工大学出版社 数值计算方法 北京理工大学出版社等 偏微分方程数值解法 清华大学出版社、华中理工大学出版社等 微分方程的数值方法(英文)springer出版社 科学计算中的PDE数值解法 科学出版社 微分方程的数值解法 科学出版社,第一章 两点边值问题数值解法,1.数学模型,例1.电线上的小鸟假设一根两端固定的电线上面每个点都停留一只小鸟，描述此问题的数学模型,例2.化学反应的动力学模型某种化学化合物的反应可以通过下面的问题描述,2：线性方程边值问题数值解法,：导数逼近方法,第三步：使用适当的有限差商代替导数，如中心差商,则,第五步：将（8）式改写成矩阵的形式，引入向量,则（8）式可以写为,二：基函数法,2.1 多项式逼近,2.2 B-样条逼近,为了解决高次插值的Runge现象，在多项式插值中会采用分段Lagrange插值，但是在这里解决二阶ODE，对插值函数需要一定的光滑性，即二阶连续可导。三次B-样条插值可以满足光滑性要求。,将（10）代入（4）可得,2.3 Fourier逼近法,三：配置法,例子：B-样条函数 选取B-样条中的节点作为配置点，由此可得,由边界条件可得,矩阵形式 Ba=W,四：最小二乘法,由多元函数求极值,五打靶法,基本思想：利用一阶初值问题解法来求解二阶二点边值问题。,求解非线性方程：迭代法求解，比如Newton迭代等,割线迭代法,和,的选取,如何迭代计算,例1：用打靶法求解非线性边值问题,解：线性方程组的初值问题,起源：一些边值问题的解是某些泛函的极小值点。,考虑问题,其中,为了使讨论问题简单化，齐次化边界条件,六变分法,准备工作：,如何求泛函的极小值,基本思想：将在无穷维的函数空间上求极值的问题 变更为在有限维的子空间上求极值,第二步：,3非线性边值问题的数值解法,考虑问题,差商法，即用中心差商作为导数近似，代入（12）中可得,（13）是非线性代数方程组，一般来说，需要使用Newton迭代法求近似解,将（13）改写矩阵形式,Newton迭代法为,4其他边界条件的处理,